{"id":"matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad/14","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona","number":"14","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 14. (0-6)\nPunkt\n(\n)\n7,\n1\nA =\njest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego ABC, w którym AC\nBC\nObie współrzędne wierzchołka C są liczbami ujemnymi. Okrąg wpisany w trójkąt ABC ma\nrównanie\n. Oblicz współrzędne wierzchołków B i C tego trójkąta.\n2\n2\n10\nx\ny\n\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n14.\nMaks. liczba pkt\n6\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1R\nPunkt A=(7,-1) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego ABC, w którym |AC|=|BC|. Obie współrzędne wierzchołka C są liczbami ujemnymi. Okrąg wpisany w trójkąt ABC ma równanie x^2+y^2=10. Oblicz współrzędne wierzchołków B i C tego trójkąta.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 14. (0-6)\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\n8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający\nposługuje się równaniem okręgu (x - a)2 + (y - b)2 = r2\noraz opisuje koła za pomocą nierówności, wyznacza\nwspółrzędne środka odcinka, wyznacza równanie\nprostej, która jest równoległa lub prostopadła do prostej\ndanej w postaci kierunkowej i przechodzi przez dany\npunkt, oblicza współrzędne punktu przecięcia dwóch\nprostych, wyznacza punkty wspólne prostej i okręgu\noraz oblicza odległość punktu od prostej (R8.5, 8.5, 8.3,\n8.4, R8.6, R8.4).\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób - analitycznie - styczne AC i AB\nProste AC i AB przechodzą przez punkt\n(\n)\n7\n1\nA\n,\n, żadna z nich nie jest prostopadła do osi\nOx układu współrzędnych, więc mają równania postaci\n(\n)\n7\n1\ny\na x\n-,\n7\n1\n0\nax\ny\na\nObie te proste są styczne do okręgu, zatem ich odległości od środka okręgu są równe\npromieniowi okręgu. Stąd otrzymujemy równanie\n2\n7\n1\n10\n1\na\na\n,\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n7\n1\n10\n1\na\na\n,\n2\n2\n49\n14\n1\n10\n10\na\na\na\n2\n39\n14\n9\n0\na\na\n14 40\n9\n78\n13\na\nlub\n14 40\n1\n78\n3\na\nSzukane styczne mają więc równania:\n9\n50\n13\n13\ny\nx\n,\n10\n1\n3\n3\ny\nx\n. Tylko druga z tych\nprostych przechodzi przez trzecią ćwiartkę układu współrzędnych, więc prosta AC ma\nrównanie\n10\n1\n3\n3\ny\nx\n, a prosta AB ma równanie\n9\n50\n13\n13\ny\nx\nTrójkąt ABC jest równoramienny, a jego ramionami są boki AC i BC. Zatem wierzchołek C\nleży na przecięciu prostej AC i symetralnej l boku AB. Prosta l jest prostopadła do prostej AB\ni przechodzi przez punkt\n(\n)\n0 0\nS\n,\n. Zatem współczynnik kierunkowy prostej l jest równy\n13\n9\nla =\n. Stąd l ma równanie postaci\n13\n9\ny\nx\nWspółrzędne wierzchołka C obliczymy, rozwiązując układ równań\n10\n1\n3\n3\ny\nx\ni\n13\n9\ny\nx\nStąd otrzymujemy równanie\n10\n13\n1\n3\n3\n9\nx\nx\n,\n10\n30\n9\n9\nx = -\n3\nx = -,\nwięc\n(\n)\n13\n13\n9\n3\n3\ny =\n⋅-\n, czyli\n(\n)\n13\n3\n3,\nC = -\nObliczamy współrzędne punktu D styczności prostej AB z danym okręgiem. Jest to punkt\nprzecięcia prostej l z prostą AB. Wystarczy więc rozwiązać układ równań\n9\n50\n13\n13\ny\nx\ni\n13\n9\ny\nx\nStąd otrzymujemy równanie\n9\n50\n13\n13\n13\n9\nx\nx\n,\n250\n50\n117\n13\nx =\n9\n5\nx =\n,\nwięc\n13 9\n13\n5\n5\n9\ny =\n⋅\n, czyli\n(\n)\n9 13\n5\n5\n,\nD =\nPunkt D jest środkiem odcinka AB, więc\n(\n)\n1\n7\n2\n2\n,\nB\nB\ny\nx\nD\nZatem\n7\n9\n5\n2\nBx\ni\n1\n13\n5\n2\nBy\n,\n17\n5\nB\nx = -\ni\n31\n5\nB\ny =\nZatem\n(\n)\n17 31\n5\n5\n,\nB = -\nII sposób - syntetycznie - długości odcinków CE i CS\nPromień okręgu jest równy\n. Długość odcinka SA jest równa\nZ twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ASE otrzymujemy\n,\n,\n,\nZ twierdzenia o odcinkach stycznych otrzymujemy\nTrójkąty CES i CDA są podobne, gdyż oba są prostokątne i mają wspólny kąt ostry przy\nwierzchołku C. Stąd wynika\noraz\n,\noraz\n,\noraz\n,\noraz\nStąd\n,\n, więc\nUwaga\nDługości m i n możemy też obliczyć korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkątów ACD\ni CSE. Otrzymujemy wtedy\noraz\n,\n10\nr =\n(\n)\n2\n2\n7\n1\n50\n5 2\nSA =\n2\n2\n2\nSA\nSE\nEA\n2\n50\n10\nEA\n2\n40\nEA =\n40\n2 10\nEA =\n2 10\nDA\nEA\nCE\nCD\nSE\nDA\nCS\nCA\nSE\nDA\n10\n10\n2 10\nm\nn +\n2 10\n10\n2 10\nn\nm +\n2\n10\nm\nn\n2\n10\nn\nm\n2\n10\nn\nm\n(\n)\n2 2\n10\n10\nm\nm\n4\n2 10\n10\nm\nm\n4\n3 10\nm =\n5\n4\n3\n3\n2\n10\n10\n10\nn =\n⋅\n2\n2\n2\nCA\nCD\nDA\n2\n2\n2\nCS\nCE\nSE\noraz\n,\noraz\n,\noraz\n,\noraz\n,\noraz\n,\noraz\n,\noraz\nZatem długość ramienia AC trójkąta ABC jest równa\nNiech\n. Ponieważ\ni\n, więc\ni\n,\ni\nPierwsze równanie możemy zapisać w postaci\nStąd i z drugiego równania otrzymujemy\n,\n,\nStąd i z pierwszego równania mamy\n,\n,\n,\n,\n,\n,\n,\n,\nlub\nGdy\n, to\n, a gdy\n, to\nPonieważ obie współrzędne punktu C są ujemne, więc\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2 10\n10\n2 10\nm\nn\n(\n)\n2\n2\n2\n10\nn\nm\n2\n2\n4\n10\n40\n2\n10\n10\n40\nm\nm\nn\nn\n2\n2\n10\nn\nm\n4\n10\n2\n10\n20\nm\nn\n2\n2\n10\nn\nm\n2\n10\nm\nn\n(\n)\n2\n2\n2\n10\n10\nm\nm\n2\n10\nm\nn\n2\n2\n4\n4\n10\n10\n10\nm\nm\nm\n2\n10\nm\nn\n4\n3 10\nm =\n5\n3 10\nn =\n4\n3 10\nm =\n10\n4\n3\n3\n2 10\n10\n2 10\n10\nAC\nCE\nEA\nm\n(\n)\n,\nC\nx y\n10\n3\n10\nAC =\n5\n3 10\nCS =\n2\n1000\n9\nAC\n2\n250\n9\nCS\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n1000\n9\n7\n1\nx\ny\n2\n2\n250\n9\nx\ny\n2\n2\n1000\n9\n14\n2\n50\nx\ny\nx\ny\n250\n1000\n9\n9\n14\n2\n50\nx\ny\n50\n3\n7\n0\nx\ny\n150\n9\n7\ny\nx\n(\n)\n2\n2\n50\n250\n3\n9\n7\nx\nx\n2\n2\n700\n2500\n250\n3\n9\n9\n49\n0\nx\nx\nx\n2\n700\n2250\n3\n9\n50\n0\nx\nx\n2\n14\n3\n5\n0\nx\nx\n2\n3\n14\n15\n0\nx\nx\n2\n3\n9\n5\n15\n0\nx\nx\nx\n(\n)\n(\n)\n3\n3\n5\n3\n0\nx x\nx\nx\n(\n)(\n)\n3\n3\n5\n0\nx\nx\n3\nx = -\n5\n3\nx = -\n3\nx = -\n(\n)\n50\n13\n3\n3\n7\n3\ny =\n⋅-\n5\n3\nx = -\n(\n)\n5\n50\n3\n3\n7\n5\ny =\n⋅-\n(\n)\n13\n3\n3,\nC = -\nNiech\n(\n)\nB\nx,y\n. Ponieważ\n10\n3\n10\nBC\nAC\ni\n2 2 10\n4 10\nAB =\n⋅\n, więc\n2\n1000\n9\nBC\ni\n2\n160\nAB\n,\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n13\n1000\n3\n9\n3\nx\ny\ni (\n)\n(\n)\n2\n2\n7\n1\n160\nx\ny\n,\n2\n2\n26\n250\n3\n3\n6\n0\nx\ny\nx\ny\ni\n2\n2\n14\n2\n110\n0\nx\ny\nx\ny\nStąd\n1\n4\n3\n3\n0\nx\ny\ni\n2\n2\n14\n2\n110\n0\nx\ny\nx\ny\n,\n3\n4\ny\nx\ni\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n3\n4\n14\n2\n3\n4\n110\n0\nx\nx\nx\nx\nDrugie równanie możemy zapisać w postaci\n2\n10\n4\n102\n0\nx\nx\n,\n2\n5\n2\n51\n0\nx\nx\n,\n(\n)\n2\nΔ\n2\n4 5\n51\n1024\n-⋅⋅-\n,\nΔ\n32\n,\n2 32\n17\n5\n10\nx\nlub\n2 32\n10\n3\nx\n,\nGdy\n17\n5\nx = -\n, to\n(\n)\n17\n31\n5\n5\n3\n4\ny = -⋅-\n, a gdy\n3\nx =\n, to\n3 3\n4\n13\ny = -⋅-\nPonieważ punkt B nie leży w czwartej ćwiartce układu współrzędnych, więc\n(\n)\n17 31\n5\n5\nB\n,\nSchemat punktowania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania zadania 1 p.\nZdający:\na) obliczy długości odcinków stycznych poprowadzonych z punktu A:\n2 10\nAD\nAE\nalbo\nb) obliczy współrzędne środka M odcinka AS oraz długość odcinka AS,\ngdzie\n(\n)\n0,0\nS =\n:\n(\n)\n,\n7\n1\n2\n2\nM =\n,\n5 2\nAS =\n,\nalbo\nc) obliczy sinus kąta SAE : sin\n5\n5\nα =\n,\nalbo\nd) zapisze równanie pęku prostych przechodzących przez punkt A:\n7\n1\ny\nax\na\n-,\nalbo\ne) zapisze, że trójkąt ADC jest podobny do trójkąta SEC ,\nf) obliczy długość tylko jednego z odcinków AD lub AE:\n2 10\nAD\nAE\noraz\nzapisze tę długość w zależności od współrzędnych punktu D (lub E) lub obliczy\ntangens kąta SAE lub SAD: tg\n1\n2\nα =\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie, w którym istotny postęp 2 p.\nZdający:\nA) obliczy\n2 10\nAD =\noraz zapisze układ równań (\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n7\n1\n40\n10\nx\ny\nx\ny\n\n\n\nalbo\nB) obliczy\n2 10\nAD\nAE\noraz zapisze układ równań z niewiadomymi m\nCE\ni\nn\nCS\n:\n10\n10\n2 10\nn\nm =\ni\n10\n10\n2 10\nm\nn =\n• (\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2 10\n10\n2 10\nm\nn\ni\n(\n)\n2\n2\n2\n10\nn\nm\nalbo\nC) obliczy\n2 10\nAD =\n, obliczy tangens kąta SAE : tg\n1\n2\nα =\noraz obliczy\nwspółczynnik kierunkowy prostej AS (\n)\n1\n7\nAS\na\nalbo\nD) obliczy współrzędne środka\n(\n)\n,\n7\n1\n2\n2\nM =\n, długość odcinka\n5 2\nAS =\noraz zapisze\nukład równań (\n)\n(\n)\n2\n2\n7\n25\n1\n2\n2\n2\n2\n2\n10\nx\ny\nx\ny\n\n\n\n\nalbo\nE) obliczy sinus kąta SAE :\n5\n5\nsinα =\n, tangens tego kąta: tg\n1\n2\nα =\noraz współczynnik\nkierunkowy prostej AS (\n)\n1\n7\nAS\na\nalbo\nF) zapisze równanie pęku prostych przechodzących przez punkt A:\n7\n1\ny\nax\na\n- oraz\nrównanie z niewiadomą a:\n2\n10\n7\n1\n1\na\na\nalbo\nG) zapisze równanie pęku prostych przechodzących przez punkt A:\n7\n1\ny\nax\na\n- oraz\nukładu równań\n2\n2\n10\nx\ny\ni\n7\n1\ny\nax\na\n- wraz z warunkiem istnienia jednego\nrozwiązania tego układu\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający:\nI obliczy współrzędne punktów styczności D i E :\n(\n)\n,\n9 13\n5 5\nD =\n,\n(\n)\n1,\n3\nE =\nalbo\nII zapisze równania prostych AC i AB:\n10\n1\n3\n3\ny\nx\n,\n9\n50\n13\n13\ny\nx\nalbo\nIII obliczy długości odcinków CE i CS:\n10\n4\n3\nm\nCE\n,\n10\n4\n3\nn\nCS\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie prawie pełne 4 p.\nZdający\n• obliczy współrzędne wierzchołka B:\n(\n)\n,\n17 31\n5\n5\nB = -\nalbo\n• obliczy współrzędne wierzchołka C:\n(\n)\n3, 13\n3\nC = --\nUwaga\nJeżeli zdający\n• obliczy współrzędne wierzchołka B:\n(\n)\n,\n17 31\n5\n5\nB = -\noraz zapisze układ równań\nz niewiadomymi x, y - współrzędnymi wierzchołka C, np.:\ni\nalbo\n• obliczy współrzędne wierzchołka C:\n(\n)\n3, 13\n3\nC = --\noraz zapisze układ równań\nz niewiadomymi x, y - współrzędnymi wierzchołka B, np.:\n7\n9\n5\n2\nx\ni\n1\n13\n5\n2\ny\nalbo\n• obliczy współrzędne obu wierzchołków B i C, popełniając w trakcie rozwiązania\nbłędy rachunkowe\nto otrzymuje 5 punktów.\nRozwiązanie pełne 6 p.\nZdający obliczy współrzędne wierzchołków B i C:\n(\n)\n,\n17 31\n5\n5\nB = -\n,\n(\n)\n3, 13\n3\nC = --\nUwagi\n1. Jeżeli zdający pominie informację o ujemnych współrzędnych punktu C i tym samym\nzamieni miejscami proste AC i AB, to może otrzymać 5 punktów za całe rozwiązanie,\no ile nie popełni innych błędów.\n2. Jeżeli zdający błędnie przyjmuje, że podstawą trójkąta jest inny bok niż AB, to może\notrzymać co najwyżej 5 punktów.\n3. Jeżeli zdający realizuje strategię rozwiązania i popełnia jedynie błędy rachunkowe, to\nmoże otrzymać 5 punktów, o ile popełnione błędy nie ułatwiają rozwiązania zadania\nna żadnym etapie.\n4. Jeżeli zdający zapisze dwa równania z dwiema niewiadomymi, którymi są\nwspółrzędne punktu B lub C, to otrzymuje 2 punkty.\n5. Jeżeli zdający odczytuje z rysunku współrzędne punktu E, a następnie wyznacza\nrównanie stycznej AE i na tym poprzestaje, to może otrzymać 1 punkt.\n3\n10\n0\nx\ny\n13\n9\n0\nx\ny","solution":"$B = \\left(-\\dfrac{17}{5}, \\dfrac{31}{5}\\right)$, $C = \\left(-3, -\\dfrac{13}{3}\\right)$","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona/sol-14.svg","topics":"analityczna","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 14. (0-6)
Punkt
(
)
7,
1
A =
jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego ABC, w którym AC
BC
Obie współrzędne wierzchołka C są liczbami ujemnymi. Okrąg wpisany w trójkąt ABC ma
równanie
. Oblicz współrzędne wierzchołków B i C tego trójkąta.
2
2
10
x
y

\n

MMA_1R
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
14.
Maks. liczba pkt
6
Uzyskana liczba pkt

\n

MMA_1R
Punkt A=(7,-1) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego ABC, w którym |AC|=|BC|. Obie współrzędne wierzchołka C są liczbami ujemnymi. Okrąg wpisany w trójkąt ABC ma równanie x^2+y^2=10. Oblicz współrzędne wierzchołków B i C tego trójkąta.

","answer_text_html":"

Zadanie 14. (0-6)
IV. Użycie i tworzenie strategii.

\n
  1. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający
\n

posługuje się równaniem okręgu (x - a)2 + (y - b)2 = r2
oraz opisuje koła za pomocą nierówności, wyznacza
współrzędne środka odcinka, wyznacza równanie
prostej, która jest równoległa lub prostopadła do prostej
danej w postaci kierunkowej i przechodzi przez dany
punkt, oblicza współrzędne punktu przecięcia dwóch
prostych, wyznacza punkty wspólne prostej i okręgu
oraz oblicza odległość punktu od prostej (R8.5, 8.5, 8.3,
8.4, R8.6, R8.4).
Przykładowe rozwiązania
I sposób - analitycznie - styczne AC i AB
Proste AC i AB przechodzą przez punkt
(
)
7
1
A
,
, żadna z nich nie jest prostopadła do osi
Ox układu współrzędnych, więc mają równania postaci
(
)
7
1
y
a x
-,
7
1
0
ax
y
a
Obie te proste są styczne do okręgu, zatem ich odległości od środka okręgu są równe
promieniowi okręgu. Stąd otrzymujemy równanie
2
7
1
10
1
a
a
,
(
)
(
)
2
2
7
1
10
1
a
a
,
2
2
49
14
1
10
10
a
a
a
2
39
14
9
0
a
a
14 40
9
78
13
a
lub
14 40
1
78
3
a
Szukane styczne mają więc równania:
9
50
13
13
y
x
,
10
1
3
3
y
x
. Tylko druga z tych
prostych przechodzi przez trzecią ćwiartkę układu współrzędnych, więc prosta AC ma
równanie
10
1
3
3
y
x
, a prosta AB ma równanie
9
50
13
13
y
x
Trójkąt ABC jest równoramienny, a jego ramionami są boki AC i BC. Zatem wierzchołek C
leży na przecięciu prostej AC i symetralnej l boku AB. Prosta l jest prostopadła do prostej AB
i przechodzi przez punkt
(
)
0 0
S
,
. Zatem współczynnik kierunkowy prostej l jest równy
13
9
la =
. Stąd l ma równanie postaci
13
9
y
x
Współrzędne wierzchołka C obliczymy, rozwiązując układ równań
10
1
3
3
y
x
i
13
9
y
x
Stąd otrzymujemy równanie
10
13
1
3
3
9
x
x
,
10
30
9
9
x = -
3
x = -,
więc
(
)
13
13
9
3
3
y =
⋅-
, czyli
(
)
13
3
3,
C = -
Obliczamy współrzędne punktu D styczności prostej AB z danym okręgiem. Jest to punkt
przecięcia prostej l z prostą AB. Wystarczy więc rozwiązać układ równań
9
50
13
13
y
x
i
13
9
y
x
Stąd otrzymujemy równanie
9
50
13
13
13
9
x
x
,
250
50
117
13
x =
9
5
x =
,
więc
13 9
13
5
5
9
y =
⋅
, czyli
(
)
9 13
5
5
,
D =
Punkt D jest środkiem odcinka AB, więc
(
)
1
7
2
2
,
B
B
y
x
D
Zatem
7
9
5
2
Bx
i
1
13
5
2
By
,
17
5
B
x = -
i
31
5
B
y =
Zatem
(
)
17 31
5
5
,
B = -
II sposób - syntetycznie - długości odcinków CE i CS
Promień okręgu jest równy
. Długość odcinka SA jest równa
Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ASE otrzymujemy
,
,
,
Z twierdzenia o odcinkach stycznych otrzymujemy
Trójkąty CES i CDA są podobne, gdyż oba są prostokątne i mają wspólny kąt ostry przy
wierzchołku C. Stąd wynika
oraz
,
oraz
,
oraz
,
oraz
Stąd
,
, więc
Uwaga
Długości m i n możemy też obliczyć korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkątów ACD
i CSE. Otrzymujemy wtedy
oraz
,
10
r =
(
)
2
2
7
1
50
5 2
SA =
2
2
2
SA
SE
EA
2
50
10
EA
2
40
EA =
40
2 10
EA =
2 10
DA
EA
CE
CD
SE
DA
CS
CA
SE
DA
10
10
2 10
m
n +
2 10
10
2 10
n
m +
2
10
m
n
2
10
n
m
2
10
n
m
(
)
2 2
10
10
m
m
4
2 10
10
m
m
4
3 10
m =
5
4
3
3
2
10
10
10
n =
⋅
2
2
2
CA
CD
DA
2
2
2
CS
CE
SE
oraz
,
oraz
,
oraz
,
oraz
,
oraz
,
oraz
,
oraz
Zatem długość ramienia AC trójkąta ABC jest równa
Niech
. Ponieważ
i
, więc
i
,
i
Pierwsze równanie możemy zapisać w postaci
Stąd i z drugiego równania otrzymujemy
,
,
Stąd i z pierwszego równania mamy
,
,
,
,
,
,
,
,
lub
Gdy
, to
, a gdy
, to
Ponieważ obie współrzędne punktu C są ujemne, więc
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2 10
10
2 10
m
n
(
)
2
2
2
10
n
m
2
2
4
10
40
2
10
10
40
m
m
n
n
2
2
10
n
m
4
10
2
10
20
m
n
2
2
10
n
m
2
10
m
n
(
)
2
2
2
10
10
m
m
2
10
m
n
2
2
4
4
10
10
10
m
m
m
2
10
m
n
4
3 10
m =
5
3 10
n =
4
3 10
m =
10
4
3
3
2 10
10
2 10
10
AC
CE
EA
m
(
)
,
C
x y
10
3
10
AC =
5
3 10
CS =
2
1000
9
AC
2
250
9
CS
(
)
(
)
2
2
1000
9
7
1
x
y
2
2
250
9
x
y
2
2
1000
9
14
2
50
x
y
x
y
250
1000
9
9
14
2
50
x
y
50
3
7
0
x
y
150
9
7
y
x
(
)
2
2
50
250
3
9
7
x
x
2
2
700
2500
250
3
9
9
49
0
x
x
x
2
700
2250
3
9
50
0
x
x
2
14
3
5
0
x
x
2
3
14
15
0
x
x
2
3
9
5
15
0
x
x
x
(
)
(
)
3
3
5
3
0
x x
x
x
(
)(
)
3
3
5
0
x
x
3
x = -
5
3
x = -
3
x = -
(
)
50
13
3
3
7
3
y =
⋅-
5
3
x = -
(
)
5
50
3
3
7
5
y =
⋅-
(
)
13
3
3,
C = -
Niech
(
)
B
x,y
. Ponieważ
10
3
10
BC
AC
i
2 2 10
4 10
AB =
⋅
, więc
2
1000
9
BC
i
2
160
AB
,
(
)
(
)
2
2
13
1000
3
9
3
x
y
i (
)
(
)
2
2
7
1
160
x
y
,
2
2
26
250
3
3
6
0
x
y
x
y
i
2
2
14
2
110
0
x
y
x
y
Stąd
1
4
3
3
0
x
y
i
2
2
14
2
110
0
x
y
x
y
,
3
4
y
x
i
(
)
(
)
2
2
3
4
14
2
3
4
110
0
x
x
x
x
Drugie równanie możemy zapisać w postaci
2
10
4
102
0
x
x
,
2
5
2
51
0
x
x
,
(
)
2
Δ
2
4 5
51
1024
-⋅⋅-
,
Δ
32
,
2 32
17
5
10
x
lub
2 32
10
3
x
,
Gdy
17
5
x = -
, to
(
)
17
31
5
5
3
4
y = -⋅-
, a gdy
3
x =
, to
3 3
4
13
y = -⋅-
Ponieważ punkt B nie leży w czwartej ćwiartce układu współrzędnych, więc
(
)
17 31
5
5
B
,
Schemat punktowania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania zadania 1 p.
Zdający:
a) obliczy długości odcinków stycznych poprowadzonych z punktu A:
2 10
AD
AE
albo
b) obliczy współrzędne środka M odcinka AS oraz długość odcinka AS,
gdzie
(
)
0,0
S =
:
(
)
,
7
1
2
2
M =
,
5 2
AS =
,
albo
c) obliczy sinus kąta SAE : sin
5
5
α =
,
albo
d) zapisze równanie pęku prostych przechodzących przez punkt A:
7
1
y
ax
a
-,
albo
e) zapisze, że trójkąt ADC jest podobny do trójkąta SEC ,
f) obliczy długość tylko jednego z odcinków AD lub AE:
2 10
AD
AE
oraz
zapisze tę długość w zależności od współrzędnych punktu D (lub E) lub obliczy
tangens kąta SAE lub SAD: tg
1
2
α =
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Rozwiązanie, w którym istotny postęp 2 p.
Zdający:
A) obliczy
2 10
AD =
oraz zapisze układ równań (
)
(
)
2
2
2
2
7
1
40
10
x
y
x
y



albo
B) obliczy
2 10
AD
AE
oraz zapisze układ równań z niewiadomymi m
CE
i
n
CS
:
10
10
2 10
n
m =
i
10
10
2 10
m
n =
• (
)
(
)
(
)
2
2
2
2 10
10
2 10
m
n
i
(
)
2
2
2
10
n
m
albo
C) obliczy
2 10
AD =
, obliczy tangens kąta SAE : tg
1
2
α =
oraz obliczy
współczynnik kierunkowy prostej AS (
)
1
7
AS
a
albo
D) obliczy współrzędne środka
(
)
,
7
1
2
2
M =
, długość odcinka
5 2
AS =
oraz zapisze
układ równań (
)
(
)
2
2
7
25
1
2
2
2
2
2
10
x
y
x
y




albo
E) obliczy sinus kąta SAE :
5
5
sinα =
, tangens tego kąta: tg
1
2
α =
oraz współczynnik
kierunkowy prostej AS (
)
1
7
AS
a
albo
F) zapisze równanie pęku prostych przechodzących przez punkt A:
7
1
y
ax
a

\n\n

równanie z niewiadomą a:
2
10
7
1
1
a
a
albo
G) zapisze równanie pęku prostych przechodzących przez punkt A:
7
1
y
ax
a

\n\n

układu równań
2
2
10
x
y
i
7
1
y
ax
a

\n\n

rozwiązania tego układu
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.
Zdający:
I obliczy współrzędne punktów styczności D i E :
(
)
,
9 13
5 5
D =
,
(
)
1,
3
E =
albo
II zapisze równania prostych AC i AB:
10
1
3
3
y
x
,
9
50
13
13
y
x
albo
III obliczy długości odcinków CE i CS:
10
4
3
m
CE
,
10
4
3
n
CS
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Rozwiązanie prawie pełne 4 p.
Zdający
• obliczy współrzędne wierzchołka B:
(
)
,
17 31
5
5
B = -
albo
• obliczy współrzędne wierzchołka C:
(
)
3, 13
3
C = --
Uwaga
Jeżeli zdający
• obliczy współrzędne wierzchołka B:
(
)
,
17 31
5
5
B = -
oraz zapisze układ równań
z niewiadomymi x, y - współrzędnymi wierzchołka C, np.:
i
albo
• obliczy współrzędne wierzchołka C:
(
)
3, 13
3
C = --
oraz zapisze układ równań
z niewiadomymi x, y - współrzędnymi wierzchołka B, np.:
7
9
5
2
x
i
1
13
5
2
y
albo
• obliczy współrzędne obu wierzchołków B i C, popełniając w trakcie rozwiązania
błędy rachunkowe
to otrzymuje 5 punktów.
Rozwiązanie pełne 6 p.
Zdający obliczy współrzędne wierzchołków B i C:
(
)
,
17 31
5
5
B = -
,
(
)
3, 13
3
C = --
Uwagi

\n
  1. Jeżeli zdający pominie informację o ujemnych współrzędnych punktu C i tym samym
\n

zamieni miejscami proste AC i AB, to może otrzymać 5 punktów za całe rozwiązanie,
o ile nie popełni innych błędów.

\n
  1. Jeżeli zdający błędnie przyjmuje, że podstawą trójkąta jest inny bok niż AB, to może
\n

otrzymać co najwyżej 5 punktów.

\n
  1. Jeżeli zdający realizuje strategię rozwiązania i popełnia jedynie błędy rachunkowe, to
\n

może otrzymać 5 punktów, o ile popełnione błędy nie ułatwiają rozwiązania zadania
na żadnym etapie.

\n
  1. Jeżeli zdający zapisze dwa równania z dwiema niewiadomymi, którymi są
\n

współrzędne punktu B lub C, to otrzymuje 2 punkty.

\n
  1. Jeżeli zdający odczytuje z rysunku współrzędne punktu E, a następnie wyznacza
\n

równanie stycznej AE i na tym poprzestaje, to może otrzymać 1 punkt.
3
10
0
x
y
13
9
0
x
y

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona/sol-14.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$B = \\left(-\\dfrac{17}{5}, \\dfrac{31}{5}\\right)$, $C = \\left(-3, -\\dfrac{13}{3}\\right)$

"}]}