Zadanie 15. (0-7)
Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w które można wpisać okrąg, spełniające
warunek: suma długości dłuższej podstawy a i wysokości trapezu jest równa 2.
a) Wyznacz wszystkie wartości a, dla których istnieje trapez o podanych własnościach.
b) Wykaż, że obwód L takiego trapezu, jako funkcja długości a dłuższej podstawy trapezu,
wyraża się wzorem ( )
2
4
8
8
a
a
L a
a
c) Oblicz tangens kąta ostrego tego spośród rozpatrywanych trapezów, którego obwód jest
najmniejszy.
MMA_1R
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
15.
Maks. liczba pkt
7
Uzyskana liczba pkt
MMA_1R
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)
Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w które można wpisać okrąg, spełniające warunek: suma długości dłuższej podstawy $a$ i wysokości trapezu jest równa 2. a) Wyznacz wszystkie wartości a, dla których istnieje trapez o podanych własnościach. b) Wykaż, że obwód L takiego trapezu, jako funkcja długości a dłuższej podstawy trapezu, wyraża się wzorem L(a) = 4a^2 - 8a + 8 / a. c) Oblicz tangens kąta ostrego tego spośród rozpatrywanych trapezów, którego obwód jest najmniejszy.
Zadanie 15. (0-7)
III. Modelowanie
matematyczne.
w figurach płaskich z zastosowaniem twierdzenia
sinusów i twierdzenia cosinusów. (R7.5).
do rozwiązywania zagadnień optymalizacyjnych
(R11.6).
Przykładowe rozwiązanie
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.
Wyznaczmy dziedzinę funkcji L. Z warunków zadania wynika, że
, więc
Stąd
. Jeśli
1
a = , to czworokąt jest kwadratem. Ponadto
. Jeśli
2
a =
, to
0
h =
i zamiast trapezu mamy do czynienia z odcinkiem o długości 2.
Rozważany trapez istnieje jedynie dla
(
)
1,2
a∈
Z warunków zadania otrzymujemy
, skąd
2
h
a
Ponieważ w trapez można wpisać okrąg, więc
Obwód L trapezu jest więc równy
Trapez jest równoramienny, więc odcinki AE i FB mają tę samą długość równą
Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta BCF otrzymujemy
,
2
2
2
2
2
a
b
a
b
h
,
2
2
2
2
2
4
2
4
4
2
4
a
ab
b
a
ab
b
h
,
2
h
ab
,
(
)
2
2
a
ab
,
a
h
2
a
a
1
a >
2
a <
2
a
h
2
a
b
c
(
)
2
2
L
a
b
c
a
b
2
a
b
p
2
2
2
p
h
c
(
)
2
2
2
4
4
a
a
a
b
a
a
Zatem
(
)
2
2
4
4
2
4
4
2
2
2
2
a
a
a
a
L
a
b
c
a
b
a
a
a
⋅
,
czyli
( )
2
4
8
8
a
a
L a
a
dla
Pochodna funkcji L jest równa
( )
(
)
(
)
(
)(
)
2
2
2
2
2
4
2
2
8
8
4
8
8 1
4
8
a
a
a
a
a
a
a
L a
a
a
a
⋅
⋅
′
dla
Ponieważ dla każdego
prawdziwa jest nierówność (
)
2
4
2
0
a
a
, więc
,
,
Oznacza to, że w przedziale
funkcja L jest malejąca, w przedziale
jest
rosnąca, a w punkcie
osiąga minimum lokalne, które jest zarazem jej najmniejszą
wartością.
Tangens kąta ostrego trapezu o najmniejszym obwodzie jest równy
(
)
(
)
(
)
2 4
4
2
2 2
2
2
tg
2 1
a b
a
a
a
a
a a
h
a
ABC
p
a
a
,
więc dla
2
a =
wartość tangensa jest równa
(
)
(
)
2
2
2
2
2 2
tg
1
2
2 2
2 1
2
ABC
,
co oznacza, że
45
ABC =
°
Schemat oceniania
Rozwiązanie zadania składa się z trzech etapów. Ocenianie II etapu jest niezależne od wyniku
uzyskanego za I etap.
I. Pierwszy etap, który oceniamy na 3 punkty, składa się z trzech części:
I.1) wyznaczenie wszystkich wartości a, dla których istnieje trapez o podanych
własnościach, czyli dziedziny funkcji L:
(
)
1,2
L
D =
(Za wyznaczenie dziedziny uznaje się też zapisanie dwóch nierówności: 2
0
a
,
2
a
a
).
I.2) zapisanie poprawnej zależności między wielkościami a i b, np.:
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
a b
a b
a
lub
2
4
4
a
a
b
a
(
)
1,2
a∈
(
)
1,2
a∈
(
)
1,2
a∈
( )
(
)
0
2
0
1,2
2
L a
a
a
a
′
⇔
∧
∈
⇔
( )
(
)
(
)
0
2
0
1,2
2,2
L a
a
a
a
′
⇔
\n\n∧
∈
⇔
∈
( )
(
)
(
)
0
2
0
1,2
1,
2
L a
a
a
a
′
<
⇔
<
∧
∈
⇔
∈
(1, 2
)
2,2
2
a =
I.3) wykazanie, że obwód L trapezu, jako funkcja zmiennej a, wyraża się wzorem:
( )
2
4
8
8
a
a
L a
a
Za poprawne rozwiązanie każdej z części tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.
II. Drugi etap (3 punkty) składa się z trzech części:
II.1) wyznaczenie pochodnej funkcji
( )
2
4
8
8
a
a
f a
a
:
( )
(
)
(
)
2
2
8
8
4
8
8 1
a
a
a
a
f
a
a
⋅-
⋅
′
lub
( )
2
2
4
8
a
f
a
a
′
II.2) obliczenie miejsc zerowych pochodnej funkcji f :
2
a = -
lub
2
a =
II.3) uzasadnienie (np. badanie monotoniczności funkcji), że funkcja L posiada wartość
najmniejszą dla
2
a =
III. Trzeci etap (1 punkt) - obliczenie tangensa kąta ostrego trapezu o najmniejszym polu:
tg
1
ABC =
Uwagi
wartości a, przy której pochodna się zeruje można uznać sytuacje, gdy zdający:
\njednocześnie jej najmniejsza wartość.
Jeżeli zdający nie przedstawi takiego uzasadnienia, to za II etap może otrzymać co najwyżej
2 punkty.
)
0,+∞ lub nie wyznaczy tej
dziedziny, to nie otrzymuje punktów za realizację części II.3.
)
0,2 lub zapisze warunki:
2
0
a
i
0
a >
, to może otrzymać 1 punkt za realizację części II.3., o ile uzasadni istnienie
najmniejszej wartości funkcji.
)
1,+∞ lub zapisze warunki:
a
h
i
0
h >
, lub zapisze warunek
2
a
a
, to może otrzymać 1 punkt za realizację części
II.3., o ile uzasadni istnienie najmniejszej wartości funkcji.
)
1,2 , to za realizację etapu
I.1 otrzymuje 1 punkt.
trapezu o najmniejszym obwodzie, ale dla wyznaczonej wartości a obliczy tangens kąta
ostrego trapezu, to może otrzymać 1 punkt za III etap.
2
4
8
8
a
a
a
g a
k
⋅
, gdzie
0
k ≠
,
to nie otrzymuje punktów za II i III etap rozwiązania.
funkcji i dalej popełnia błędy, ale otrzymana w rozwiązaniu pochodna ma dwa różne miejsca
zerowe, to zdający może otrzymać w II etapie punkty za konsekwentną realizację części II.2)
i II.3). Jeżeli z zapisu rozwiązania nie wynika, że zdający stosuje poprawny wzór na
pochodną ilorazu funkcji i zdający popełnia błędy przy obliczaniu pochodnej, ale otrzymuje
wzór na pochodną, w którym w liczniku jest wielomian stopnia 2, a w mianowniku a2, to
może w II etapie otrzymać jedynie punkt za konsekwentną realizację części II.3.
$\\text{tg}|\\sphericalangle ABC| = 1$ (co oznacza, że $|\\sphericalangle ABC| = 45^\\circ$)
"}]}