{"id":"matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad/6","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona","number":"6","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6. (0-3)\nStyczna do paraboli o równaniu\n1\n3\n2 -\nx\ny\nw punkcie\n(\n)\n0\n0, y\nx\nP =\njest nachylona do osi Ox\npod kątem\n°\n30 . Oblicz współrzędne punktu P.\nOdpowiedź:\n\nMMA_1R\nStyczna do paraboli o równaniu y = √3 x^2 - 1 w punkcie P=(x_0,y_0) jest nachylona do osi Ox pod kątem 30°. Oblicz współrzędne punktu P.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 6. (0-3)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji.\n11. Rachunek różniczkowy. Zdający korzysta\nz geometrycznej i fizycznej interpretacji pochodnej\n(R11.3 ).\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nRozważmy funkcję kwadratową f określoną wzorem\n( )\n2\n3\n1\nf\nx\nx\nWspółczynnik kierunkowy stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie\n(\n)\n0\n0, y\nx\nP =\nnachylonej do osi Ox pod kątem\n°\n30 jest równy tg30\n3\n3\n° =\ni jest równocześnie wartością\npochodnej funkcji f w punkcie\n0x .\nWyznaczamy pochodną funkcji f:\n( )\n2 3\nf ' x\nx\nWspółrzędna 0x punktu styczności spełnia więc równanie\n0\n2 3\n3\n3\nx =\nStąd\n0\n1\n6\nx =\nWartość funkcji f dla argumentu\n0\n1\n6\nx =\njest równa\n(\n)\n( )\n2\n0\n3\n1\n3 36\n1\n6\n36\nf x\nZatem punkt P ma współrzędne:\n0\n1\n6\nx =\n,\n0\n3 36\n36\ny =\nII sposób\nStyczna do paraboli nachylona do osi Ox pod kątem\n°\n30 ma współczynnik kierunkowy\nrówny tg30\n3\n3\n° =\n, więc jej równanie jest postaci\n3\n3\ny\nx\nb\nPunkt P to jedyny punkt wspólny paraboli i tej stycznej, więc układ równań\n2\n3\n1\ny\nx\ni\n3\n3\ny\nx\nb\n+ ma dokładnie jedno rozwiązanie. Tak jest wtedy i tylko wtedy, gdy równanie\n2\n3\n1\n3\n3\nx\nx\nb\n+ , czyli\n2\n3\n1\n0\n3\n3\nx\nx\nb\nma jedno rozwiązanie, którym jest\n0\n1\n2 3\n6\n3\n3\nx =\nJest to pierwsza współrzędna punktu P. Druga współrzędna tego punktu jest więc równa\n( )\n2\n0\n3\n1\n3 36\n1\n6\n36\ny =\nSchemat punktowania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania zadania 1 p.\nZdający\n• zapisze, że współczynnik kierunkowy stycznej jest równy tg30\n3\n3\n° =\nlub równanie\nstycznej:\n3\n3\ny\nx\nb\nalbo\n• wyznaczy pochodną funkcji f:\n( )\n2 3\nf ' x\nx\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2 p.\nZdający\n• zapisze równanie:\n0\n2 3\n3\n3\nx =\nalbo\n• zapisze równanie:\n2\n3\n1\n0\n3\n3\nx\nx\nb\ni stwierdzi, że ma ono dokładnie jedno\nrozwiązanie, np. zapisze\n0\nΔ =\nRozwiązanie pełne 3 p.\nZdający wyznaczy współrzędne punktu P:\n0\n1\n6\nx =\n,\n0\n3 36\n36\ny =\nUwagi\n1. Jeżeli zdający błędnie wyznaczy pochodną funkcji, ale poprawnie wyznaczy współczynnik\nkierunkowy stycznej, to jeśli nawet konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, otrzymuje\n1 punkt.\n2. Jeżeli zdający przyjmie, że współczynnik kierunkowy stycznej jest równy tg30°, ale\nprzypisuje tej wielkości błędną wartość liczbową, np. zapisze\n3\na =\nlub\ntg\n1\n2\na\nα\nitp., i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca, bez żadnego\ninnego błędu, to otrzymuje 2 punkty.\n3. Jeżeli zdający błędnie zinterpretuje współczynnik kierunkowy stycznej do paraboli, np.\nzapisze\n1\n2\na =\nlub\nsin\na\nα\nitp., i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie\ndo końca to otrzymuje 1 punkt.\n4. Jeżeli zdający błędnie przyjmie, że kąt nachylenia stycznej do osi Ox jest równy 150°,\ni konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca lub rozpatruje dwie\nstyczne o kątach nachylenia 30° i 150° do osi Ox, to otrzymuje 2 punkty.\n5. Jeżeli zdający realizuje strategię rozwiązania zadania i popełnia jedynie błędy rachunkowe,\nto może otrzymać 2 punkty, o ile popełnione błędy nie ułatwiają rozwiązania na żadnym\netapie.","solution":"$x_0 = \\dfrac{1}{6}$, $y_0 = \\dfrac{\\sqrt{3}-36}{36}$","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona/sol-6.svg","topics":"analityczna","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 6. (0-3)
Styczna do paraboli o równaniu
1
3
2 -
x
y
w punkcie
(
)
0
0, y
x
P =
jest nachylona do osi Ox
pod kątem
°
30 . Oblicz współrzędne punktu P.
Odpowiedź:

\n

MMA_1R
Styczna do paraboli o równaniu y = √3 x^2 - 1 w punkcie P=(x_0,y_0) jest nachylona do osi Ox pod kątem 30°. Oblicz współrzędne punktu P.

","answer_text_html":"

Zadanie 6. (0-3)
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
II. Wykorzystanie
i interpretowanie reprezentacji.

\n
  1. Rachunek różniczkowy. Zdający korzysta
\n

z geometrycznej i fizycznej interpretacji pochodnej
(R11.3 ).
Przykładowe rozwiązania
I sposób
Rozważmy funkcję kwadratową f określoną wzorem
( )
2
3
1
f
x
x
Współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie
(
)
0
0, y
x
P =
nachylonej do osi Ox pod kątem
°
30 jest równy tg30
3
3
° =
i jest równocześnie wartością
pochodnej funkcji f w punkcie
0x .
Wyznaczamy pochodną funkcji f:
( )
2 3
f ' x
x
Współrzędna 0x punktu styczności spełnia więc równanie
0
2 3
3
3
x =
Stąd
0
1
6
x =
Wartość funkcji f dla argumentu
0
1
6
x =
jest równa
(
)
( )
2
0
3
1
3 36
1
6
36
f x
Zatem punkt P ma współrzędne:
0
1
6
x =
,
0
3 36
36
y =
II sposób
Styczna do paraboli nachylona do osi Ox pod kątem
°
30 ma współczynnik kierunkowy
równy tg30
3
3
° =
, więc jej równanie jest postaci
3
3
y
x
b
Punkt P to jedyny punkt wspólny paraboli i tej stycznej, więc układ równań
2
3
1
y
x
i
3
3
y
x
b

\n\n

2
3
1
3
3
x
x
b

\n\n

2
3
1
0
3
3
x
x
b
ma jedno rozwiązanie, którym jest
0
1
2 3
6
3
3
x =
Jest to pierwsza współrzędna punktu P. Druga współrzędna tego punktu jest więc równa
( )
2
0
3
1
3 36
1
6
36
y =
Schemat punktowania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania zadania 1 p.
Zdający
• zapisze, że współczynnik kierunkowy stycznej jest równy tg30
3
3
° =
lub równanie
stycznej:
3
3
y
x
b
albo
• wyznaczy pochodną funkcji f:
( )
2 3
f ' x
x
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 2 p.
Zdający
• zapisze równanie:
0
2 3
3
3
x =
albo
• zapisze równanie:
2
3
1
0
3
3
x
x
b
i stwierdzi, że ma ono dokładnie jedno
rozwiązanie, np. zapisze
0
Δ =
Rozwiązanie pełne 3 p.
Zdający wyznaczy współrzędne punktu P:
0
1
6
x =
,
0
3 36
36
y =
Uwagi

\n
  1. Jeżeli zdający błędnie wyznaczy pochodną funkcji, ale poprawnie wyznaczy współczynnik
\n

kierunkowy stycznej, to jeśli nawet konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, otrzymuje
1 punkt.

\n
  1. Jeżeli zdający przyjmie, że współczynnik kierunkowy stycznej jest równy tg30°, ale
\n

przypisuje tej wielkości błędną wartość liczbową, np. zapisze
3
a =
lub
tg
1
2
a
α
itp., i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca, bez żadnego
innego błędu, to otrzymuje 2 punkty.

\n
  1. Jeżeli zdający błędnie zinterpretuje współczynnik kierunkowy stycznej do paraboli, np.
\n

zapisze
1
2
a =
lub
sin
a
α
itp., i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie
do końca to otrzymuje 1 punkt.

\n
  1. Jeżeli zdający błędnie przyjmie, że kąt nachylenia stycznej do osi Ox jest równy 150°,
\n

i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca lub rozpatruje dwie
styczne o kątach nachylenia 30° i 150° do osi Ox, to otrzymuje 2 punkty.

\n
  1. Jeżeli zdający realizuje strategię rozwiązania zadania i popełnia jedynie błędy rachunkowe,
\n

to może otrzymać 2 punkty, o ile popełnione błędy nie ułatwiają rozwiązania na żadnym
etapie.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona/sol-6.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$x_0 = \\dfrac{1}{6}$, $y_0 = \\dfrac{\\sqrt{3}-36}{36}$

"}]}