{"id":"matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad/7","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona","number":"7","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7. (0-3)\nTrójkąt ABC jest ostrokątny oraz AC\nBC\n>\n. Dwusieczna\nC\nd kąta ACB przecina bok AB\nw punkcie K. Punkt L jest obrazem punktu K w symetrii osiowej względem dwusiecznej\nA\nd\nkąta BAC, punkt M jest obrazem punktu L w symetrii osiowej względem dwusiecznej\nC\nd kąta\nACB, a punkt N jest obrazem punktu M w symetrii osiowej względem dwusiecznej\nB\nd kąta\nABC (zobacz rysunek).\nUdowodnij, że na czworokącie KNML można opisać okrąg.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n5.\n6.\n7.\nMaks. liczba pkt\n2\n3\n3\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1R\nTrójkąt ABC jest ostrokątny oraz |AC|>|BC|. Dwusieczna d_C kąta ACB przecina bok AB w punkcie K. Punkt L jest obrazem punktu K w symetrii osiowej względem dwusiecznej d_A kąta BAC, punkt M jest obrazem punktu L w symetrii osiowej względem dwusiecznej d_C kąta ACB, a punkt N jest obrazem punktu M w symetrii osiowej względem dwusiecznej d_B kąta ABC (zobacz rysunek). Udowodnij, że na czworokącie KNML można opisać okrąg.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 7. (0-3)\nV. Rozumowanie\ni argumentacja.\n7. Planimetria. Zdający stosuje twierdzenia\ncharakteryzujące czworokąty wpisane w okrąg\ni czworokąty opisane na okręgu (R7.1).\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób - bilans kątów\nOznaczmy miary kątów trójkąta ABC odpowiednio przez\nγ\nβ\nα\n2\n,\n2\n,\n2\n, a punkt wspólny\ndwusiecznej\nA\nd i odcinka KL przez P, dwusiecznej\nC\nd i odcinka LM przez R oraz\ndwusiecznej\nB\nd i odcinka MN przez Q.\nWówczas\n°\n180\n2\n2\n2\nγ\nβ\nα\n, stąd\n°\n90\nγ\nβ\nα\n. Wtedy\nKAP\nα\n\n, zatem\n90\nAKP\nα\n° -\n\ni\n(\n)\n180\n90\n90\nLKN\nα\nα\n°-\n° -\n° +\n\noraz\n90\nCMR\nγ\n° -\n\noraz\n90\nBMQ\nβ\n° -\n\n,\nzatem\n(\n) (\n)\n180\n90\n90\nLMN\nγ\nβ\nβ\nγ\n°-\n°-\n°-\n\nSuma kątów LKN i LMN jest więc równa\n(\n) (\n)\n90\n90\n180\nLKN\nLMN\nα\nβ\nγ\nα\nβ\nγ\n° +\n° =\n°\n\n\nTo oznacza, że na czworokącie KNML można opisać okrąg.\nA\nB\nC\nK\nM\nL\nN\nP\nR\nQ\nII sposób - symetralne\nRozważmy trójkąt KLM. Z definicji symetrii osiowej wynika, że dwusieczna\nA\nd jest\nsymetralną boku KL. Analogicznie dwusieczna\nC\nd jest symetralną boku LM. Symetralne\nboków trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który jest środkiem okręgu opisanego na\ntym trójkącie - oznaczmy go przez O. Czyli punkt wspólny dwusiecznych\nA\nd i\nC\nd\n(symetralnych boków trójkąta KLM) jest środkiem okręgu, którego promieniem jest\nw szczególności odcinek OL.\nPodobnie rozważmy trójkąt LMN . Z definicji symetrii osiowej wynika, że dwusieczna\nC\nd\njest symetralną boku LM . Analogicznie dwusieczna\nB\nd jest symetralną boku MN . Punkt\nwspólny tych dwusiecznych (symetralnych) jest tym samym punktem, o którym była mowa\nwyżej i jest oczywiście środkiem okręgu opisanego na trójkącie LMN. Zatem musi to być ten\nsam okrąg. Wszystkie wierzchołki czworokąta KNML leżą na tym okręgu. To kończy dowód.\nA\nB\nC\nK\nM\nL\nN\nP\nR\nQ\nO\nIII sposób - równość promieni\nOznaczmy przez O punkt przecięcia się dwusiecznych kątów trójkąta ABC, punkt wspólny\ndwusiecznej\nA\nd i odcinka KL przez P, dwusiecznej\nC\nd i odcinka LM przez R oraz\ndwusiecznej\nB\nd i odcinka MN przez Q.\nZ definicji symetrii osiowej i z treści zadania wynika, że KP\nLP\noraz KL\nAO\n⊥\n. Oznacza\nto, że trójkąty OPK i OPL są prostokątne, mają wspólną przyprostokątną OP oraz pozostałe\nprzyprostokątne są równej długości. Są to więc trójkąty przystające (na mocy cechy bkb\nprzystawania trójkątów). Stąd wynika, że\nOK\nOL =\n. Analogicznie trójkąty ORL i ORM są\nprzystające oraz trójkąty OQM i OQN są przystające, a w konsekwencji OL\nOM\noraz\nOM\nON\n. Zatem punkt O jest więc równooddalony od wszystkich wierzchołków\nczworokąta KNML, a to oznacza, że na tym czworokącie można opisać okrąg.\nSchemat punktowania\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 1 p.\nZdający\n• wyznaczy miarę jednego z kątów czworokąta KNML w zależności od miar kątów\ntrójkąta ABC, np.:\n90\nLKN\nα\n° +\n\nalbo\n• zapisze, że prosta zawierająca dwusieczną kąta trójkąta ABC jest symetralną jednego\nz odcinków KL, LM, MN\nalbo\n• zapisze jedną lub dwie równości spośród:\nOK\nOL =\n, OL\nOM\n, OM\nON\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nA\nB\nC\nK\nM\nL\nN\nO\nR\nP\nQ\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2 p.\nZdający\n• wyznaczy miary dwóch przeciwległych kątów czworokąta KNML w zależności od\nmiar kątów trójkąta ABC, np.:\n90\nLKN\nα\n° +\n\ni\nLMN\nβ\nγ\n\nalbo\n• zapisze, że punkt przecięcia dwusiecznych kątów trójkąta ABC jest środkiem okręgu\nopisanego na trójkącie KLM lub na trójkącie LMN, lub że jest punktem przecięcia\nsymetralnych trzech boków czworokąta KNML\nalbo\n• zapisze i uzasadni jedną lub dwie równości spośród:\nOK\nOL =\n, OL\nOM\n,\nOM\nON\nUwaga\nJeżeli zdający zapisze wszystkie równości\nOK\nOL =\n, OL\nOM\n, OM\nON\ni stąd wyciągnie wniosek, że punkt O jest środkiem okręgu opisanego na czworokącie\nKNML, ale nie uzasadni żadnej z tych równości (lub uzasadnienie nie będzie pełne),\nto otrzymuje 2 punkty.\nRozwiązanie pełne 3 p.\nZdający przeprowadzi pełne rozumowanie.\nUwagi\n1. Jeżeli zdający przeprowadza dowód z wykorzystaniem bilansu kątów i korzysta z równości\nkątów w trójkątach równoramiennych, to może otrzymać 3 punkty także w przypadku,\ngdy bez stosownego komentarza korzysta z faktu, że trójkąty są równoramienne.\n2. Jeżeli zdający\n• uzależni wszystkie kąty trójkąta ABC oraz jeden z kątów czworokąta KNML\nalbo\n• uzależni jeden z kątów LKN, KNM i jeden z kątów KLM, NML\nod kątów α = AKL = ALK, β = BML = BLM i γ = CLM = CML, to otrzymuje\n1 punkt.\n3. Jeżeli zdający\n• wyznaczy 2 przeciwległe kąty czworokąta KNML w zależności od α, β, γ i wykaże, że\nα + β + γ = 180º\nalbo\n• wyznaczy wszystkie kąty czworokąta KNML i obliczy sumę dwóch przeciwległych\nkątów czworokąta KNML,\nto otrzymuje 2 punkty.","solution":"Dowód","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona/sol-7.svg","topics":"dowody_geometryczne","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 7. (0-3)
Trójkąt ABC jest ostrokątny oraz AC
BC

\n
\n

. Dwusieczna
C
d kąta ACB przecina bok AB
w punkcie K. Punkt L jest obrazem punktu K w symetrii osiowej względem dwusiecznej
A
d
kąta BAC, punkt M jest obrazem punktu L w symetrii osiowej względem dwusiecznej
C
d kąta
ACB, a punkt N jest obrazem punktu M w symetrii osiowej względem dwusiecznej
B
d kąta
ABC (zobacz rysunek).
Udowodnij, że na czworokącie KNML można opisać okrąg.
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
5.
6.
7.
Maks. liczba pkt
2
3
3
Uzyskana liczba pkt

\n

MMA_1R
Trójkąt ABC jest ostrokątny oraz |AC|>|BC|. Dwusieczna d_C kąta ACB przecina bok AB w punkcie K. Punkt L jest obrazem punktu K w symetrii osiowej względem dwusiecznej d_A kąta BAC, punkt M jest obrazem punktu L w symetrii osiowej względem dwusiecznej d_C kąta ACB, a punkt N jest obrazem punktu M w symetrii osiowej względem dwusiecznej d_B kąta ABC (zobacz rysunek). Udowodnij, że na czworokącie KNML można opisać okrąg.

","answer_text_html":"

Zadanie 7. (0-3)
V. Rozumowanie
i argumentacja.

\n
  1. Planimetria. Zdający stosuje twierdzenia
\n

charakteryzujące czworokąty wpisane w okrąg
i czworokąty opisane na okręgu (R7.1).
Przykładowe rozwiązania
I sposób - bilans kątów
Oznaczmy miary kątów trójkąta ABC odpowiednio przez
γ
β
α
2
,
2
,
2
, a punkt wspólny
dwusiecznej
A
d i odcinka KL przez P, dwusiecznej
C
d i odcinka LM przez R oraz
dwusiecznej
B
d i odcinka MN przez Q.
Wówczas
°
180
2
2
2
γ
β
α
, stąd
°
90
γ
β
α
. Wtedy
KAP
α

, zatem
90
AKP
α
° -

i
(
)
180
90
90
LKN
α
α
°-
° -
° +

oraz
90
CMR
γ
° -

oraz
90
BMQ
β
° -

,
zatem
(
) (
)
180
90
90
LMN
γ
β
β
γ
°-
°-
°-

Suma kątów LKN i LMN jest więc równa
(
) (
)
90
90
180
LKN
LMN
α
β
γ
α
β
γ
° +
° =
°


To oznacza, że na czworokącie KNML można opisać okrąg.
A
B
C
K
M
L
N
P
R
Q
II sposób - symetralne
Rozważmy trójkąt KLM. Z definicji symetrii osiowej wynika, że dwusieczna
A
d jest
symetralną boku KL. Analogicznie dwusieczna
C
d jest symetralną boku LM. Symetralne
boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który jest środkiem okręgu opisanego na
tym trójkącie - oznaczmy go przez O. Czyli punkt wspólny dwusiecznych
A
d i
C
d
(symetralnych boków trójkąta KLM) jest środkiem okręgu, którego promieniem jest
w szczególności odcinek OL.
Podobnie rozważmy trójkąt LMN . Z definicji symetrii osiowej wynika, że dwusieczna
C
d
jest symetralną boku LM . Analogicznie dwusieczna
B
d jest symetralną boku MN . Punkt
wspólny tych dwusiecznych (symetralnych) jest tym samym punktem, o którym była mowa
wyżej i jest oczywiście środkiem okręgu opisanego na trójkącie LMN. Zatem musi to być ten
sam okrąg. Wszystkie wierzchołki czworokąta KNML leżą na tym okręgu. To kończy dowód.
A
B
C
K
M
L
N
P
R
Q
O
III sposób - równość promieni
Oznaczmy przez O punkt przecięcia się dwusiecznych kątów trójkąta ABC, punkt wspólny
dwusiecznej
A
d i odcinka KL przez P, dwusiecznej
C
d i odcinka LM przez R oraz
dwusiecznej
B
d i odcinka MN przez Q.
Z definicji symetrii osiowej i z treści zadania wynika, że KP
LP
oraz KL
AO
⊥
. Oznacza
to, że trójkąty OPK i OPL są prostokątne, mają wspólną przyprostokątną OP oraz pozostałe
przyprostokątne są równej długości. Są to więc trójkąty przystające (na mocy cechy bkb
przystawania trójkątów). Stąd wynika, że
OK
OL =
. Analogicznie trójkąty ORL i ORM są
przystające oraz trójkąty OQM i OQN są przystające, a w konsekwencji OL
OM
oraz
OM
ON
. Zatem punkt O jest więc równooddalony od wszystkich wierzchołków
czworokąta KNML, a to oznacza, że na tym czworokącie można opisać okrąg.
Schemat punktowania
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 1 p.
Zdający
• wyznaczy miarę jednego z kątów czworokąta KNML w zależności od miar kątów
trójkąta ABC, np.:
90
LKN
α
° +

albo
• zapisze, że prosta zawierająca dwusieczną kąta trójkąta ABC jest symetralną jednego
z odcinków KL, LM, MN
albo
• zapisze jedną lub dwie równości spośród:
OK
OL =
, OL
OM
, OM
ON
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
A
B
C
K
M
L
N
O
R
P
Q
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 2 p.
Zdający
• wyznaczy miary dwóch przeciwległych kątów czworokąta KNML w zależności od
miar kątów trójkąta ABC, np.:
90
LKN
α
° +

i
LMN
β
γ

albo
• zapisze, że punkt przecięcia dwusiecznych kątów trójkąta ABC jest środkiem okręgu
opisanego na trójkącie KLM lub na trójkącie LMN, lub że jest punktem przecięcia
symetralnych trzech boków czworokąta KNML
albo
• zapisze i uzasadni jedną lub dwie równości spośród:
OK
OL =
, OL
OM
,
OM
ON
Uwaga
Jeżeli zdający zapisze wszystkie równości
OK
OL =
, OL
OM
, OM
ON
i stąd wyciągnie wniosek, że punkt O jest środkiem okręgu opisanego na czworokącie
KNML, ale nie uzasadni żadnej z tych równości (lub uzasadnienie nie będzie pełne),
to otrzymuje 2 punkty.
Rozwiązanie pełne 3 p.
Zdający przeprowadzi pełne rozumowanie.
Uwagi

\n
  1. Jeżeli zdający przeprowadza dowód z wykorzystaniem bilansu kątów i korzysta z równości
\n

kątów w trójkątach równoramiennych, to może otrzymać 3 punkty także w przypadku,
gdy bez stosownego komentarza korzysta z faktu, że trójkąty są równoramienne.

\n
  1. Jeżeli zdający
\n

• uzależni wszystkie kąty trójkąta ABC oraz jeden z kątów czworokąta KNML
albo
• uzależni jeden z kątów LKN, KNM i jeden z kątów KLM, NML
od kątów α = AKL = ALK, β = BML = BLM i γ = CLM = CML, to otrzymuje
1 punkt.

\n
  1. Jeżeli zdający
\n

• wyznaczy 2 przeciwległe kąty czworokąta KNML w zależności od α, β, γ i wykaże, że
α + β + γ = 180º
albo
• wyznaczy wszystkie kąty czworokąta KNML i obliczy sumę dwóch przeciwległych
kątów czworokąta KNML,
to otrzymuje 2 punkty.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona/sol-7.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

Dowód

"}]}