{"id":"matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad/8","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona","number":"8","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8. (0-3)\nUdowodnij, że dla każdej liczby całkowitej k i dla każdej liczby całkowitej m liczba\n3\n3\nkm\nm\nk\njest podzielna przez 6.\n\nMMA_1R\nUdowodnij, że dla każdej liczby całkowitej k i dla każdej liczby całkowitej m liczba k^3m - km^3 jest podzielna przez 6.","answer":"A, B, C, D","answer_text":"Zadanie 8. (0-3)\nV. Rozumowanie\ni argumentacja.\n2. Wyrażenia algebraiczne. Zdający rozkłada wielomian\nna czynniki, stosując wzory skróconego mnożenia lub\nwyłączając wspólny czynnik przed nawias (R2.3).\nSP2. Działania na liczbach naturalnych. Zdający\nrozpoznaje liczby naturalne podzielne przez 2, 3\n(SP2.3).\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nZauważmy, że\n(\n)\n(\n)(\n)\nm\nk\nm\nk\nkm\nm\nk\nkm\nkm\nm\nk\n2\n2\n3\n3\nRozwiązanie zadania składa się z dwóch etapów:\n• uzasadnienie podzielności przez 2;\n• uzasadnienie podzielności przez 3.\nPodzielność przez 2.\nGdy którakolwiek z liczb k, m jest parzysta, to iloczyn\n(\n)\n2\n2\nm\nk\nkm\njest parzysty, a gdy obie\nliczby k, m są nieparzyste, to ich suma k\nm\njest liczbą parzystą, więc iloczyn\n(\n)(\n)\nkm k\nm\nk\nm\njest podzielny przez 2.\nPodzielność przez 3. (I sposób)\nDowód przeprowadzimy w czterech rozłącznych sytuacjach: A, B, C, D.\nA. Którakolwiek z liczb k, m jest podzielna przez 3\nWtedy iloczyn\n(\n)\n2\n2\nm\nk\nkm\njest podzielny przez 3.\nB. Obie liczby k, m przy dzieleniu przez 3 dają resztę 1\nWtedy liczba\nm\nk -\njest podzielna przez 3, więc iloczyn\n(\n)(\n)\nkm k\nm\nk\nm\njest\npodzielny przez 3.\nC. Obie liczby k, m przy dzieleniu przez 3 dają resztę 2\nWtedy liczba\nm\nk -\njest podzielna przez 3, więc iloczyn\n(\n)(\n)\nkm k\nm\nk\nm\njest\npodzielny przez 3.\nD. Jedna z liczb k, m przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1, a druga przy dzieleniu przez 3\ndaje resztę 2\nWtedy liczba\nm\nk +\njest podzielna przez 3, więc iloczyn\n(\n)(\n)\nkm k\nm\nk\nm\njest\npodzielny przez 3.\nPodzielność przez 3. (II sposób)\nDowód przeprowadzimy w dwóch rozłącznych sytuacjach: E, F.\nE. Którakolwiek z liczb k, m jest podzielna przez 3.\nWtedy iloczyn\n(\n)\n2\n2\nm\nk\nkm\njest podzielny przez 3.\nF. Żadna z liczb k, m nie jest podzielna przez 3.\nWtedy kwadrat każdej z nich przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1, więc różnica\n2\n2\nk\nm\njest podzielna przez 3.\nWykazaliśmy zatem, że liczba\n3\n3\nk m\nkm\njest podzielna przez 2 i przez 3, więc jest podzielna\nprzez\n3\n2 ⋅\n, czyli przez 6. To kończy dowód.\nII sposób\nZauważmy, że\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)(\n)\n(\n)(\n)\n3\n3\n2\n2\n2\n2\n1 1\n1\n1\n1\n1\n1\n1\nk m\nkm\nkm k\nm\nkm k\nkm m\nkm k\nk\nkm m\nm\nIloczyn (\n)(\n)\n1\n1\nk k\nk\nto iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych, więc dokładnie jedna\nz nich jest podzielna przez 3 i co najmniej jedna jest podzielna przez 2, więc iloczyn jest\npodzielny przez 2 i przez 3, a więc jest podzielny przez 6. Analogicznie iloczyn\n(\n)(\n)\n1\n1\nm m\nm\njest podzielny przez 6. Różnica dwóch liczb podzielnych przez 6 jest\npodzielna przez 6. To kończy dowód.\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 1 p.\njeśli\n• uzasadni podzielność przez 2\nalbo\n• uzasadni podzielność przez 3 w dwóch przypadkach spośród A, B, C, D,\nalbo\n• uzasadni podzielność przez 3 w przypadku F.\nZdający otrzymuje 2 p.\njeśli\n• uzasadni podzielność przez 2 i uzasadni podzielność przez 3 w dwóch przypadkach\nspośród A, B, C, D\nalbo\n• uzasadni podzielność przez 2 i uzasadni podzielność przez 3 w przypadku F,\nalbo\n• uzasadni podzielność przez 3,\nalbo\n• zapisze liczbę\n3\n3\nk m\nkm\nw postaci\n(\n)(\n)\n(\n)(\n)\n1\n1\n1\n1\nkm k\nk\nkm m\nm\nZdający otrzymuje 3 p.\nprzeprowadzi pełne rozumowanie uzasadniające podzielność przez 6.\nUwagi\n1. Akceptujemy sytuację, w której zdający stwierdza bez uzasadnienia, że iloczyn trzech\nkolejnych liczb całkowitych jest podzielny przez 6 oraz różnica liczb podzielnych\nprzez 6 jest podzielna przez 6.\n2. Jeżeli zdający rozważa reszty z dzielenia liczb k i m przez 6 i udowodni podzielność\nprzez 6 w jednym z poniższych 5 przypadków:\n- dokładnie jedna z liczb k, m jest podzielna przez 6 lub obie liczby k, m dają przy\ndzieleniu przez 6 tę samą resztę;\n- żadna z liczb k, m nie jest podzielna przez 6, a o podzielności liczby k3m - km3\nmożna wnioskować na podstawie iloczynu liczb k, m;\n- żadna z liczb k, m nie jest podzielna przez 6, a o podzielności liczby k3m - km3\nmożna wnioskować na podstawie sumy liczb k, m;\n- żadna z liczb k, m nie jest podzielna przez 6, a o podzielności liczby k3m - km3\nmożna wnioskować na podstawie sumy i iloczynu liczb k, m;\n- żadna z liczb k, m nie jest podzielna przez 6, a o podzielności liczby k3m - km3\nmożna wnioskować na podstawie różnicy i iloczynu liczb k, m,\nto otrzymuje 1 punkt.\n3. Jeżeli zdający rozważa reszty z dzielenia liczb k i m przez 6 i udowodni podzielność\nprzez 6 w trzech z poniższych 5 przypadków:\n- dokładnie jedna z liczb k, m jest podzielna przez 6 lub obie liczby k, m dają przy\ndzieleniu przez 6 tę samą resztę;\n- żadna z liczb k, m nie jest podzielna przez 6, a o podzielności liczby k3m - km3\nmożna wnioskować na podstawie iloczynu liczb k, m;\n- żadna z liczb k, m nie jest podzielna przez 6, a o podzielności liczby k3m - km3\nmożna wnioskować na podstawie sumy liczb k, m;\n- żadna z liczb k, m nie jest podzielna przez 6, a o podzielności liczby k3m - km3\nmożna wnioskować na podstawie sumy i iloczynu liczb k, m;\n- żadna z liczb k, m nie jest podzielna przez 6, a o podzielności liczby k3m - km3\nmożna wnioskować na podstawie różnicy i iloczynu liczb k, m,\nto otrzymuje 2 punkty.","solution":"Dowód","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona/sol-8.svg","topics":"liczby_naturalne","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 8. (0-3)
Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej k i dla każdej liczby całkowitej m liczba
3
3
km
m
k
jest podzielna przez 6.

\n

MMA_1R
Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej k i dla każdej liczby całkowitej m liczba k^3m - km^3 jest podzielna przez 6.

","answer_text_html":"

Zadanie 8. (0-3)
V. Rozumowanie
i argumentacja.

\n
  1. Wyrażenia algebraiczne. Zdający rozkłada wielomian
\n

na czynniki, stosując wzory skróconego mnożenia lub
wyłączając wspólny czynnik przed nawias (R2.3).
SP2. Działania na liczbach naturalnych. Zdający
rozpoznaje liczby naturalne podzielne przez 2, 3
(SP2.3).
Przykładowe rozwiązania
I sposób
Zauważmy, że
(
)
(
)(
)
m
k
m
k
km
m
k
km
km
m
k
2
2
3
3
Rozwiązanie zadania składa się z dwóch etapów:
• uzasadnienie podzielności przez 2;
• uzasadnienie podzielności przez 3.
Podzielność przez 2.
Gdy którakolwiek z liczb k, m jest parzysta, to iloczyn
(
)
2
2
m
k
km
jest parzysty, a gdy obie
liczby k, m są nieparzyste, to ich suma k
m
jest liczbą parzystą, więc iloczyn
(
)(
)
km k
m
k
m
jest podzielny przez 2.
Podzielność przez 3. (I sposób)
Dowód przeprowadzimy w czterech rozłącznych sytuacjach: A, B, C, D.
A. Którakolwiek z liczb k, m jest podzielna przez 3
Wtedy iloczyn
(
)
2
2
m
k
km
jest podzielny przez 3.
B. Obie liczby k, m przy dzieleniu przez 3 dają resztę 1
Wtedy liczba
m
k -
jest podzielna przez 3, więc iloczyn
(
)(
)
km k
m
k
m
jest
podzielny przez 3.
C. Obie liczby k, m przy dzieleniu przez 3 dają resztę 2
Wtedy liczba
m
k -
jest podzielna przez 3, więc iloczyn
(
)(
)
km k
m
k
m
jest
podzielny przez 3.
D. Jedna z liczb k, m przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1, a druga przy dzieleniu przez 3
daje resztę 2
Wtedy liczba
m
k +
jest podzielna przez 3, więc iloczyn
(
)(
)
km k
m
k
m
jest
podzielny przez 3.
Podzielność przez 3. (II sposób)
Dowód przeprowadzimy w dwóch rozłącznych sytuacjach: E, F.
E. Którakolwiek z liczb k, m jest podzielna przez 3.
Wtedy iloczyn
(
)
2
2
m
k
km
jest podzielny przez 3.
F. Żadna z liczb k, m nie jest podzielna przez 3.
Wtedy kwadrat każdej z nich przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1, więc różnica
2
2
k
m
jest podzielna przez 3.
Wykazaliśmy zatem, że liczba
3
3
k m
km
jest podzielna przez 2 i przez 3, więc jest podzielna
przez
3
2 ⋅
, czyli przez 6. To kończy dowód.
II sposób
Zauważmy, że
(
)
(
)
(
)
(
)(
)
(
)(
)
3
3
2
2
2
2
1 1
1
1
1
1
1
1
k m
km
km k
m
km k
km m
km k
k
km m
m
Iloczyn (
)(
)
1
1
k k
k
to iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych, więc dokładnie jedna
z nich jest podzielna przez 3 i co najmniej jedna jest podzielna przez 2, więc iloczyn jest
podzielny przez 2 i przez 3, a więc jest podzielny przez 6. Analogicznie iloczyn
(
)(
)
1
1
m m
m
jest podzielny przez 6. Różnica dwóch liczb podzielnych przez 6 jest
podzielna przez 6. To kończy dowód.
Schemat punktowania
Zdający otrzymuje 1 p.
jeśli
• uzasadni podzielność przez 2
albo
• uzasadni podzielność przez 3 w dwóch przypadkach spośród A, B, C, D,
albo
• uzasadni podzielność przez 3 w przypadku F.
Zdający otrzymuje 2 p.
jeśli
• uzasadni podzielność przez 2 i uzasadni podzielność przez 3 w dwóch przypadkach
spośród A, B, C, D
albo
• uzasadni podzielność przez 2 i uzasadni podzielność przez 3 w przypadku F,
albo
• uzasadni podzielność przez 3,
albo
• zapisze liczbę
3
3
k m
km
w postaci
(
)(
)
(
)(
)
1
1
1
1
km k
k
km m
m
Zdający otrzymuje 3 p.
przeprowadzi pełne rozumowanie uzasadniające podzielność przez 6.
Uwagi

\n
  1. Akceptujemy sytuację, w której zdający stwierdza bez uzasadnienia, że iloczyn trzech
\n

kolejnych liczb całkowitych jest podzielny przez 6 oraz różnica liczb podzielnych
przez 6 jest podzielna przez 6.

\n
  1. Jeżeli zdający rozważa reszty z dzielenia liczb k i m przez 6 i udowodni podzielność
\n

przez 6 w jednym z poniższych 5 przypadków:

\n\n

dzieleniu przez 6 tę samą resztę;

\n\n

można wnioskować na podstawie iloczynu liczb k, m;

\n\n

można wnioskować na podstawie sumy liczb k, m;

\n\n

można wnioskować na podstawie sumy i iloczynu liczb k, m;

\n\n

można wnioskować na podstawie różnicy i iloczynu liczb k, m,
to otrzymuje 1 punkt.

\n
  1. Jeżeli zdający rozważa reszty z dzielenia liczb k i m przez 6 i udowodni podzielność
\n

przez 6 w trzech z poniższych 5 przypadków:

\n\n

dzieleniu przez 6 tę samą resztę;

\n\n

można wnioskować na podstawie iloczynu liczb k, m;

\n\n

można wnioskować na podstawie sumy liczb k, m;

\n\n

można wnioskować na podstawie sumy i iloczynu liczb k, m;

\n\n

można wnioskować na podstawie różnicy i iloczynu liczb k, m,
to otrzymuje 2 punkty.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona/sol-8.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

Dowód

"}]}