{"id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (1 pkt)\nLiczba 1 jest miejscem zerowym funkcji liniowej\n( )\nf\nx\nax\nb\n, a punkt\n(\n)\n3,\n2\nM =\nnależy\ndo wykresu tej funkcji. Współczynnik a we wzorze tej funkcji jest równy\nA. 1\nB.\n3\n2\nC.\n2\n3\nD.\n1","answer":"D","answer_text":"Zadanie 10. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji\n4. Funkcje. Zdający wyznacza wzór funkcji\nliniowej (4.f).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\((1, -12)\\)\n\n## Sposób 1 - wzór na wierzchołek paraboli\n\nMamy funkcję \\(f(x) = x^2 - 2x - 11\\), czyli \\(a = 1\\), \\(b = -2\\), \\(c = -11\\).\n\n**Wyznaczamy współrzędną \\(p\\) (odcięta wierzchołka):**\n\n\\[p = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{-2}{2 \\cdot 1} = \\frac{2}{2} = 1\\]\n\n**Wyznaczamy współrzędną \\(q\\) (rzędna wierzchołka):**\n\n\\[q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\]\n\nNajpierw liczymy wyróżnik:\n\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-11) = 4 + 44 = 48\\]\n\nZatem:\n\n\\[q = -\\frac{48}{4 \\cdot 1} = -\\frac{48}{4} = -12\\]\n\n**Wierzchołek paraboli to \\(W = (1, -12)\\).**\n\n## Sposób 2 - przekształcenie do postaci kanonicznej\n\nDoprowadzamy \\(f(x) = x^2 - 2x - 11\\) do postaci \\(a(x-p)^2 + q\\) przez uzupełnienie do pełnego kwadratu.\n\nWydzielamy kwadrat z pierwszych dwóch wyrazów:\n\n\\[f(x) = (x^2 - 2x) - 11\\]\n\nUzupełniamy do pełnego kwadratu - do wyrażenia w nawiasie brakuje wyrazu \\(+1\\), więc dodajemy i odejmujemy \\(1\\):\n\n\\[f(x) = (x^2 - 2x + 1) - 1 - 11\\]\n\n\\[f(x) = (x - 1)^2 - 12\\]\n\nTo jest postać kanoniczna \\(f(x) = a(x-p)^2 + q\\), gdzie:\n- \\(p = 1\\) - odcięta wierzchołka\n- \\(q = -12\\) - rzędna wierzchołka\n\n**Wierzchołek: \\(W = (1, -12)\\). ✓**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wierzchołek paraboli:\n\\[p = -\\frac{b}{2a}, \\qquad q = -\\frac{\\Delta}{4a}, \\qquad \\Delta = b^2 - 4ac\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 bezpośrednio do wyznaczenia współrzędnych wierzchołka.\n\n**Dział 7 (s. 8)** - postać kanoniczna:\n\\[f(x) = a(x - p)^2 + q\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 2 przy uzupełnianiu do pełnego kwadratu.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Wzięto \\(p = -\\frac{b}{a} = -(-2) = 2\\), a potem pomylono znak - zapisano \\(-2\\) zamiast \\(2\\). Lub wzięto \\(p = b = -2\\) wprost bez wzoru. |\n| B | Odcięta \\(-2\\) - jak wyżej (błędna). Rzędna \\(-12\\) - ta część jest poprawna, ale przy błędnej odciętej. |\n| C | Odcięta \\(1\\) - poprawna! Rzędna obliczona błędnie: prawdopodobnie policzono \\(f(1) = 1 - 2 - 11 = -12\\) i zapisano \\(-8\\) przez arytmetyczny błąd (np. \\(1 - 2 - 11 = -8\\) - pominięto \\(c = -11\\) i dodano tylko \\(-8\\)). Lub wyliczono \\(q = c = -11\\) i pomylono z \\(-8\\). |\n| D | **Poprawna.** |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór na \\(p\\) to \\(-\\frac{b}{2a}\\) - pamiętaj o minusie przed ułamkiem! Przy \\(b = -2\\) łatwo zgubić podwójny minus: \\(-\\frac{-2}{2} = +1\\), nie \\(-1\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Rzędna wierzchołka \\(q \\neq f(0)\\) i \\(q \\neq c\\)! Żeby policzyć \\(q\\), podstaw \\(x = p\\) do wzoru funkcji: \\(f(1) = 1 - 2 - 11 = -12\\). To szybka alternatywa dla wzoru \\(q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\) i dobra weryfikacja.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy uzupełnianiu do pełnego kwadratu (Sposób 2) - jeśli dodajesz \\(+1\\) w nawiasie, musisz też odjąć \\(-1\\) na zewnątrz, żeby nie zmienić wartości funkcji. Ten krok jest najczęstszym źródłem błędów rachunkowych.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Wzór na wierzchołek\nDla \\(f(x) = ax^2 + bx + c\\) wierzchołek \\(W = (p, q)\\), gdzie \\(p = -\\tfrac{b}{2a}\\), \\(q = f(p)\\) (karta wzorów, Dział 4). Tu \\(a=1,\\ b=-2,\\ c=-11\\):\n\\[p = -\\tfrac{-2}{2\\cdot 1} = 1.\\]\n\\[q = f(1) = 1 - 2 - 11 = -12.\\]\nWierzchołek: \\((1, -12)\\).\n\n### Sposób 2 - Postać kanoniczna\n\\[f(x) = x^2 - 2x - 11 = (x-1)^2 - 1 - 11 = (x-1)^2 - 12.\\]\nStąd wierzchołek w \\((1, -12)\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\((-2, -3)\\)** - pomylenie znaków w \\(p = -\\tfrac{b}{2a}\\).\n- **B. \\((-2, -12)\\)** - zły znak \\(p\\), dobra wartość \\(q\\).\n- **C. \\((1, -8)\\)** - dobry \\(p\\), ale błąd rachunkowy przy \\(q\\).\n\n**Trik:** Zawsze sprawdź: dobry \\(p\\) daje minimum \\(q = f(p)\\).","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 10. (1 pkt)<br>Liczba 1 jest miejscem zerowym funkcji liniowej<br>( )<br>f<br>x<br>ax<br>b<br>, a punkt<br>(<br>)<br>3,<br>2<br>M =<br>należy<br>do wykresu tej funkcji. Współczynnik a we wzorze tej funkcji jest równy<br>A. 1<br>B.<br>3<br>2<br>C.<br>2<br>3<br>D.<br>1</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 10. (0-1)<br>I. Wykorzystanie<br>i tworzenie informacji</p>\n<ol><li>Funkcje. Zdający wyznacza wzór funkcji</li></ol>\n<p>liniowej (4.f).<br>Wersja<br>I<br>Wersja<br>II<br>D<br>A</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D - \\((1, -12)\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - wzór na wierzchołek paraboli</h4>\n<p>Mamy funkcję \\(f(x) = x^2 - 2x - 11\\), czyli \\(a = 1\\), \\(b = -2\\), \\(c = -11\\).</p>\n<p><strong>Wyznaczamy współrzędną \\(p\\) (odcięta wierzchołka):</strong></p>\n<p>\\[p = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{-2}{2 \\cdot 1} = \\frac{2}{2} = 1\\]</p>\n<p><strong>Wyznaczamy współrzędną \\(q\\) (rzędna wierzchołka):</strong></p>\n<p>\\[q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\]</p>\n<p>Najpierw liczymy wyróżnik:</p>\n<p>\\[\\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-11) = 4 + 44 = 48\\]</p>\n<p>Zatem:</p>\n<p>\\[q = -\\frac{48}{4 \\cdot 1} = -\\frac{48}{4} = -12\\]</p>\n<p><strong>Wierzchołek paraboli to \\(W = (1, -12)\\).</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - przekształcenie do postaci kanonicznej</h4>\n<p>Doprowadzamy \\(f(x) = x^2 - 2x - 11\\) do postaci \\(a(x-p)^2 + q\\) przez uzupełnienie do pełnego kwadratu.</p>\n<p>Wydzielamy kwadrat z pierwszych dwóch wyrazów:</p>\n<p>\\[f(x) = (x^2 - 2x) - 11\\]</p>\n<p>Uzupełniamy do pełnego kwadratu - do wyrażenia w nawiasie brakuje wyrazu \\(+1\\), więc dodajemy i odejmujemy \\(1\\):</p>\n<p>\\[f(x) = (x^2 - 2x + 1) - 1 - 11\\]</p>\n<p>\\[f(x) = (x - 1)^2 - 12\\]</p>\n<p>To jest postać kanoniczna \\(f(x) = a(x-p)^2 + q\\), gdzie:</p>\n<ul><li>\\(p = 1\\) - odcięta wierzchołka</li><li>\\(q = -12\\) - rzędna wierzchołka</li></ul>\n<p><strong>Wierzchołek: \\(W = (1, -12)\\). ✓</strong></p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)</strong> - wierzchołek paraboli:<br>\\[p = -\\frac{b}{2a}, \\qquad q = -\\frac{\\Delta}{4a}, \\qquad \\Delta = b^2 - 4ac\\]<br>Użyliśmy tego w Sposobie 1 bezpośrednio do wyznaczenia współrzędnych wierzchołka.</p>\n<p><strong>Dział 7 (s. 8)</strong> - postać kanoniczna:<br>\\[f(x) = a(x - p)^2 + q\\]<br>Użyliśmy tego w Sposobie 2 przy uzupełnianiu do pełnego kwadratu.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A | Wzięto \\(p = -\\frac{b}{a} = -(-2) = 2\\), a potem pomylono znak - zapisano \\(-2\\) zamiast \\(2\\). Lub wzięto \\(p = b = -2\\) wprost bez wzoru. |<br>| B | Odcięta \\(-2\\) - jak wyżej (błędna). Rzędna \\(-12\\) - ta część jest poprawna, ale przy błędnej odciętej. |<br>| C | Odcięta \\(1\\) - poprawna! Rzędna obliczona błędnie: prawdopodobnie policzono \\(f(1) = 1 - 2 - 11 = -12\\) i zapisano \\(-8\\) przez arytmetyczny błąd (np. \\(1 - 2 - 11 = -8\\) - pominięto \\(c = -11\\) i dodano tylko \\(-8\\)). Lub wyliczono \\(q = c = -11\\) i pomylono z \\(-8\\). |<br>| D | <strong>Poprawna.</strong> |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wzór na \\(p\\) to \\(-\\frac{b}{2a}\\) - pamiętaj o minusie przed ułamkiem! Przy \\(b = -2\\) łatwo zgubić podwójny minus: \\(-\\frac{-2}{2} = +1\\), nie \\(-1\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Rzędna wierzchołka \\(q \\neq f(0)\\) i \\(q \\neq c\\)! Żeby policzyć \\(q\\), podstaw \\(x = p\\) do wzoru funkcji: \\(f(1) = 1 - 2 - 11 = -12\\). To szybka alternatywa dla wzoru \\(q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\) i dobra weryfikacja.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy uzupełnianiu do pełnego kwadratu (Sposób 2) - jeśli dodajesz \\(+1\\) w nawiasie, musisz też odjąć \\(-1\\) na zewnątrz, żeby nie zmienić wartości funkcji. Ten krok jest najczęstszym źródłem błędów rachunkowych.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Wzór na wierzchołek</h5>\n<p>Dla \\(f(x) = ax^2 + bx + c\\) wierzchołek \\(W = (p, q)\\), gdzie \\(p = -\\tfrac{b}{2a}\\), \\(q = f(p)\\) (karta wzorów, Dział 4). Tu \\(a=1,\\ b=-2,\\ c=-11\\):<br>\\[p = -\\tfrac{-2}{2\\cdot 1} = 1.\\]<br>\\[q = f(1) = 1 - 2 - 11 = -12.\\]<br>Wierzchołek: \\((1, -12)\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Postać kanoniczna</h5>\n<p>\\[f(x) = x^2 - 2x - 11 = (x-1)^2 - 1 - 11 = (x-1)^2 - 12.\\]<br>Stąd wierzchołek w \\((1, -12)\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\((-2, -3)\\)</strong> - pomylenie znaków w \\(p = -\\tfrac{b}{2a}\\).</li><li><strong>B. \\((-2, -12)\\)</strong> - zły znak \\(p\\), dobra wartość \\(q\\).</li><li><strong>C. \\((1, -8)\\)</strong> - dobry \\(p\\), ale błąd rachunkowy przy \\(q\\).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> Zawsze sprawdź: dobry \\(p\\) daje minimum \\(q = f(p)\\).</p>"}]}