{"id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (1 pkt)\nDany jest ciąg (\n)\nn\na\njest określony wzorem\n5\n2\n6\nn\nn\na\ndla\n1\n≥\nn\n. Ciąg ten jest\nA. arytmetyczny i jego różnica jest równa\n1\n3\nr = -\nB. arytmetyczny i jego różnica jest równa\n2\nr = -.\nC. geometryczny i jego iloraz jest równy\n1\n3\nq = -\nD. geometryczny i jego iloraz jest równy\n5\n6\nq =\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":"A","answer_text":"Zadanie 11. (0-1)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n5. Ciągi liczbowe. Zdający bada, czy dany\nciąg jest arytmetyczny lub geometryczny\n(5.b).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\n\\(x_1 + x_2 = 11\\)\n\n## Sposób 1 - Bezpośredni odczyt z postaci iloczynowej\n\nFunkcja jest dana w **postaci iloczynowej**:\n\\[f(x) = -3(x-2)(x-9)\\]\n\nMiejsca zerowe to wartości \\(x\\), dla których \\(f(x) = 0\\):\n\\[-3(x-2)(x-9) = 0\\]\n\nIloczyn jest równy zero, gdy jeden z czynników wynosi zero:\n\\[x - 2 = 0 \\quad \\Rightarrow \\quad x_1 = 2\\]\n\\[x - 9 = 0 \\quad \\Rightarrow \\quad x_2 = 9\\]\n\nZatem:\n\\[x_1 + x_2 = 2 + 9 = \\mathbf{11}\\]\n\n## Sposób 2 - Wzory Viète'a\n\nRozpisujemy funkcję do **postaci ogólnej** \\(ax^2 + bx + c\\):\n\\[f(x) = -3(x-2)(x-9) = -3(x^2 - 11x + 18)\\]\n\\[f(x) = -3x^2 + 33x - 54\\]\n\nMamy więc: \\(a = -3\\), \\(b = 33\\), \\(c = -54\\).\n\nZe wzorów Viète'a suma miejsc zerowych wynosi:\n\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a} = -\\frac{33}{-3} = \\mathbf{11}\\]\n\nWynik zgodny z Metodą 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)**\n\nPostać iloczynowa (gdy \\(\\Delta \\geq 0\\)):\n\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]\nBezpośrednio widać miejsca zerowe \\(x_1\\) i \\(x_2\\) - skorzystaliśmy z tego w Sposobie 1.\n\nWzory Viète'a:\n\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}, \\quad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]\nZastosowane w Sposobie 2.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B | Policzono \\(-(2+9) = -11\\), błędnie dodając minus ze współczynnika \\(-3\\) do sumy pierwiastków |\n| C | Policzono \\(x_1 \\cdot x_2 = 2 \\cdot 9 = 18\\), a następnie pomnożono przez \\(-3\\): wynik \\(-54\\) lub pomylono sumę z \\(-\\frac{b}{a}\\) licząc \\(-\\frac{33}{-1}\\) zamiast \\(-\\frac{33}{-3}\\) - albo wzięto samo \\(b = 33\\) bez znaku |\n| D | Wzięto \\(-b = -33\\) zamiast \\(-\\frac{b}{a} = -\\frac{33}{-3} = 11\\), czyli zapomniano podzielić przez \\(a\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Współczynnik \\(-3\\) przed nawiasami **nie wpływa na miejsca zerowe** - przyrównujemy do zera tylko nawiasy \\((x-2)\\) i \\((x-9)\\). Czynnik stały nigdy nie wyzeruje wyrażenia.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 2 - przy wzorze Viète'a pamiętaj o znaku: \\(x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}\\), a nie \\(\\frac{b}{a}\\). Tu \\(b = 33\\) i \\(a = -3\\), więc wynik to \\(-\\frac{33}{-3} = +11\\), nie \\(-11\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl sumy miejsc zerowych \\((x_1 + x_2)\\) z iloczynem \\((x_1 \\cdot x_2)\\). Iloczyn wynosiłby \\(\\frac{c}{a} = \\frac{-54}{-3} = 18\\), co nie jest żadną z oferowanych odpowiedzi - to właśnie mylenie tych dwóch wzorów Viète'a jest częstym błędem.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Odczyt z postaci iloczynowej\nZ postaci iloczynowej \\(f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)\\) odczytujemy miejsca zerowe: \\(x_1 = 2,\\ x_2 = 9\\). Zatem:\n\\[x_1 + x_2 = 2 + 9 = 11.\\]\n\n### Sposób 2 - Wzory Viète'a\nPo rozwinięciu: \\(f(x) = -3(x^2 - 11x + 18) = -3x^2 + 33x - 54\\). Ze wzoru Viète'a \\(x_1 + x_2 = -\\tfrac{b}{a} = -\\tfrac{33}{-3} = 11\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(-11\\)** - zły znak (prawdopodobnie błąd przy ekstrakcji z \\((x-2)(x-9)\\)).\n- **C. 33** - to \\(-\\tfrac{b}{a}\\) z niepoprawnym znakiem \\(a\\) (pomylenie).\n- **D. \\(-33\\)** - podwójny błąd znaku.\n\n**Trik:** Postać iloczynowa \\(a(x-x_1)(x-x_2)\\) bezpośrednio ujawnia miejsca zerowe.","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 11. (1 pkt)
Dany jest ciąg (
)
n
a
jest określony wzorem
5
2
6
n
n
a
dla
1
≥
n
. Ciąg ten jest
A. arytmetyczny i jego różnica jest równa
1
3
r = -
B. arytmetyczny i jego różnica jest równa
2
r = -.
C. geometryczny i jego iloraz jest równy
1
3
q = -
D. geometryczny i jego iloraz jest równy
5
6
q =

\n

Poziom podstawowy
MMA_1P
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

\n

Poziom podstawowy
MMA_1P

","answer_text_html":"

Zadanie 11. (0-1)
III. Modelowanie
matematyczne.

\n
  1. Ciągi liczbowe. Zdający bada, czy dany
\n

ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny
(5.b).
Wersja
I
Wersja
II
A
B

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: A

\n

\\(x_1 + x_2 = 11\\)

\n

Sposób 1 - Bezpośredni odczyt z postaci iloczynowej

\n

Funkcja jest dana w postaci iloczynowej:
\\[f(x) = -3(x-2)(x-9)\\]

\n

Miejsca zerowe to wartości \\(x\\), dla których \\(f(x) = 0\\):
\\[-3(x-2)(x-9) = 0\\]

\n

Iloczyn jest równy zero, gdy jeden z czynników wynosi zero:
\\[x - 2 = 0 \\quad \\Rightarrow \\quad x_1 = 2\\]
\\[x - 9 = 0 \\quad \\Rightarrow \\quad x_2 = 9\\]

\n

Zatem:
\\[x_1 + x_2 = 2 + 9 = \\mathbf{11}\\]

\n

Sposób 2 - Wzory Viète'a

\n

Rozpisujemy funkcję do postaci ogólnej \\(ax^2 + bx + c\\):
\\[f(x) = -3(x-2)(x-9) = -3(x^2 - 11x + 18)\\]
\\[f(x) = -3x^2 + 33x - 54\\]

\n

Mamy więc: \\(a = -3\\), \\(b = 33\\), \\(c = -54\\).

\n

Ze wzorów Viète'a suma miejsc zerowych wynosi:
\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a} = -\\frac{33}{-3} = \\mathbf{11}\\]

\n

Wynik zgodny z Metodą 1. ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)

\n

Postać iloczynowa (gdy \\(\\Delta \\geq 0\\)):
\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]
Bezpośrednio widać miejsca zerowe \\(x_1\\) i \\(x_2\\) - skorzystaliśmy z tego w Sposobie 1.

\n

Wzory Viète'a:
\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}, \\quad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]
Zastosowane w Sposobie 2.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| B | Policzono \\(-(2+9) = -11\\), błędnie dodając minus ze współczynnika \\(-3\\) do sumy pierwiastków |
| C | Policzono \\(x_1 \\cdot x_2 = 2 \\cdot 9 = 18\\), a następnie pomnożono przez \\(-3\\): wynik \\(-54\\) lub pomylono sumę z \\(-\\frac{b}{a}\\) licząc \\(-\\frac{33}{-1}\\) zamiast \\(-\\frac{33}{-3}\\) - albo wzięto samo \\(b = 33\\) bez znaku |
| D | Wzięto \\(-b = -33\\) zamiast \\(-\\frac{b}{a} = -\\frac{33}{-3} = 11\\), czyli zapomniano podzielić przez \\(a\\) |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Współczynnik \\(-3\\) przed nawiasami nie wpływa na miejsca zerowe - przyrównujemy do zera tylko nawiasy \\((x-2)\\) i \\((x-9)\\). Czynnik stały nigdy nie wyzeruje wyrażenia.
\n
⚠️ Uwaga: W Sposobie 2 - przy wzorze Viète'a pamiętaj o znaku: \\(x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}\\), a nie \\(\\frac{b}{a}\\). Tu \\(b = 33\\) i \\(a = -3\\), więc wynik to \\(-\\frac{33}{-3} = +11\\), nie \\(-11\\).
\n
⚠️ Uwaga: Nie myl sumy miejsc zerowych \\((x_1 + x_2)\\) z iloczynem \\((x_1 \\cdot x_2)\\). Iloczyn wynosiłby \\(\\frac{c}{a} = \\frac{-54}{-3} = 18\\), co nie jest żadną z oferowanych odpowiedzi - to właśnie mylenie tych dwóch wzorów Viète'a jest częstym błędem.
\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1 - Odczyt z postaci iloczynowej
\n

Z postaci iloczynowej \\(f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)\\) odczytujemy miejsca zerowe: \\(x_1 = 2,\\ x_2 = 9\\). Zatem:
\\[x_1 + x_2 = 2 + 9 = 11.\\]

\n
Sposób 2 - Wzory Viète'a
\n

Po rozwinięciu: \\(f(x) = -3(x^2 - 11x + 18) = -3x^2 + 33x - 54\\). Ze wzoru Viète'a \\(x_1 + x_2 = -\\tfrac{b}{a} = -\\tfrac{33}{-3} = 11\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: Postać iloczynowa \\(a(x-x_1)(x-x_2)\\) bezpośrednio ujawnia miejsca zerowe.

"}]}