{"id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (1 pkt)\nDla ciągu arytmetycznego (\n)\nn\na\n, określonego dla\n1\nn ≥, jest spełniony warunek\n4\n5\n6\n12\na\na\na\nWtedy\nA.\n5\n4\na =\nB.\n5\n3\na =\nC.\n5\n6\na =\nD.\n5\n5\na =","answer":"A","answer_text":"Zadanie 12. (0-1)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n5. Ciągi liczbowe. Zdający stosuje wzory na\nn-ty wyraz i sumę n początkowych wyrazów\nciągu arytmetycznego i ciągu geometrycznego\n(5.c).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: D (wartość 3)\n\n## Sposób 1 - Analiza funkcji na przedziale (postać kanoniczna)\n\nFunkcja \\(y = -(x-2)^2 + 4\\) jest w **postaci kanonicznej** \\(y = a(x-p)^2 + q\\), gdzie:\n- \\(a = -1 < 0\\) → parabola skierowana **ramionami w dół**\n- wierzchołek: \\(W = (2, 4)\\) - to globalny **maksimum** funkcji\n\n**Kluczowa obserwacja:** wierzchołek \\(x = 2\\) leży **poza** przedziałem \\(\\langle 3, 5 \\rangle\\) - jest po jego lewej stronie.\n\nPonieważ parabola otwarta w dół ma oś symetrii w \\(x = 2\\), a cały przedział \\(\\langle 3, 5 \\rangle\\) leży po prawej stronie osi - funkcja jest na tym przedziale **malejąca**.\n\n> Wniosek: na przedziale \\(\\langle 3, 5 \\rangle\\) największa wartość jest w **lewym krańcu**, czyli w \\(x = 3\\).\n\nObliczamy:\n\\[y(3) = -(3-2)^2 + 4 = -(1)^2 + 4 = -1 + 4 = \\mathbf{3}\\]\n\nDla kontroli sprawdzamy prawy kraniec:\n\\[y(5) = -(5-2)^2 + 4 = -9 + 4 = -5\\]\n\n**Największa wartość funkcji na \\(\\langle 3, 5 \\rangle\\) wynosi \\(3\\).**\n\n## Sposób 2 - Tabela wartości + argument z monotoniczności\n\nObliczamy wartości funkcji w kilku punktach przedziału:\n\n| \\(x\\) | \\(y = -(x-2)^2 + 4\\) |\n| \\(3\\) | \\(-(1)^2 + 4 = 3\\) |\n| \\(4\\) | \\(-(2)^2 + 4 = 0\\) |\n| \\(5\\) | \\(-(3)^2 + 4 = -5\\) |\n\nWartości maleją: \\(3 > 0 > -5\\). Maksimum na przedziale to \\(\\mathbf{3}\\), osiągane dla \\(x = 3\\).\n\nDlaczego funkcja maleje? Pochodna:\n\\[y' = -2(x-2)\\]\nDla \\(x \\in \\langle 3, 5 \\rangle\\) mamy \\(x - 2 > 0\\), więc \\(y' < 0\\) - funkcja jest **ściśle malejąca** na tym przedziale.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać kanoniczna i wierzchołek paraboli:\n\\[f(x) = a(x-p)^2 + q, \\quad W = (p, q)\\]\n- Użyliśmy do odczytania wierzchołka \\(W = (2, 4)\\) i współczynnika \\(a = -1\\) (parabola skierowana w dół).\n- Wiedząc, że wierzchołek leży poza przedziałem i parabola maleje na prawo od osi symetrii, znaleźliśmy maksimum w lewym krańcu.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A (\\(0\\)) | Uczeń oblicza \\(y(4) = -(4-2)^2 + 4 = 0\\) i bierze tę wartość jako wynik, nie szukając maksimum |\n| B (\\(5\\)) | Uczeń myli wartość \\(x\\) (prawy kraniec przedziału) z wartością funkcji \\(y\\) |\n| C (\\(4\\)) | Uczeń podaje wartość w wierzchołku \\(W = (2, 4)\\), ale wierzchołek \\(x = 2\\) **leży poza przedziałem** \\(\\langle 3, 5 \\rangle\\)! |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wierzchołek paraboli to maksimum/minimum **globalne**, ale pytanie dotyczy **przedziału** - najpierw sprawdź, czy wierzchołek w ogóle do niego należy!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy wierzchołek leży poza przedziałem, ekstremalną wartość osiągamy w jednym z **krańców** - zawsze sprawdź oba.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dla \\(a < 0\\) parabola jest skierowana w dół i maleje po prawej stronie osi symetrii - im dalej od wierzchołka w prawo, tym wartości funkcji **mniejsze**.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Analiza paraboli\nWierzchołek paraboli to \\((2, 4)\\), ramiona skierowane w dół (bo \\(a = -1 < 0\\)). Ponieważ \\(2 \\notin \\langle 3, 5\\rangle\\), i funkcja maleje dla \\(x > 2\\), maksimum na przedziale osiągane jest w lewym końcu: \\(x = 3\\):\n\\[y(3) = -(3-2)^2 + 4 = -1 + 4 = 3.\\]\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie końców przedziału\n- \\(y(3) = -(1)^2 + 4 = 3\\)\n- \\(y(5) = -(3)^2 + 4 = -5\\)\nMonotoniczność malejąca → maksimum w \\(x=3\\), wartość 3.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. 0** - to nie wartość z tego przedziału.\n- **B. 5** - za duża, przekracza max funkcji \\((=4)\\).\n- **C. 4** - globalne maksimum funkcji (wierzchołek), ale wierzchołek nie należy do przedziału \\(\\langle 3,5\\rangle\\).\n\n**Trik:** Gdy wierzchołek poza przedziałem, maksimum leży w jednym z końców.","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 12. (1 pkt)<br>Dla ciągu arytmetycznego (<br>)<br>n<br>a<br>, określonego dla<br>1<br>n ≥, jest spełniony warunek<br>4<br>5<br>6<br>12<br>a<br>a<br>a<br>Wtedy<br>A.<br>5<br>4<br>a =<br>B.<br>5<br>3<br>a =<br>C.<br>5<br>6<br>a =<br>D.<br>5<br>5<br>a =</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 12. (0-1)<br>III. Modelowanie<br>matematyczne.</p>\n<ol><li>Ciągi liczbowe. Zdający stosuje wzory na</li></ol>\n<p>n-ty wyraz i sumę n początkowych wyrazów<br>ciągu arytmetycznego i ciągu geometrycznego<br>(5.c).<br>Wersja<br>I<br>Wersja<br>II<br>A<br>C</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D (wartość 3)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Analiza funkcji na przedziale (postać kanoniczna)</h4>\n<p>Funkcja \\(y = -(x-2)^2 + 4\\) jest w <strong>postaci kanonicznej</strong> \\(y = a(x-p)^2 + q\\), gdzie:</p>\n<ul><li>\\(a = -1 &lt; 0\\) → parabola skierowana <strong>ramionami w dół</strong></li><li>wierzchołek: \\(W = (2, 4)\\) - to globalny <strong>maksimum</strong> funkcji</li></ul>\n<p><strong>Kluczowa obserwacja:</strong> wierzchołek \\(x = 2\\) leży <strong>poza</strong> przedziałem \\(\\langle 3, 5 \\rangle\\) - jest po jego lewej stronie.</p>\n<p>Ponieważ parabola otwarta w dół ma oś symetrii w \\(x = 2\\), a cały przedział \\(\\langle 3, 5 \\rangle\\) leży po prawej stronie osi - funkcja jest na tym przedziale <strong>malejąca</strong>.</p>\n<blockquote>Wniosek: na przedziale \\(\\langle 3, 5 \\rangle\\) największa wartość jest w <strong>lewym krańcu</strong>, czyli w \\(x = 3\\).</blockquote>\n<p>Obliczamy:<br>\\[y(3) = -(3-2)^2 + 4 = -(1)^2 + 4 = -1 + 4 = \\mathbf{3}\\]</p>\n<p>Dla kontroli sprawdzamy prawy kraniec:<br>\\[y(5) = -(5-2)^2 + 4 = -9 + 4 = -5\\]</p>\n<p><strong>Największa wartość funkcji na \\(\\langle 3, 5 \\rangle\\) wynosi \\(3\\).</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Tabela wartości + argument z monotoniczności</h4>\n<p>Obliczamy wartości funkcji w kilku punktach przedziału:</p>\n<p>| \\(x\\) | \\(y = -(x-2)^2 + 4\\) |<br>| \\(3\\) | \\(-(1)^2 + 4 = 3\\) |<br>| \\(4\\) | \\(-(2)^2 + 4 = 0\\) |<br>| \\(5\\) | \\(-(3)^2 + 4 = -5\\) |</p>\n<p>Wartości maleją: \\(3 &gt; 0 &gt; -5\\). Maksimum na przedziale to \\(\\mathbf{3}\\), osiągane dla \\(x = 3\\).</p>\n<p>Dlaczego funkcja maleje? Pochodna:<br>\\[y&#x27; = -2(x-2)\\]<br>Dla \\(x \\in \\langle 3, 5 \\rangle\\) mamy \\(x - 2 &gt; 0\\), więc \\(y&#x27; &lt; 0\\) - funkcja jest <strong>ściśle malejąca</strong> na tym przedziale.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)</strong> - postać kanoniczna i wierzchołek paraboli:<br>\\[f(x) = a(x-p)^2 + q, \\quad W = (p, q)\\]</p>\n<ul><li>Użyliśmy do odczytania wierzchołka \\(W = (2, 4)\\) i współczynnika \\(a = -1\\) (parabola skierowana w dół).</li><li>Wiedząc, że wierzchołek leży poza przedziałem i parabola maleje na prawo od osi symetrii, znaleźliśmy maksimum w lewym krańcu.</li></ul>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |<br>| A (\\(0\\)) | Uczeń oblicza \\(y(4) = -(4-2)^2 + 4 = 0\\) i bierze tę wartość jako wynik, nie szukając maksimum |<br>| B (\\(5\\)) | Uczeń myli wartość \\(x\\) (prawy kraniec przedziału) z wartością funkcji \\(y\\) |<br>| C (\\(4\\)) | Uczeń podaje wartość w wierzchołku \\(W = (2, 4)\\), ale wierzchołek \\(x = 2\\) <strong>leży poza przedziałem</strong> \\(\\langle 3, 5 \\rangle\\)! |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wierzchołek paraboli to maksimum/minimum <strong>globalne</strong>, ale pytanie dotyczy <strong>przedziału</strong> - najpierw sprawdź, czy wierzchołek w ogóle do niego należy!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Gdy wierzchołek leży poza przedziałem, ekstremalną wartość osiągamy w jednym z <strong>krańców</strong> - zawsze sprawdź oba.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Dla \\(a &lt; 0\\) parabola jest skierowana w dół i maleje po prawej stronie osi symetrii - im dalej od wierzchołka w prawo, tym wartości funkcji <strong>mniejsze</strong>.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Analiza paraboli</h5>\n<p>Wierzchołek paraboli to \\((2, 4)\\), ramiona skierowane w dół (bo \\(a = -1 &lt; 0\\)). Ponieważ \\(2 \\notin \\langle 3, 5\\rangle\\), i funkcja maleje dla \\(x &gt; 2\\), maksimum na przedziale osiągane jest w lewym końcu: \\(x = 3\\):<br>\\[y(3) = -(3-2)^2 + 4 = -1 + 4 = 3.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Sprawdzenie końców przedziału</h5>\n<ul><li>\\(y(3) = -(1)^2 + 4 = 3\\)</li><li>\\(y(5) = -(3)^2 + 4 = -5\\)</li></ul>\n<p>Monotoniczność malejąca → maksimum w \\(x=3\\), wartość 3.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. 0</strong> - to nie wartość z tego przedziału.</li><li><strong>B. 5</strong> - za duża, przekracza max funkcji \\((=4)\\).</li><li><strong>C. 4</strong> - globalne maksimum funkcji (wierzchołek), ale wierzchołek nie należy do przedziału \\(\\langle 3,5\\rangle\\).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> Gdy wierzchołek poza przedziałem, maksimum leży w jednym z końców.</p>"}]}