{"id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (1 pkt)\nDany jest ciąg geometryczny (\n)\nn\na\n, określony dla\n1\nn ≥, w którym\n1\n2\na =\n,\n2\n2 2\na\n,\n3\n4 2\na\n. Wzór na n-ty wyraz tego ciągu ma postać\nA.\n(\n)\n2\nn\nna\nB.\n2\n2\nn\nna\nC.\n2\n2\n\n\n= \n\n\n\n\n\nn\nna\nD.\n(\n)\n2\n2\nn\nn\na","answer":"B","answer_text":"Zadanie 13. (0-1)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n5. Ciągi liczbowe. Zdający stosuje wzory na\nn-ty wyraz i sumę n początkowych wyrazów\nciągu arytmetycznego i ciągu geometrycznego\n(5.c).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(a_4 = 5\\)\n\n## Sposób 1 - Własność środkowego wyrazu\n\nW ciągu arytmetycznym suma trzech kolejnych wyrazów równa się trzykrotności **środkowego** wyrazu. Dlaczego? Bo wyrazy \"po bokach\" są symetrycznie odległe od środkowego:\n\n\\[a_3 = a_4 - r, \\quad a_5 = a_4 + r\\]\n\nZatem:\n\n\\[a_3 + a_4 + a_5 = (a_4 - r) + a_4 + (a_4 + r)\\]\n\n\\[= 3a_4\\]\n\nZ warunku zadania:\n\n\\[3a_4 = 15\\]\n\n\\[\\boxed{a_4 = 5}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez wzór ogólny\n\nWyrażamy każdy wyraz przez \\(a_1\\) i różnicę \\(r\\):\n\n\\[a_3 = a_1 + 2r, \\quad a_4 = a_1 + 3r, \\quad a_5 = a_1 + 4r\\]\n\nSumujemy:\n\n\\[(a_1 + 2r) + (a_1 + 3r) + (a_1 + 4r) = 15\\]\n\n\\[3a_1 + 9r = 15\\]\n\n\\[a_1 + 3r = 5\\]\n\nAle \\(a_1 + 3r = a_4\\), więc:\n\n\\[\\boxed{a_4 = 5}\\]\n\nTen sposób nie wymaga znania konkretnych wartości \\(a_1\\) ani \\(r\\) - wystarczy sama suma.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór ogólny ciągu arytmetycznego:\n\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\n\nUżyliśmy go w Sposobie 2 do zapisania wyrazów \\(a_3, a_4, a_5\\).\n\nKluczowa własność (wynikająca wprost z definicji, ale warta zapamiętania):\n\n\\[a_n = \\frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}\\]\n\nczyli środkowy wyraz to średnia arytmetyczna sąsiadów - to właśnie wykorzystaliśmy w Sposobie 1.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B: \\(a_4 = 6\\) | Pomylono liczbę wyrazów: podzielono 15 przez 2 (liczba \"skrajnych\" wyrazów) zamiast przez 3 |\n| C: \\(a_4 = 3\\) | Przyjęto \\(a_3 + a_4 + a_5 = 15\\) i błędnie obliczono \\(a_4 = \\frac{15}{5}\\) (podzielono przez indeksy) |\n| D: \\(a_4 = 4\\) | Przyjęto bez uzasadnienia \\(a_3 = a_4 = a_5 = 4\\) lub pomylono indeksy (np. wzięto \\(a_4 = a_3 + 1\\)) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Suma **trzech** kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego to zawsze \\(3 \\cdot a_{\\text{środkowy}}\\). Nie \"suma skrajnych plus środkowy\" - zapamiętaj: środkowy \"niesie\" całą trójkę.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Z warunku \\(a_3 + a_4 + a_5 = 15\\) można wyznaczyć tylko \\(a_4\\) - nie znamy \\(a_1\\) ani \\(r\\) oddzielnie. To nie błąd w zadaniu, to celowy zamysł: jedna równanie, jedna niewiadoma.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić tej własności z sumą \\(S_n\\) z karty wzorów. Tutaj nie liczymy sumy całego ciągu, tylko trzech konkretnych wyrazów.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Własność ciągu arytmetycznego\nW ciągu arytmetycznym każdy wyraz jest średnią arytmetyczną sąsiednich wyrazów. Stąd \\(a_3 + a_5 = 2a_4\\), więc:\n\\[a_3 + a_4 + a_5 = 2a_4 + a_4 = 3a_4 = 15 \\;\\Longrightarrow\\; a_4 = 5.\\]\n\n### Sposób 2 - Wzór ogólny\n\\(a_n = a_1 + (n-1)r\\). Zatem:\n\\[a_3 + a_4 + a_5 = (a_1+2r) + (a_1+3r) + (a_1+4r) = 3a_1 + 9r = 3(a_1 + 3r) = 3a_4 = 15.\\]\nStąd \\(a_4 = 5\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. 6** - \\(3\\cdot 6 = 18 \\neq 15\\).\n- **C. 3** - \\(3\\cdot 3 = 9 \\neq 15\\).\n- **D. 4** - \\(3\\cdot 4 = 12 \\neq 15\\).\n\n**Trik:** Suma trzech kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego = \\(3 \\times\\) środkowy wyraz.","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 13. (1 pkt)
Dany jest ciąg geometryczny (
)
n
a
, określony dla
1
n ≥, w którym
1
2
a =
,
2
2 2
a
,
3
4 2
a
. Wzór na n-ty wyraz tego ciągu ma postać
A.
(
)
2
n
na
B.
2
2
n
na
C.
2
2


= 





n
na
D.
(
)
2
2
n
n
a

","answer_text_html":"

Zadanie 13. (0-1)
III. Modelowanie
matematyczne.

\n
  1. Ciągi liczbowe. Zdający stosuje wzory na
\n

n-ty wyraz i sumę n początkowych wyrazów
ciągu arytmetycznego i ciągu geometrycznego
(5.c).
Wersja
I
Wersja
II
B
A

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: A - \\(a_4 = 5\\)

\n

Sposób 1 - Własność środkowego wyrazu

\n

W ciągu arytmetycznym suma trzech kolejnych wyrazów równa się trzykrotności środkowego wyrazu. Dlaczego? Bo wyrazy "po bokach" są symetrycznie odległe od środkowego:

\n

\\[a_3 = a_4 - r, \\quad a_5 = a_4 + r\\]

\n

Zatem:

\n

\\[a_3 + a_4 + a_5 = (a_4 - r) + a_4 + (a_4 + r)\\]

\n

\\[= 3a_4\\]

\n

Z warunku zadania:

\n

\\[3a_4 = 15\\]

\n

\\[\\boxed{a_4 = 5}\\]

\n

Sposób 2 - Przez wzór ogólny

\n

Wyrażamy każdy wyraz przez \\(a_1\\) i różnicę \\(r\\):

\n

\\[a_3 = a_1 + 2r, \\quad a_4 = a_1 + 3r, \\quad a_5 = a_1 + 4r\\]

\n

Sumujemy:

\n

\\[(a_1 + 2r) + (a_1 + 3r) + (a_1 + 4r) = 15\\]

\n

\\[3a_1 + 9r = 15\\]

\n

\\[a_1 + 3r = 5\\]

\n

Ale \\(a_1 + 3r = a_4\\), więc:

\n

\\[\\boxed{a_4 = 5}\\]

\n

Ten sposób nie wymaga znania konkretnych wartości \\(a_1\\) ani \\(r\\) - wystarczy sama suma.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 8 (Ciągi, s. 9-10) - wzór ogólny ciągu arytmetycznego:

\n

\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]

\n

Użyliśmy go w Sposobie 2 do zapisania wyrazów \\(a_3, a_4, a_5\\).

\n

Kluczowa własność (wynikająca wprost z definicji, ale warta zapamiętania):

\n

\\[a_n = \\frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}\\]

\n

czyli środkowy wyraz to średnia arytmetyczna sąsiadów - to właśnie wykorzystaliśmy w Sposobie 1.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| B: \\(a_4 = 6\\) | Pomylono liczbę wyrazów: podzielono 15 przez 2 (liczba "skrajnych" wyrazów) zamiast przez 3 |
| C: \\(a_4 = 3\\) | Przyjęto \\(a_3 + a_4 + a_5 = 15\\) i błędnie obliczono \\(a_4 = \\frac{15}{5}\\) (podzielono przez indeksy) |
| D: \\(a_4 = 4\\) | Przyjęto bez uzasadnienia \\(a_3 = a_4 = a_5 = 4\\) lub pomylono indeksy (np. wzięto \\(a_4 = a_3 + 1\\)) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Suma trzech kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego to zawsze \\(3 \\cdot a_{\\text{środkowy}}\\). Nie "suma skrajnych plus środkowy" - zapamiętaj: środkowy "niesie" całą trójkę.
\n
⚠️ Uwaga: Z warunku \\(a_3 + a_4 + a_5 = 15\\) można wyznaczyć tylko \\(a_4\\) - nie znamy \\(a_1\\) ani \\(r\\) oddzielnie. To nie błąd w zadaniu, to celowy zamysł: jedna równanie, jedna niewiadoma.
\n
⚠️ Uwaga: Nie mylić tej własności z sumą \\(S_n\\) z karty wzorów. Tutaj nie liczymy sumy całego ciągu, tylko trzech konkretnych wyrazów.
\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1 - Własność ciągu arytmetycznego
\n

W ciągu arytmetycznym każdy wyraz jest średnią arytmetyczną sąsiednich wyrazów. Stąd \\(a_3 + a_5 = 2a_4\\), więc:
\\[a_3 + a_4 + a_5 = 2a_4 + a_4 = 3a_4 = 15 \\;\\Longrightarrow\\; a_4 = 5.\\]

\n
Sposób 2 - Wzór ogólny
\n

\\(a_n = a_1 + (n-1)r\\). Zatem:
\\[a_3 + a_4 + a_5 = (a_1+2r) + (a_1+3r) + (a_1+4r) = 3a_1 + 9r = 3(a_1 + 3r) = 3a_4 = 15.\\]
Stąd \\(a_4 = 5\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: Suma trzech kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego = \\(3 \\times\\) środkowy wyraz.

"}]}