{"id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (1 pkt)\nPrzyprostokątna LM trójkąta prostokątnego KLM ma długość 3, a przeciwprostokątna KL ma\ndługość 8 (zobacz rysunek).\nWówczas miara α kąta ostrego LMK tego trójkąta spełnia warunek\nA. 27\n30\nα\n° <\n≤\n°\nB. 24\n27\nα\n° <\n≤\n°\nC. 21\n24\nα\n° <\n≤\n°\nD. 18\n21\nα\n° <\n≤\n°","answer":"C","answer_text":"Zadanie 14. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n6. Trygonometria. Zdający wykorzystuje\ndefinicje i wyznacza wartości funkcji\ntrygonometrycznych dla kątów ostrych (6.a).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: B (x = 4)\n\n## Sposób 1 - Własność środkowego wyrazu ciągu geometrycznego\n\nW ciągu geometrycznym kwadrat środkowego wyrazu równa się iloczynowi skrajnych wyrazów:\n\\[(a_2)^2 = a_1 \\cdot a_3\\]\n\nMamy ciąg \\((x,\\; x+4,\\; 16)\\), więc:\n\\[(x+4)^2 = x \\cdot 16\\]\n\nRozwijamy lewą stronę:\n\\[x^2 + 8x + 16 = 16x\\]\n\nPrzenosimy wszystko na lewą stronę:\n\\[x^2 + 8x + 16 - 16x = 0\\]\n\\[x^2 - 8x + 16 = 0\\]\n\nRozpoznajemy wzór skróconego mnożenia \\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\):\n\\[(x - 4)^2 = 0\\]\n\\[\\mathbf{x = 4}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez iloraz ciągu\n\nW ciągu geometrycznym stosunek każdego wyrazu do poprzedniego jest stały (równy ilorazowi \\(q\\)):\n\\[\\frac{x+4}{x} = \\frac{16}{x+4}\\]\n\nPrzemnażamy na krzyż:\n\\[(x+4)^2 = 16x\\]\n\nOtrzymujemy tę samą równanie co w Sposobie 1, więc \\(x = 4\\).\n\n**Sprawdzenie:** Podstawiamy \\(x = 4\\):\n\\[(4,\\; 8,\\; 16)\\]\n\nIloraz: \\(\\frac{8}{4} = 2\\) i \\(\\frac{16}{8} = 2\\) ✓ - rzeczywiście ciąg geometryczny o ilorazie \\(q = 2\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - własność wyrazu środkowego ciągu geometrycznego:\n\\[(a_n)^2 = a_{n-1} \\cdot a_{n+1} \\quad \\text{(dla } n \\geq 2\\text{)}\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 jako główne narzędzie do ustawienia równania.\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)**:\n\\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]\nRozpoznanie tego wzoru pozwoliło od razu zapisać \\(x^2 - 8x + 16 = (x-4)^2\\) i natychmiast odczytać wynik.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A. 8 | Uczeń sprawdza ciąg \\((8, 12, 16)\\) - różnice są stałe (\\(+4\\)), ale to **ciąg arytmetyczny**, nie geometryczny. Pomylenie arytmetycznego z geometrycznym. |\n| C. 2 | Uczeń wstawia \\(x = 2\\) i sprawdza \\((2, 6, 16)\\) - ilorazy \\(3\\) i \\(\\frac{8}{3}\\) są różne, ciąg nie jest geometryczny. Typowy błąd z niepoprawnym rozwiązaniem równania kwadratowego. |\n| D. 0 | Uczeń bierze \\(x = 0\\) - ciąg \\((0, 4, 16)\\) nie jest geometryczny, bo \\(\\frac{4}{0}\\) jest niezdefiniowane (nie można dzielić przez zero). |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myląć ciągu geometrycznego z arytmetycznym! Odpowiedź A (\\(x=8\\)) daje ciąg \\((8,12,16)\\) o stałej różnicy \\(4\\) - to ciąg **arytmetyczny**. W geometrycznym warunek to stały **iloraz**, nie różnica.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego musi być **niezerowy** - dlatego \\(x = 0\\) od razu odpada, zanim zaczniemy liczyć.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Równanie \\((x+4)^2 = 16x\\) to równanie kwadratowe - może mieć dwa rozwiązania. Zawsze sprawdź oba pod kątem dziedziny (czy żaden wyraz ciągu nie jest zerem).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Własność ciągu geometrycznego\nW ciągu geometrycznym kwadrat środkowego wyrazu równa się iloczynowi wyrazów sąsiednich:\n\\[(x+4)^2 = x\\cdot 16\\]\n\\[x^2 + 8x + 16 = 16x\\]\n\\[x^2 - 8x + 16 = 0\\]\n\\[(x-4)^2 = 0 \\;\\Longrightarrow\\; x = 4.\\]\nSprawdzenie: ciąg \\((4, 8, 16)\\) ma iloraz \\(q = 2\\) ✓.\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie odpowiedzi\n- Dla \\(x = 4\\): \\((4, 8, 16)\\), iloraz \\(8/4 = 2\\), \\(16/8 = 2\\) - ciąg geometryczny ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. 8** - \\((8, 12, 16)\\): \\(12/8 = 1{,}5\\), \\(16/12 \\approx 1{,}33\\) - różne.\n- **C. 2** - \\((2, 6, 16)\\): \\(6/2 = 3\\), \\(16/6 \\neq 3\\) - różne.\n- **D. 0** - \\((0, 4, 16)\\): \\(x = 0\\) powoduje zerowy pierwszy wyraz - ciąg geometryczny musi mieć wszystkie wyrazy niezerowe.\n\n**Trik:** W ciągu geometrycznym \\(a, b, c\\): \\(b^2 = a\\cdot c\\).","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 14. (1 pkt)<br>Przyprostokątna LM trójkąta prostokątnego KLM ma długość 3, a przeciwprostokątna KL ma<br>długość 8 (zobacz rysunek).<br>Wówczas miara α kąta ostrego LMK tego trójkąta spełnia warunek<br>A. 27<br>30<br>α<br>° &lt;<br>≤<br>°<br>B. 24<br>27<br>α<br>° &lt;<br>≤<br>°<br>C. 21<br>24<br>α<br>° &lt;<br>≤<br>°<br>D. 18<br>21<br>α<br>° &lt;<br>≤<br>°</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 14. (0-1)<br>II. Wykorzystanie<br>i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Trygonometria. Zdający wykorzystuje</li></ol>\n<p>definicje i wyznacza wartości funkcji<br>trygonometrycznych dla kątów ostrych (6.a).<br>Wersja<br>I<br>Wersja<br>II<br>C<br>D</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B (x = 4)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Własność środkowego wyrazu ciągu geometrycznego</h4>\n<p>W ciągu geometrycznym kwadrat środkowego wyrazu równa się iloczynowi skrajnych wyrazów:<br>\\[(a_2)^2 = a_1 \\cdot a_3\\]</p>\n<p>Mamy ciąg \\((x,\\; x+4,\\; 16)\\), więc:<br>\\[(x+4)^2 = x \\cdot 16\\]</p>\n<p>Rozwijamy lewą stronę:<br>\\[x^2 + 8x + 16 = 16x\\]</p>\n<p>Przenosimy wszystko na lewą stronę:<br>\\[x^2 + 8x + 16 - 16x = 0\\]<br>\\[x^2 - 8x + 16 = 0\\]</p>\n<p>Rozpoznajemy wzór skróconego mnożenia \\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\):<br>\\[(x - 4)^2 = 0\\]<br>\\[\\mathbf{x = 4}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Przez iloraz ciągu</h4>\n<p>W ciągu geometrycznym stosunek każdego wyrazu do poprzedniego jest stały (równy ilorazowi \\(q\\)):<br>\\[\\frac{x+4}{x} = \\frac{16}{x+4}\\]</p>\n<p>Przemnażamy na krzyż:<br>\\[(x+4)^2 = 16x\\]</p>\n<p>Otrzymujemy tę samą równanie co w Sposobie 1, więc \\(x = 4\\).</p>\n<p><strong>Sprawdzenie:</strong> Podstawiamy \\(x = 4\\):<br>\\[(4,\\; 8,\\; 16)\\]</p>\n<p>Iloraz: \\(\\frac{8}{4} = 2\\) i \\(\\frac{16}{8} = 2\\) ✓ - rzeczywiście ciąg geometryczny o ilorazie \\(q = 2\\).</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)</strong> - własność wyrazu środkowego ciągu geometrycznego:<br>\\[(a_n)^2 = a_{n-1} \\cdot a_{n+1} \\quad \\text{(dla } n \\geq 2\\text{)}\\]<br>Użyliśmy tego w Sposobie 1 jako główne narzędzie do ustawienia równania.</p>\n<p><strong>Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)</strong>:<br>\\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]<br>Rozpoznanie tego wzoru pozwoliło od razu zapisać \\(x^2 - 8x + 16 = (x-4)^2\\) i natychmiast odczytać wynik.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A. 8 | Uczeń sprawdza ciąg \\((8, 12, 16)\\) - różnice są stałe (\\(+4\\)), ale to <strong>ciąg arytmetyczny</strong>, nie geometryczny. Pomylenie arytmetycznego z geometrycznym. |<br>| C. 2 | Uczeń wstawia \\(x = 2\\) i sprawdza \\((2, 6, 16)\\) - ilorazy \\(3\\) i \\(\\frac{8}{3}\\) są różne, ciąg nie jest geometryczny. Typowy błąd z niepoprawnym rozwiązaniem równania kwadratowego. |<br>| D. 0 | Uczeń bierze \\(x = 0\\) - ciąg \\((0, 4, 16)\\) nie jest geometryczny, bo \\(\\frac{4}{0}\\) jest niezdefiniowane (nie można dzielić przez zero). |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie myląć ciągu geometrycznego z arytmetycznym! Odpowiedź A (\\(x=8\\)) daje ciąg \\((8,12,16)\\) o stałej różnicy \\(4\\) - to ciąg <strong>arytmetyczny</strong>. W geometrycznym warunek to stały <strong>iloraz</strong>, nie różnica.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego musi być <strong>niezerowy</strong> - dlatego \\(x = 0\\) od razu odpada, zanim zaczniemy liczyć.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Równanie \\((x+4)^2 = 16x\\) to równanie kwadratowe - może mieć dwa rozwiązania. Zawsze sprawdź oba pod kątem dziedziny (czy żaden wyraz ciągu nie jest zerem).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Własność ciągu geometrycznego</h5>\n<p>W ciągu geometrycznym kwadrat środkowego wyrazu równa się iloczynowi wyrazów sąsiednich:<br>\\[(x+4)^2 = x\\cdot 16\\]<br>\\[x^2 + 8x + 16 = 16x\\]<br>\\[x^2 - 8x + 16 = 0\\]<br>\\[(x-4)^2 = 0 \\;\\Longrightarrow\\; x = 4.\\]<br>Sprawdzenie: ciąg \\((4, 8, 16)\\) ma iloraz \\(q = 2\\) ✓.</p>\n<h5>Sposób 2 - Sprawdzenie odpowiedzi</h5>\n<ul><li>Dla \\(x = 4\\): \\((4, 8, 16)\\), iloraz \\(8/4 = 2\\), \\(16/8 = 2\\) - ciąg geometryczny ✓.</li></ul>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. 8</strong> - \\((8, 12, 16)\\): \\(12/8 = 1{,}5\\), \\(16/12 \\approx 1{,}33\\) - różne.</li><li><strong>C. 2</strong> - \\((2, 6, 16)\\): \\(6/2 = 3\\), \\(16/6 \\neq 3\\) - różne.</li><li><strong>D. 0</strong> - \\((0, 4, 16)\\): \\(x = 0\\) powoduje zerowy pierwszy wyraz - ciąg geometryczny musi mieć wszystkie wyrazy niezerowe.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> W ciągu geometrycznym \\(a, b, c\\): \\(b^2 = a\\cdot c\\).</p>"}]}