{"id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (1 pkt)\nDany jest trójkąt o bokach długości:\n5\n2\n,\n5\n3\n,\n5\n4\n. Trójkątem podobnym do tego trójkąta\njest trójkąt, którego boki mają długości\nA. 10, 15, 20\nB. 20, 45, 80\nC.\n2,\n3,\n4\nD.\n5, 2 5, 3 5\nK\nL\nM\n3\n8\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":"A","answer_text":"Zadanie 15. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n7. Planimetria. Zdający wykorzystuje\nwłasności figur podobnych w zadaniach,\nw tym umieszczonych w kontekście\npraktycznym (7.b).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(\\alpha \\in (30°, 40°)\\)\n\n## Sposób 1 - Sinus z definicji i porównanie z wartościami tablicowymi\n\n**Co wiemy?** Mamy trójkąt prostokątny, w którym:\n- przeciwprostokątna \\(c = 3\\)\n- przyprostokątna naprzeciwko kąta \\(\\alpha\\) wynosi \\(\\sqrt{3}\\)\n\n**Krok 1.** Stosujemy definicję sinusa w trójkącie prostokątnym:\n\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{przyprostokątna naprzeciwko } \\alpha}{\\text{przeciwprostokątna}} = \\frac{\\sqrt{3}}{3}\\]\n\n**Krok 2.** Upraszczamy:\n\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\sqrt{3}}{3} = \\frac{1}{\\sqrt{3}} \\approx \\frac{1{,}732}{3} \\approx 0{,}577\\]\n\n**Krok 3.** Porównujemy z wartościami tablicowymi:\n\n\\[\\sin 30° = 0{,}5\\]\n\\[\\sin 40° \\approx 0{,}643\\]\n\nPonieważ \\(0{,}5 < 0{,}577 < 0{,}643\\), mamy:\n\n\\[30° < \\alpha < 40°\\]\n\n**Zatem \\(\\alpha \\in (30°, 40°)\\).** ✓\n\n## Sposób 2 - Tangens (po wyznaczeniu drugiej przyprostokątnej)\n\n**Krok 1.** Wyznaczamy drugą przyprostokątną z twierdzenia Pitagorasa:\n\n\\[a^2 + b^2 = c^2 \\implies (\\sqrt{3})^2 + b^2 = 3^2\\]\n\\[3 + b^2 = 9 \\implies b^2 = 6 \\implies b = \\sqrt{6}\\]\n\n**Krok 2.** Obliczamy tangens kąta \\(\\alpha\\):\n\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sqrt{3}}{\\sqrt{6}} = \\sqrt{\\frac{3}{6}} = \\sqrt{\\frac{1}{2}} = \\frac{\\sqrt{2}}{2} \\approx 0{,}707\\]\n\n**Krok 3.** Porównujemy z tablicą:\n\n\\[\\operatorname{tg} 35° \\approx 0{,}700\\]\n\\[\\operatorname{tg} 36° \\approx 0{,}727\\]\n\nPonieważ \\(\\operatorname{tg} 35° < 0{,}707 < \\operatorname{tg} 36°\\), mamy \\(35° < \\alpha < 36°\\), co leży w przedziale \\((30°, 40°)\\). ✓\n\nOba sposoby dają ten sam wniosek.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)** - definicja sinusa w trójkącie prostokątnym:\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{a}{c}\\]\ngdzie \\(a\\) - przyprostokątna naprzeciwko kąta \\(\\alpha\\), \\(c\\) - przeciwprostokątna. Użyliśmy tego w Sposobie 1.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 2 do wyznaczenia brakującej przyprostokątnej.\n\n**Dział 17 (Tablica wartości funkcji trygonometrycznych, s. 34)** - odczytanie wartości \\(\\sin\\) i \\(\\operatorname{tg}\\) dla kątów \\(30°, 40°, 35°, 36°\\) w celu ustalenia przedziału.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A (\\(\\alpha = 60°\\)) | Uczeń myli \\(\\frac{\\sqrt{3}}{3}\\) z \\(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) - gdyby przyprostokątna wynosiła \\(\\frac{3\\sqrt{3}}{2}\\), wtedy faktycznie \\(\\sin\\alpha = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) i \\(\\alpha = 60°\\) |\n| B (\\(\\alpha \\in (40°, 60°)\\)) | Błędne obliczenie \\(\\sin\\alpha\\); uczeń może zaokrąglić \\(\\frac{\\sqrt{3}}{3} \\approx 0{,}58\\) do \\(0{,}6\\) i sądzić, że to powyżej \\(\\sin 40°\\) - tymczasem \\(\\sin 40° \\approx 0{,}643 > 0{,}58\\) |\n| D (\\(\\alpha = 30°\\)) | Uczeń zapamiętał, że \\(\\sin 30° = \\frac{1}{2}\\) i skojarzył to z liczbą \\(\\sqrt{3}\\) w liczniku; ale \\(\\sin 30° = \\frac{1}{2} \\neq \\frac{\\sqrt{3}}{3} \\approx 0{,}577\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\frac{\\sqrt{3}}{3}\\) to **nie to samo** co \\(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\). Pierwsza wartość to \\(\\approx 0{,}577\\), druga to \\(\\approx 0{,}866\\). Nie skracaj pochopnie!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt \\(30°\\) daje \\(\\sin 30° = 0{,}5\\), a nie \\(\\frac{\\sqrt{3}}{3}\\). Sprawdź tabelę na s. 34 karty wzorów - nie polegaj na pamięci.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Jeśli zadanie pyta o **przedział**, to nie wystarczy sprawdzić wartości na krańcach - musisz upewnić się, że Twoja wartość leży **ściśle wewnątrz** tego przedziału (tu: \\(0{,}5 < 0{,}577 < 0{,}643\\), co potwierdza \\((30°, 40°)\\)).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Definicja sinusa\nZ definicji sinusa (karta wzorów, Dział 8):\n\\[\\sin\\alpha = \\tfrac{\\text{przyprostokątna naprzeciw}}{\\text{przeciwprostokątna}} = \\tfrac{\\sqrt{3}}{3} = \\tfrac{1}{\\sqrt{3}} \\approx 0{,}577.\\]\nZ tablic: \\(\\sin 30^{\\circ} = 0{,}5\\), \\(\\sin 40^{\\circ} \\approx 0{,}643\\). Ponieważ \\(0{,}5 < 0{,}577 < 0{,}643\\), więc \\(\\alpha \\in (30^{\\circ}, 40^{\\circ})\\).\n\n### Sposób 2 - Porównanie z wartościami specjalnymi\n\\(\\sin 30^{\\circ} = \\tfrac{1}{2} = \\tfrac{\\sqrt{3}}{2\\sqrt{3}} = \\tfrac{\\sqrt{3}}{2\\sqrt{3}}\\), czyli \\(\\tfrac{\\sqrt{3}}{3} > \\tfrac{1}{2}\\), bo \\(\\tfrac{\\sqrt{3}}{3} \\approx 0{,}577 > 0{,}5\\). Zatem \\(\\alpha > 30^{\\circ}\\). Z drugiej strony \\(\\sin 60^{\\circ} = \\tfrac{\\sqrt{3}}{2} \\approx 0{,}866 > 0{,}577\\), więc \\(\\alpha < 60^{\\circ}\\). Precyzyjniej: \\(\\alpha \\approx 35^{\\circ}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. 60°** - \\(\\sin 60^{\\circ} = \\tfrac{\\sqrt{3}}{2}\\), ale \\(\\sin\\alpha = \\tfrac{\\sqrt{3}}{3}\\).\n- **B. \\((40°, 60°)\\)** - \\(\\sin 40^{\\circ} \\approx 0{,}643 > 0{,}577\\), więc \\(\\alpha < 40^{\\circ}\\).\n- **D. 30°** - \\(\\sin 30^{\\circ} = 0{,}5 \\neq 0{,}577\\).\n\n**Trik:** \\(\\tfrac{\\sqrt{3}}{3} = \\tfrac{1}{\\sqrt{3}} \\approx 0{,}577\\) - zapamiętaj przybliżenie.","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 15. (1 pkt)
Dany jest trójkąt o bokach długości:
5
2
,
5
3
,
5
4
. Trójkątem podobnym do tego trójkąta
jest trójkąt, którego boki mają długości
A. 10, 15, 20
B. 20, 45, 80
C.
2,
3,
4
D.
5, 2 5, 3 5
K
L
M
3
8

\n

Poziom podstawowy
MMA_1P
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

\n

Poziom podstawowy
MMA_1P

","answer_text_html":"

Zadanie 15. (0-1)
I. Wykorzystanie
i tworzenie informacji.

\n
  1. Planimetria. Zdający wykorzystuje
\n

własności figur podobnych w zadaniach,
w tym umieszczonych w kontekście
praktycznym (7.b).
Wersja
I
Wersja
II
A
C

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C - \\(\\alpha \\in (30°, 40°)\\)

\n

Sposób 1 - Sinus z definicji i porównanie z wartościami tablicowymi

\n

Co wiemy? Mamy trójkąt prostokątny, w którym:

\n\n

Krok 1. Stosujemy definicję sinusa w trójkącie prostokątnym:

\n

\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{przyprostokątna naprzeciwko } \\alpha}{\\text{przeciwprostokątna}} = \\frac{\\sqrt{3}}{3}\\]

\n

Krok 2. Upraszczamy:

\n

\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\sqrt{3}}{3} = \\frac{1}{\\sqrt{3}} \\approx \\frac{1{,}732}{3} \\approx 0{,}577\\]

\n

Krok 3. Porównujemy z wartościami tablicowymi:

\n

\\[\\sin 30° = 0{,}5\\]
\\[\\sin 40° \\approx 0{,}643\\]

\n

Ponieważ \\(0{,}5 < 0{,}577 < 0{,}643\\), mamy:

\n

\\[30° < \\alpha < 40°\\]

\n

Zatem \\(\\alpha \\in (30°, 40°)\\). ✓

\n

Sposób 2 - Tangens (po wyznaczeniu drugiej przyprostokątnej)

\n

Krok 1. Wyznaczamy drugą przyprostokątną z twierdzenia Pitagorasa:

\n

\\[a^2 + b^2 = c^2 \\implies (\\sqrt{3})^2 + b^2 = 3^2\\]
\\[3 + b^2 = 9 \\implies b^2 = 6 \\implies b = \\sqrt{6}\\]

\n

Krok 2. Obliczamy tangens kąta \\(\\alpha\\):

\n

\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sqrt{3}}{\\sqrt{6}} = \\sqrt{\\frac{3}{6}} = \\sqrt{\\frac{1}{2}} = \\frac{\\sqrt{2}}{2} \\approx 0{,}707\\]

\n

Krok 3. Porównujemy z tablicą:

\n

\\[\\operatorname{tg} 35° \\approx 0{,}700\\]
\\[\\operatorname{tg} 36° \\approx 0{,}727\\]

\n

Ponieważ \\(\\operatorname{tg} 35° < 0{,}707 < \\operatorname{tg} 36°\\), mamy \\(35° < \\alpha < 36°\\), co leży w przedziale \\((30°, 40°)\\). ✓

\n

Oba sposoby dają ten sam wniosek.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12) - definicja sinusa w trójkącie prostokątnym:
\\[\\sin\\alpha = \\frac{a}{c}\\]
gdzie \\(a\\) - przyprostokątna naprzeciwko kąta \\(\\alpha\\), \\(c\\) - przeciwprostokątna. Użyliśmy tego w Sposobie 1.

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 15) - twierdzenie Pitagorasa:
\\[a^2 + b^2 = c^2\\]
Użyliśmy tego w Sposobie 2 do wyznaczenia brakującej przyprostokątnej.

\n

Dział 17 (Tablica wartości funkcji trygonometrycznych, s. 34) - odczytanie wartości \\(\\sin\\) i \\(\\operatorname{tg}\\) dla kątów \\(30°, 40°, 35°, 36°\\) w celu ustalenia przedziału.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A (\\(\\alpha = 60°\\)) | Uczeń myli \\(\\frac{\\sqrt{3}}{3}\\) z \\(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) - gdyby przyprostokątna wynosiła \\(\\frac{3\\sqrt{3}}{2}\\), wtedy faktycznie \\(\\sin\\alpha = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) i \\(\\alpha = 60°\\) |
| B (\\(\\alpha \\in (40°, 60°)\\)) | Błędne obliczenie \\(\\sin\\alpha\\); uczeń może zaokrąglić \\(\\frac{\\sqrt{3}}{3} \\approx 0{,}58\\) do \\(0{,}6\\) i sądzić, że to powyżej \\(\\sin 40°\\) - tymczasem \\(\\sin 40° \\approx 0{,}643 > 0{,}58\\) |
| D (\\(\\alpha = 30°\\)) | Uczeń zapamiętał, że \\(\\sin 30° = \\frac{1}{2}\\) i skojarzył to z liczbą \\(\\sqrt{3}\\) w liczniku; ale \\(\\sin 30° = \\frac{1}{2} \\neq \\frac{\\sqrt{3}}{3} \\approx 0{,}577\\) |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: \\(\\frac{\\sqrt{3}}{3}\\) to nie to samo co \\(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\). Pierwsza wartość to \\(\\approx 0{,}577\\), druga to \\(\\approx 0{,}866\\). Nie skracaj pochopnie!
\n
⚠️ Uwaga: Kąt \\(30°\\) daje \\(\\sin 30° = 0{,}5\\), a nie \\(\\frac{\\sqrt{3}}{3}\\). Sprawdź tabelę na s. 34 karty wzorów - nie polegaj na pamięci.
\n
⚠️ Uwaga: Jeśli zadanie pyta o przedział, to nie wystarczy sprawdzić wartości na krańcach - musisz upewnić się, że Twoja wartość leży ściśle wewnątrz tego przedziału (tu: \\(0{,}5 < 0{,}577 < 0{,}643\\), co potwierdza \\((30°, 40°)\\)).
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1 - Definicja sinusa
\n

Z definicji sinusa (karta wzorów, Dział 8):
\\[\\sin\\alpha = \\tfrac{\\text{przyprostokątna naprzeciw}}{\\text{przeciwprostokątna}} = \\tfrac{\\sqrt{3}}{3} = \\tfrac{1}{\\sqrt{3}} \\approx 0{,}577.\\]
Z tablic: \\(\\sin 30^{\\circ} = 0{,}5\\), \\(\\sin 40^{\\circ} \\approx 0{,}643\\). Ponieważ \\(0{,}5 < 0{,}577 < 0{,}643\\), więc \\(\\alpha \\in (30^{\\circ}, 40^{\\circ})\\).

\n
Sposób 2 - Porównanie z wartościami specjalnymi
\n

\\(\\sin 30^{\\circ} = \\tfrac{1}{2} = \\tfrac{\\sqrt{3}}{2\\sqrt{3}} = \\tfrac{\\sqrt{3}}{2\\sqrt{3}}\\), czyli \\(\\tfrac{\\sqrt{3}}{3} > \\tfrac{1}{2}\\), bo \\(\\tfrac{\\sqrt{3}}{3} \\approx 0{,}577 > 0{,}5\\). Zatem \\(\\alpha > 30^{\\circ}\\). Z drugiej strony \\(\\sin 60^{\\circ} = \\tfrac{\\sqrt{3}}{2} \\approx 0{,}866 > 0{,}577\\), więc \\(\\alpha < 60^{\\circ}\\). Precyzyjniej: \\(\\alpha \\approx 35^{\\circ}\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: \\(\\tfrac{\\sqrt{3}}{3} = \\tfrac{1}{\\sqrt{3}} \\approx 0{,}577\\) - zapamiętaj przybliżenie.

"}]}