{"id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (1 pkt)\nDany jest okrąg o środku S. Punkty K, L i M leżą na tym okręgu. Na łuku KL tego okręgu są\noparte kąty KSL i KML (zobacz rysunek), których miary α i β , spełniają warunek\n111\nα\nβ\n°. Wynika stąd, że\nA.\n74\nα =\n°\nB.\n76\nα =\n°\nC.\n70\nα =\n°\nD.\n72\nα =\n°","answer":"A","answer_text":"Zadanie 16. (0-1)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n7. Planimetria. Zdający korzysta ze związków\nmiędzy kątem środkowym, kątem wpisanym\ni kątem między styczną a cięciwą okręgu\n(7.a).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\n\\(\\sin\\alpha \\cdot \\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{16}{15}\\)\n\n## Sposób 1 - wyznaczenie sin i tg ze wzorów trygonometrycznych\n\n**Krok 1: Wyznaczymy \\(\\sin\\alpha\\)** z jedynki trygonometrycznej.\n\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\n\\[\\sin^2\\alpha = 1 - \\cos^2\\alpha = 1 - \\left(\\frac{3}{5}\\right)^2 = 1 - \\frac{9}{25} = \\frac{16}{25}\\]\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{4}{5}\\]\n\n(Bierzemy wartość dodatnią, bo \\(\\alpha\\) jest kątem ostrym, więc \\(\\sin\\alpha > 0\\).)\n\n**Krok 2: Wyznaczymy \\(\\operatorname{tg}\\alpha\\).**\n\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\frac{\\frac{4}{5}}{\\frac{3}{5}} = \\frac{4}{5} \\cdot \\frac{5}{3} = \\frac{4}{3}\\]\n\n**Krok 3: Obliczamy iloczyn.**\n\n\\[\\sin\\alpha \\cdot \\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{4}{5} \\cdot \\frac{4}{3} = \\boxed{\\frac{16}{15}}\\]\n\n## Sposób 2 - trójkąt prostokątny (metoda geometryczna)\n\nSkoro \\(\\cos\\alpha = \\frac{3}{5}\\), to w trójkącie prostokątnym:\n- przyprostokątna przyległa do kąta \\(\\alpha\\): \\(b = 3\\)\n- przeciwprostokątna: \\(c = 5\\)\n- druga przyprostokątna (z Pitagorasa): \\(a = \\sqrt{5^2 - 3^2} = \\sqrt{16} = 4\\)\n\nStąd bezpośrednio:\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{a}{c} = \\frac{4}{5}, \\qquad \\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{a}{b} = \\frac{4}{3}\\]\n\n\\[\\sin\\alpha \\cdot \\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{4}{5} \\cdot \\frac{4}{3} = \\frac{16}{15}\\]\n\nWynik ten sam - **odpowiedź A**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)**\n\nJedynka trygonometryczna:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\nUżyta w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(\\sin\\alpha\\).\n\nDefinicja tangensa:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\]\nUżyta do wyznaczenia \\(\\operatorname{tg}\\alpha\\) ze znanych \\(\\sin\\alpha\\) i \\(\\cos\\alpha\\).\n\nDefinicje z trójkąta prostokątnego (Sposób 2):\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{a}{c}, \\qquad \\cos\\alpha = \\frac{b}{c}, \\qquad \\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{a}{b}\\]\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej wartości |\n| B | Odwrócono ułamek: \\(\\frac{15}{16}\\) zamiast \\(\\frac{16}{15}\\) - np. pomylono licznik z mianownikiem przy obliczaniu \\(\\operatorname{tg}\\alpha\\) |\n| C | Policzono \\(\\sin\\alpha \\cdot \\cos\\alpha = \\frac{4}{5} \\cdot \\frac{3}{5} = \\frac{12}{25}\\) albo wzięto \\(\\sin\\alpha = \\frac{4}{5}\\), \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{3}{5}\\) (odwrócono role boków) |\n| D | Błędne uproszczenie: \\(\\frac{6}{20} = \\frac{3}{10}\\) nie wynika z żadnego sensownego rachunku - może efekt dodawania zamiast mnożenia lub wzięcia \\(\\cos\\alpha \\cdot \\frac{2}{4}\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy wyznaczaniu \\(\\sin\\alpha\\) z jedynki trygonometrycznej otrzymujesz \\(\\sin^2\\alpha = \\frac{16}{25}\\), a więc \\(\\sin\\alpha = \\pm\\frac{4}{5}\\). Pamiętaj - skoro \\(\\alpha\\) jest **kątem ostrym** (mieści się w I ćwiartce), wszystkie funkcje trygonometryczne są dodatnie. Wybierasz \\(+\\frac{4}{5}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\), a **nie** \\(\\frac{\\cos\\alpha}{\\sin\\alpha}\\). To odwrotność to \\(\\operatorname{ctg}\\alpha\\). Pomylenie tych dwóch prowadzi prosto do odpowiedzi B.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wynik \\(\\frac{16}{15} > 1\\) nie powinien Cię niepokoić - \\(\\operatorname{tg}\\alpha\\) i iloczyn \\(\\sin\\alpha \\cdot \\operatorname{tg}\\alpha\\) mogą być większe od 1, w przeciwieństwie do samego \\(\\sin\\alpha\\) czy \\(\\cos\\alpha\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Jedynka trygonometryczna\nZe wzoru \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\) (karta wzorów, Dział 8):\n\\[\\sin^2\\alpha = 1 - \\tfrac{9}{25} = \\tfrac{16}{25} \\;\\Longrightarrow\\; \\sin\\alpha = \\tfrac{4}{5}.\\]\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\tfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\tfrac{4/5}{3/5} = \\tfrac{4}{3}.\\]\n\\[\\sin\\alpha\\cdot \\operatorname{tg}\\alpha = \\tfrac{4}{5}\\cdot \\tfrac{4}{3} = \\tfrac{16}{15}.\\]\n\n### Sposób 2 - Trójkąt prostokątny\nZ \\(\\cos\\alpha = \\tfrac{3}{5}\\) rozumiemy przyprostokątną przyległą = 3, przeciwprostokątną = 5. Pitagoras: druga przyprostokątna = \\(\\sqrt{25-9} = 4\\). Stąd \\(\\sin\\alpha = \\tfrac{4}{5}\\), \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\tfrac{4}{3}\\), iloczyn = \\(\\tfrac{16}{15}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(\\tfrac{15}{16}\\)** - odwrotność poprawnej odpowiedzi.\n- **C. \\(\\tfrac{8}{15}\\)** - \\(\\sin\\alpha = \\tfrac{4}{5}\\), \\(\\cos\\alpha = \\tfrac{3}{5}\\), ale iloczyn \\(\\sin\\alpha\\cdot\\cos\\alpha = \\tfrac{12}{25}\\) ani to.\n- **D. \\(\\tfrac{6}{20}\\)** - nieprawdziwy wynik z pomieszanymi wartościami.\n\n**Trik:** Trójka \\(3\\)-\\(4\\)-\\(5\\) jest klasycznym pitagorejskim rozwiązaniem.","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 16. (1 pkt)<br>Dany jest okrąg o środku S. Punkty K, L i M leżą na tym okręgu. Na łuku KL tego okręgu są<br>oparte kąty KSL i KML (zobacz rysunek), których miary α i β , spełniają warunek<br>111<br>α<br>β<br>°. Wynika stąd, że<br>A.<br>74<br>α =<br>°<br>B.<br>76<br>α =<br>°<br>C.<br>70<br>α =<br>°<br>D.<br>72<br>α =<br>°</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 16. (0-1)<br>IV. Użycie i tworzenie<br>strategii.</p>\n<ol><li>Planimetria. Zdający korzysta ze związków</li></ol>\n<p>między kątem środkowym, kątem wpisanym<br>i kątem między styczną a cięciwą okręgu<br>(7.a).<br>Wersja<br>I<br>Wersja<br>II<br>A<br>B</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A</h4>\n<p>\\(\\sin\\alpha \\cdot \\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{16}{15}\\)</p>\n<h4>Sposób 1 - wyznaczenie sin i tg ze wzorów trygonometrycznych</h4>\n<p><strong>Krok 1: Wyznaczymy \\(\\sin\\alpha\\)</strong> z jedynki trygonometrycznej.</p>\n<p>\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]<br>\\[\\sin^2\\alpha = 1 - \\cos^2\\alpha = 1 - \\left(\\frac{3}{5}\\right)^2 = 1 - \\frac{9}{25} = \\frac{16}{25}\\]<br>\\[\\sin\\alpha = \\frac{4}{5}\\]</p>\n<p>(Bierzemy wartość dodatnią, bo \\(\\alpha\\) jest kątem ostrym, więc \\(\\sin\\alpha &gt; 0\\).)</p>\n<p><strong>Krok 2: Wyznaczymy \\(\\operatorname{tg}\\alpha\\).</strong></p>\n<p>\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\frac{\\frac{4}{5}}{\\frac{3}{5}} = \\frac{4}{5} \\cdot \\frac{5}{3} = \\frac{4}{3}\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Obliczamy iloczyn.</strong></p>\n<p>\\[\\sin\\alpha \\cdot \\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{4}{5} \\cdot \\frac{4}{3} = \\boxed{\\frac{16}{15}}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - trójkąt prostokątny (metoda geometryczna)</h4>\n<p>Skoro \\(\\cos\\alpha = \\frac{3}{5}\\), to w trójkącie prostokątnym:</p>\n<ul><li>przyprostokątna przyległa do kąta \\(\\alpha\\): \\(b = 3\\)</li><li>przeciwprostokątna: \\(c = 5\\)</li><li>druga przyprostokątna (z Pitagorasa): \\(a = \\sqrt{5^2 - 3^2} = \\sqrt{16} = 4\\)</li></ul>\n<p>Stąd bezpośrednio:<br>\\[\\sin\\alpha = \\frac{a}{c} = \\frac{4}{5}, \\qquad \\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{a}{b} = \\frac{4}{3}\\]</p>\n<p>\\[\\sin\\alpha \\cdot \\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{4}{5} \\cdot \\frac{4}{3} = \\frac{16}{15}\\]</p>\n<p>Wynik ten sam - <strong>odpowiedź A</strong>.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)</strong></p>\n<p>Jedynka trygonometryczna:<br>\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]<br>Użyta w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(\\sin\\alpha\\).</p>\n<p>Definicja tangensa:<br>\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\]<br>Użyta do wyznaczenia \\(\\operatorname{tg}\\alpha\\) ze znanych \\(\\sin\\alpha\\) i \\(\\cos\\alpha\\).</p>\n<p>Definicje z trójkąta prostokątnego (Sposób 2):<br>\\[\\sin\\alpha = \\frac{a}{c}, \\qquad \\cos\\alpha = \\frac{b}{c}, \\qquad \\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{a}{b}\\]</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej wartości |<br>| B | Odwrócono ułamek: \\(\\frac{15}{16}\\) zamiast \\(\\frac{16}{15}\\) - np. pomylono licznik z mianownikiem przy obliczaniu \\(\\operatorname{tg}\\alpha\\) |<br>| C | Policzono \\(\\sin\\alpha \\cdot \\cos\\alpha = \\frac{4}{5} \\cdot \\frac{3}{5} = \\frac{12}{25}\\) albo wzięto \\(\\sin\\alpha = \\frac{4}{5}\\), \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{3}{5}\\) (odwrócono role boków) |<br>| D | Błędne uproszczenie: \\(\\frac{6}{20} = \\frac{3}{10}\\) nie wynika z żadnego sensownego rachunku - może efekt dodawania zamiast mnożenia lub wzięcia \\(\\cos\\alpha \\cdot \\frac{2}{4}\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy wyznaczaniu \\(\\sin\\alpha\\) z jedynki trygonometrycznej otrzymujesz \\(\\sin^2\\alpha = \\frac{16}{25}\\), a więc \\(\\sin\\alpha = \\pm\\frac{4}{5}\\). Pamiętaj - skoro \\(\\alpha\\) jest <strong>kątem ostrym</strong> (mieści się w I ćwiartce), wszystkie funkcje trygonometryczne są dodatnie. Wybierasz \\(+\\frac{4}{5}\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\), a <strong>nie</strong> \\(\\frac{\\cos\\alpha}{\\sin\\alpha}\\). To odwrotność to \\(\\operatorname{ctg}\\alpha\\). Pomylenie tych dwóch prowadzi prosto do odpowiedzi B.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wynik \\(\\frac{16}{15} &gt; 1\\) nie powinien Cię niepokoić - \\(\\operatorname{tg}\\alpha\\) i iloczyn \\(\\sin\\alpha \\cdot \\operatorname{tg}\\alpha\\) mogą być większe od 1, w przeciwieństwie do samego \\(\\sin\\alpha\\) czy \\(\\cos\\alpha\\).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Jedynka trygonometryczna</h5>\n<p>Ze wzoru \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\) (karta wzorów, Dział 8):<br>\\[\\sin^2\\alpha = 1 - \\tfrac{9}{25} = \\tfrac{16}{25} \\;\\Longrightarrow\\; \\sin\\alpha = \\tfrac{4}{5}.\\]<br>\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\tfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\tfrac{4/5}{3/5} = \\tfrac{4}{3}.\\]<br>\\[\\sin\\alpha\\cdot \\operatorname{tg}\\alpha = \\tfrac{4}{5}\\cdot \\tfrac{4}{3} = \\tfrac{16}{15}.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Trójkąt prostokątny</h5>\n<p>Z \\(\\cos\\alpha = \\tfrac{3}{5}\\) rozumiemy przyprostokątną przyległą = 3, przeciwprostokątną = 5. Pitagoras: druga przyprostokątna = \\(\\sqrt{25-9} = 4\\). Stąd \\(\\sin\\alpha = \\tfrac{4}{5}\\), \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\tfrac{4}{3}\\), iloczyn = \\(\\tfrac{16}{15}\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>B. \\(\\tfrac{15}{16}\\)</strong> - odwrotność poprawnej odpowiedzi.</li><li><strong>C. \\(\\tfrac{8}{15}\\)</strong> - \\(\\sin\\alpha = \\tfrac{4}{5}\\), \\(\\cos\\alpha = \\tfrac{3}{5}\\), ale iloczyn \\(\\sin\\alpha\\cdot\\cos\\alpha = \\tfrac{12}{25}\\) ani to.</li><li><strong>D. \\(\\tfrac{6}{20}\\)</strong> - nieprawdziwy wynik z pomieszanymi wartościami.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> Trójka \\(3\\)-\\(4\\)-\\(5\\) jest klasycznym pitagorejskim rozwiązaniem.</p>"}]}