{"id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (1 pkt)\nDany jest trapez prostokątny KLMN, którego podstawy mają długości KL\na\n, MN\nb\n,\na > b . Kąt KLM ma miarę\n°\n60 . Długość ramienia LM tego trapezu jest równa\nA.\nb\na -\nB.\n(\n)\nb\na -\n2\nC.\nb\na\n2\n1\nD.\n2\nb\na +","answer":"B","answer_text":"Zadanie 17. (0-1)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n7. Planimetria. Zdający znajduje związki\nmiarowe w figurach płaskich, także\nz zastosowaniem trygonometrii, również\nw zadaniach umieszczonych w kontekście\npraktycznym (7.c).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(\\beta = 38°\\)\n\n## Sposób 1 - Twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym\n\n**Kluczowa obserwacja:** Kąt \\(\\alpha = \\angle KSL\\) to **kąt środkowy** (wierzchołek w środku okręgu S), a kąt \\(\\beta = \\angle KML\\) to **kąt wpisany** (wierzchołek M leży na okręgu). Oba kąty są oparte na tym samym łuku \\(KL\\).\n\nZ twierdzenia o kącie środkowym i wpisanym:\n\n\\[\\alpha = 2\\beta\\]\n\n*(kąt środkowy = dwa razy kąt wpisany oparty na tym samym łuku)*\n\nPodstawiamy do warunku z zadania \\(\\alpha + \\beta = 114°\\):\n\n\\[2\\beta + \\beta = 114°\\]\n\n\\[3\\beta = 114°\\]\n\n\\[\\boxed{\\beta = 38°}\\]\n\nSprawdzenie: \\(\\alpha = 2 \\cdot 38° = 76°\\), zatem \\(\\alpha + \\beta = 76° + 38° = 114°\\) ✓\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy, czy \\(\\beta = 38°\\) spełnia oba warunki zadania:\n\n1. **Warunek z zadania:** \\(\\alpha + \\beta = 114°\\), co daje \\(\\alpha = 114° - 38° = 76°\\)\n\n2. **Warunek geometryczny** (kąt środkowy = 2 · kąt wpisany):\n\\[\\frac{\\alpha}{\\beta} = \\frac{76°}{38°} = 2 \\checkmark\\]\n\nOba warunki są spełnione - odpowiedź B jest poprawna.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 19)** - Twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym:\n\n> Kąt wpisany w okrąg równa się połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku.\n\n\\[\\text{kąt wpisany} = \\frac{1}{2} \\cdot \\text{kąt środkowy}\\]\n\nczyli:\n\n\\[\\beta = \\frac{\\alpha}{2} \\quad \\Longleftrightarrow \\quad \\alpha = 2\\beta\\]\n\nUżyliśmy tego wprost, by wyrazić \\(\\alpha\\) przez \\(\\beta\\) i rozwiązać układ.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| **A** \\(\\beta = 19°\\) | Przyjęto \\(\\alpha = 4\\beta\\) zamiast \\(\\alpha = 2\\beta\\) (podwójny błąd skali) |\n| **C** \\(\\beta = 57°\\) | Przyjęto \\(\\alpha = \\beta\\) (kąty równe zamiast środkowy = 2 · wpisany), wtedy \\(2\\beta = 114°\\), \\(\\beta = 57°\\) |\n| **D** \\(\\beta = 76°\\) | Zamiana ról - uczeń wyznaczył \\(\\alpha\\) zamiast \\(\\beta\\), albo przyjął \\(\\beta = \\frac{2}{3} \\cdot 114°\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek „kąt wpisany = połowa środkowego\" działa tylko, gdy **oba kąty są oparte na tym samym łuku** - tu oba oparte na łuku \\(KL\\), więc jest OK.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić, który kąt jest środkowy, a który wpisany. Zapamiętaj: środkowy ma wierzchołek w **środku** okręgu (punkt S), wpisany ma wierzchołek **na okręgu** (punkt M).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie pyta o \\(\\beta\\) (kąt wpisany), a wielu uczniów błędnie podaje \\(\\alpha = 76°\\) jako odpowiedź - to wartość kąta środkowego, nie żądanego \\(\\beta\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym\nKąt środkowy \\(\\alpha = \\angle KSL\\) i kąt wpisany \\(\\beta = \\angle KML\\) oparte są na tym samym łuku \\(KL\\). Z twierdzenia (karta wzorów, Dział 7):\n\\[\\alpha = 2\\beta.\\]\nZ warunku: \\(\\alpha + \\beta = 114^{\\circ}\\). Podstawiamy:\n\\[2\\beta + \\beta = 114^{\\circ} \\;\\Longrightarrow\\; 3\\beta = 114^{\\circ} \\;\\Longrightarrow\\; \\beta = 38^{\\circ}.\\]\n\n### Sposób 2 - Podstawienie \\(\\alpha = 76^{\\circ}\\)\nSprawdzenie: \\(\\alpha = 2\\cdot 38^{\\circ} = 76^{\\circ}\\). Suma: \\(76^{\\circ} + 38^{\\circ} = 114^{\\circ}\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. 19°** - ktoś podzielił 114° przez 6 zamiast przez 3.\n- **C. 57°** - to połowa 114° (błędne: zamiana ról \\(\\alpha\\) i \\(\\beta\\)).\n- **D. 76°** - to \\(\\alpha\\), nie \\(\\beta\\).\n\n**Trik:** Kąt środkowy = 2 × kąt wpisany na tym samym łuku.","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 17. (1 pkt)<br>Dany jest trapez prostokątny KLMN, którego podstawy mają długości KL<br>a<br>, MN<br>b<br>,<br>a &gt; b . Kąt KLM ma miarę<br>°<br>60 . Długość ramienia LM tego trapezu jest równa<br>A.<br>b<br>a -<br>B.<br>(<br>)<br>b<br>a -<br>2<br>C.<br>b<br>a<br>2<br>1<br>D.<br>2<br>b<br>a +</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 17. (0-1)<br>III. Modelowanie<br>matematyczne.</p>\n<ol><li>Planimetria. Zdający znajduje związki</li></ol>\n<p>miarowe w figurach płaskich, także<br>z zastosowaniem trygonometrii, również<br>w zadaniach umieszczonych w kontekście<br>praktycznym (7.c).<br>Wersja<br>I<br>Wersja<br>II<br>B<br>D</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B - \\(\\beta = 38°\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym</h4>\n<p><strong>Kluczowa obserwacja:</strong> Kąt \\(\\alpha = \\angle KSL\\) to <strong>kąt środkowy</strong> (wierzchołek w środku okręgu S), a kąt \\(\\beta = \\angle KML\\) to <strong>kąt wpisany</strong> (wierzchołek M leży na okręgu). Oba kąty są oparte na tym samym łuku \\(KL\\).</p>\n<p>Z twierdzenia o kącie środkowym i wpisanym:</p>\n<p>\\[\\alpha = 2\\beta\\]</p>\n<p><em>(kąt środkowy = dwa razy kąt wpisany oparty na tym samym łuku)</em></p>\n<p>Podstawiamy do warunku z zadania \\(\\alpha + \\beta = 114°\\):</p>\n<p>\\[2\\beta + \\beta = 114°\\]</p>\n<p>\\[3\\beta = 114°\\]</p>\n<p>\\[\\boxed{\\beta = 38°}\\]</p>\n<p>Sprawdzenie: \\(\\alpha = 2 \\cdot 38° = 76°\\), zatem \\(\\alpha + \\beta = 76° + 38° = 114°\\) ✓</p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie</h4>\n<p>Sprawdzamy, czy \\(\\beta = 38°\\) spełnia oba warunki zadania:</p>\n<ol><li><strong>Warunek z zadania:</strong> \\(\\alpha + \\beta = 114°\\), co daje \\(\\alpha = 114° - 38° = 76°\\)</li></ol>\n<ol><li><strong>Warunek geometryczny</strong> (kąt środkowy = 2 · kąt wpisany):</li></ol>\n<p>\\[\\frac{\\alpha}{\\beta} = \\frac{76°}{38°} = 2 \\checkmark\\]</p>\n<p>Oba warunki są spełnione - odpowiedź B jest poprawna.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 19)</strong> - Twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym:</p>\n<blockquote>Kąt wpisany w okrąg równa się połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku.</blockquote>\n<p>\\[\\text{kąt wpisany} = \\frac{1}{2} \\cdot \\text{kąt środkowy}\\]</p>\n<p>czyli:</p>\n<p>\\[\\beta = \\frac{\\alpha}{2} \\quad \\Longleftrightarrow \\quad \\alpha = 2\\beta\\]</p>\n<p>Użyliśmy tego wprost, by wyrazić \\(\\alpha\\) przez \\(\\beta\\) i rozwiązać układ.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |<br>| <strong>A</strong> \\(\\beta = 19°\\) | Przyjęto \\(\\alpha = 4\\beta\\) zamiast \\(\\alpha = 2\\beta\\) (podwójny błąd skali) |<br>| <strong>C</strong> \\(\\beta = 57°\\) | Przyjęto \\(\\alpha = \\beta\\) (kąty równe zamiast środkowy = 2 · wpisany), wtedy \\(2\\beta = 114°\\), \\(\\beta = 57°\\) |<br>| <strong>D</strong> \\(\\beta = 76°\\) | Zamiana ról - uczeń wyznaczył \\(\\alpha\\) zamiast \\(\\beta\\), albo przyjął \\(\\beta = \\frac{2}{3} \\cdot 114°\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Warunek „kąt wpisany = połowa środkowego&quot; działa tylko, gdy <strong>oba kąty są oparte na tym samym łuku</strong> - tu oba oparte na łuku \\(KL\\), więc jest OK.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Łatwo pomylić, który kąt jest środkowy, a który wpisany. Zapamiętaj: środkowy ma wierzchołek w <strong>środku</strong> okręgu (punkt S), wpisany ma wierzchołek <strong>na okręgu</strong> (punkt M).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Zadanie pyta o \\(\\beta\\) (kąt wpisany), a wielu uczniów błędnie podaje \\(\\alpha = 76°\\) jako odpowiedź - to wartość kąta środkowego, nie żądanego \\(\\beta\\).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym</h5>\n<p>Kąt środkowy \\(\\alpha = \\angle KSL\\) i kąt wpisany \\(\\beta = \\angle KML\\) oparte są na tym samym łuku \\(KL\\). Z twierdzenia (karta wzorów, Dział 7):<br>\\[\\alpha = 2\\beta.\\]<br>Z warunku: \\(\\alpha + \\beta = 114^{\\circ}\\). Podstawiamy:<br>\\[2\\beta + \\beta = 114^{\\circ} \\;\\Longrightarrow\\; 3\\beta = 114^{\\circ} \\;\\Longrightarrow\\; \\beta = 38^{\\circ}.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Podstawienie \\(\\alpha = 76^{\\circ}\\)</h5>\n<p>Sprawdzenie: \\(\\alpha = 2\\cdot 38^{\\circ} = 76^{\\circ}\\). Suma: \\(76^{\\circ} + 38^{\\circ} = 114^{\\circ}\\) ✓.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. 19°</strong> - ktoś podzielił 114° przez 6 zamiast przez 3.</li><li><strong>C. 57°</strong> - to połowa 114° (błędne: zamiana ról \\(\\alpha\\) i \\(\\beta\\)).</li><li><strong>D. 76°</strong> - to \\(\\alpha\\), nie \\(\\beta\\).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> Kąt środkowy = 2 × kąt wpisany na tym samym łuku.</p>"}]}