{"id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (1 pkt)\nŚrednicą okręgu jest odcinek KL, gdzie\n(\n)\n6 8\nK\n,\n,\n(\n)\n6\n8\nL\n,\n. Równanie tego okręgu ma\npostać\nA.\n2\n2\n200\nx\ny\nB.\n2\n2\n100\nx\ny\nC.\n2\n2\n400\nx\ny\nD.\n2\n2\n300\nx\ny","answer":"B","answer_text":"Zadanie 18. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.\nZdający posługuje się równaniem okręgu\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\nx\na\ny\nb\nr\n(8.g).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(130°\\)\n\n## Sposób 1 - układ równań z właściwości równoległoboku\n\n**Kluczowa właściwość:** W równoległoboku sąsiednie kąty wewnętrzne są suplementarne, czyli sumują się do \\(180°\\).\n\nOznaczmy kąt ostry jako \\(\\alpha\\), kąt rozwarty jako \\(\\beta\\).\n\nWarunek 1 - kąty suplementarne:\n\\[\\alpha + \\beta = 180°\\]\n\nWarunek 2 - różnica kątów równa \\(80°\\):\n\\[\\beta - \\alpha = 80°\\]\n\nDodajemy oba równania stronami:\n\\[2\\beta = 260°\\]\n\\[\\beta = 130°\\]\n\n**Kąt rozwarty wynosi \\(130°\\).**\n\n(Sprawdzenie: \\(\\alpha = 180° - 130° = 50°\\), różnica: \\(130° - 50° = 80°\\) ✓)\n\n## Sposób 2 - rozumowanie wprost\n\nSkoro sąsiednie kąty sumują się do \\(180°\\), a jeden jest większy od drugiego o \\(80°\\), to kąt rozwarty jest o połowę tej różnicy większy od prostego \\(90°\\):\n\n\\[\\beta = 90° + \\frac{80°}{2} = 90° + 40° = 130°\\]\n\n**Dlaczego to działa?** Gdyby oba kąty były równe, każdy wynosiłby \\(90°\\). Skoro jeden jest większy o \\(80°\\), to \"dokładamy\" połowę tej różnicy do górnego i odejmujemy połowę od dolnego:\n\\[\\beta = 90° + 40° = 130°, \\quad \\alpha = 90° - 40° = 50°\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 20-21)** - własność równoległoboku:\n\n> Kąty sąsiednie w równoległoboku są suplementarne: \\(\\alpha + \\beta = 180°\\)\n\nUżyliśmy tego w obu sposobach jako podstawowego warunku układu.\n\nW tym zadaniu nie potrzebujemy innych wzorów z karty - wystarczy znajomość definicji kątów wewnętrznych równoległoboku.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A - \\(120°\\) | Uczeń przyjął, że różnica = \\(60°\\) (pomylił z trójkątem równobocznym) lub odjął \\(80°\\) od \\(180°\\) i wziął środek: \\(\\frac{180°+80°}{2}\\) po błędnym przestawieniu |\n| B - \\(125°\\) | Obliczenie \\(\\frac{180°+80°}{2} = 130°\\) wykonane poprawnie, ale błąd arytmetyczny: \\(260 \\div 2 = 125\\) (pomylono \\(260\\) z \\(250\\)) |\n| D - \\(135°\\) | Uczeń zastosował sumę kątów \\(360°\\) zamiast \\(180°\\): \\(\\frac{360°}{2} + 40° = 180° + 40°\\) - błędna podstawa |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąty **sąsiednie** (nie naprzeciwległe!) sumują się do \\(180°\\). Kąty naprzeciwległe w równoległoboku są **równe** - to częste źródło pomyłek.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie pyta o kąt **rozwarty** (większy od \\(90°\\)). Po obliczeniu obu kątów (\\(50°\\) i \\(130°\\)) upewnij się, że wybierasz właściwy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Różnica \\(\\beta - \\alpha = 80°\\) - uważaj na kolejność odejmowania. Zawsze odejmuj mniejszy od większego, żeby różnica była dodatnia.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Układ równań\nNiech \\(\\alpha\\) i \\(\\beta\\) to sąsiednie kąty, \\(\\alpha > \\beta\\). W równoległoboku \\(\\alpha + \\beta = 180^{\\circ}\\) (kąty jednostronne) i dane \\(\\alpha - \\beta = 80^{\\circ}\\):\n\\[\\begin{cases} \\alpha + \\beta = 180^{\\circ} \\\\ \\alpha - \\beta = 80^{\\circ} \\end{cases}\\]\nDodając: \\(2\\alpha = 260^{\\circ}\\), stąd \\(\\alpha = 130^{\\circ}\\), \\(\\beta = 50^{\\circ}\\). Kąt rozwarty to \\(\\alpha = 130^{\\circ}\\).\n\n### Sposób 2 - Bezpośrednie rozumowanie\nSuma = 180°, różnica = 80°, więc większy kąt = \\(\\tfrac{180+80}{2} = 130^{\\circ}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. 120°** - dałoby różnicę 60°, nie 80°.\n- **B. 125°** - różnica 70°, nie 80°.\n- **D. 135°** - różnica 90°, nie 80°.\n\n**Trik:** W równoległoboku sąsiednie kąty sumują się do 180°. Z sumy i różnicy wyznaczamy bezpośrednio.","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 18. (1 pkt)<br>Średnicą okręgu jest odcinek KL, gdzie<br>(<br>)<br>6 8<br>K<br>,<br>,<br>(<br>)<br>6<br>8<br>L<br>,<br>. Równanie tego okręgu ma<br>postać<br>A.<br>2<br>2<br>200<br>x<br>y<br>B.<br>2<br>2<br>100<br>x<br>y<br>C.<br>2<br>2<br>400<br>x<br>y<br>D.<br>2<br>2<br>300<br>x<br>y</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 18. (0-1)<br>II. Wykorzystanie<br>i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.</li></ol>\n<p>Zdający posługuje się równaniem okręgu<br>(<br>)<br>(<br>)<br>2<br>2<br>2<br>x<br>a<br>y<br>b<br>r<br>(8.g).<br>Wersja<br>I<br>Wersja<br>II<br>B<br>A</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C - \\(130°\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - układ równań z właściwości równoległoboku</h4>\n<p><strong>Kluczowa właściwość:</strong> W równoległoboku sąsiednie kąty wewnętrzne są suplementarne, czyli sumują się do \\(180°\\).</p>\n<p>Oznaczmy kąt ostry jako \\(\\alpha\\), kąt rozwarty jako \\(\\beta\\).</p>\n<p>Warunek 1 - kąty suplementarne:<br>\\[\\alpha + \\beta = 180°\\]</p>\n<p>Warunek 2 - różnica kątów równa \\(80°\\):<br>\\[\\beta - \\alpha = 80°\\]</p>\n<p>Dodajemy oba równania stronami:<br>\\[2\\beta = 260°\\]<br>\\[\\beta = 130°\\]</p>\n<p><strong>Kąt rozwarty wynosi \\(130°\\).</strong></p>\n<p>(Sprawdzenie: \\(\\alpha = 180° - 130° = 50°\\), różnica: \\(130° - 50° = 80°\\) ✓)</p>\n<h4>Sposób 2 - rozumowanie wprost</h4>\n<p>Skoro sąsiednie kąty sumują się do \\(180°\\), a jeden jest większy od drugiego o \\(80°\\), to kąt rozwarty jest o połowę tej różnicy większy od prostego \\(90°\\):</p>\n<p>\\[\\beta = 90° + \\frac{80°}{2} = 90° + 40° = 130°\\]</p>\n<p><strong>Dlaczego to działa?</strong> Gdyby oba kąty były równe, każdy wynosiłby \\(90°\\). Skoro jeden jest większy o \\(80°\\), to &quot;dokładamy&quot; połowę tej różnicy do górnego i odejmujemy połowę od dolnego:<br>\\[\\beta = 90° + 40° = 130°, \\quad \\alpha = 90° - 40° = 50°\\]</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 20-21)</strong> - własność równoległoboku:</p>\n<blockquote>Kąty sąsiednie w równoległoboku są suplementarne: \\(\\alpha + \\beta = 180°\\)</blockquote>\n<p>Użyliśmy tego w obu sposobach jako podstawowego warunku układu.</p>\n<p>W tym zadaniu nie potrzebujemy innych wzorów z karty - wystarczy znajomość definicji kątów wewnętrznych równoległoboku.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A - \\(120°\\) | Uczeń przyjął, że różnica = \\(60°\\) (pomylił z trójkątem równobocznym) lub odjął \\(80°\\) od \\(180°\\) i wziął środek: \\(\\frac{180°+80°}{2}\\) po błędnym przestawieniu |<br>| B - \\(125°\\) | Obliczenie \\(\\frac{180°+80°}{2} = 130°\\) wykonane poprawnie, ale błąd arytmetyczny: \\(260 \\div 2 = 125\\) (pomylono \\(260\\) z \\(250\\)) |<br>| D - \\(135°\\) | Uczeń zastosował sumę kątów \\(360°\\) zamiast \\(180°\\): \\(\\frac{360°}{2} + 40° = 180° + 40°\\) - błędna podstawa |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Kąty <strong>sąsiednie</strong> (nie naprzeciwległe!) sumują się do \\(180°\\). Kąty naprzeciwległe w równoległoboku są <strong>równe</strong> - to częste źródło pomyłek.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Zadanie pyta o kąt <strong>rozwarty</strong> (większy od \\(90°\\)). Po obliczeniu obu kątów (\\(50°\\) i \\(130°\\)) upewnij się, że wybierasz właściwy.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Różnica \\(\\beta - \\alpha = 80°\\) - uważaj na kolejność odejmowania. Zawsze odejmuj mniejszy od większego, żeby różnica była dodatnia.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Układ równań</h5>\n<p>Niech \\(\\alpha\\) i \\(\\beta\\) to sąsiednie kąty, \\(\\alpha &gt; \\beta\\). W równoległoboku \\(\\alpha + \\beta = 180^{\\circ}\\) (kąty jednostronne) i dane \\(\\alpha - \\beta = 80^{\\circ}\\):<br>\\[\\begin{cases} \\alpha + \\beta = 180^{\\circ} \\\\ \\alpha - \\beta = 80^{\\circ} \\end{cases}\\]<br>Dodając: \\(2\\alpha = 260^{\\circ}\\), stąd \\(\\alpha = 130^{\\circ}\\), \\(\\beta = 50^{\\circ}\\). Kąt rozwarty to \\(\\alpha = 130^{\\circ}\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Bezpośrednie rozumowanie</h5>\n<p>Suma = 180°, różnica = 80°, więc większy kąt = \\(\\tfrac{180+80}{2} = 130^{\\circ}\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. 120°</strong> - dałoby różnicę 60°, nie 80°.</li><li><strong>B. 125°</strong> - różnica 70°, nie 80°.</li><li><strong>D. 135°</strong> - różnica 90°, nie 80°.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> W równoległoboku sąsiednie kąty sumują się do 180°. Z sumy i różnicy wyznaczamy bezpośrednio.</p>"}]}