{"id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (1 pkt)\nProste o równaniach\n(\n)\n2\n3\ny\nm\nx\n+ oraz\n(\n)\n2\n1\n3\ny\nm\nx\nsą równoległe, gdy\nA.\n2\nm =\nB.\n3\nm =\nC.\n0\nm =\nD.\n1\nm =\nS\nK\nL\nM\nL\nK\nM\nN\na\nb\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":"B","answer_text":"Zadanie 19. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.\nZdający bada równoległość i prostopadłość\nprostych na podstawie ich równań\nkierunkowych (8.c).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(9\\sqrt{3}\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na pole trójkąta z dwóch boków i kąta\n\n**Znamy:** dwa boki \\(a = 4\\), \\(b = 9\\) oraz kąt między nimi \\(\\gamma = 60°\\).\n\nStosujemy wzór:\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot b \\cdot \\sin\\gamma\\]\n\nPodstawiamy:\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot 4 \\cdot 9 \\cdot \\sin 60°\\]\n\nZ tablicy wartości: \\(\\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\), więc:\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot 4 \\cdot 9 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]\n\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot 36 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = \\frac{36\\sqrt{3}}{4} = \\mathbf{9\\sqrt{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez wysokość trójkąta\n\nTraktujemy bok \\(b = 9\\) jako podstawę. Wyznaczamy wysokość opuszczoną na ten bok z wierzchołka naprzeciwległego.\n\nBok \\(a = 4\\) tworzy kąt \\(60°\\) z bokiem \\(b = 9\\). Wysokość \\(h\\) to:\n\\[h = a \\cdot \\sin\\gamma = 4 \\cdot \\sin 60° = 4 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = 2\\sqrt{3}\\]\n\nTeraz liczymy pole:\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot \\text{podstawa} \\cdot \\text{wysokość} = \\frac{1}{2} \\cdot 9 \\cdot 2\\sqrt{3} = \\frac{18\\sqrt{3}}{2} = \\mathbf{9\\sqrt{3}}\\]\n\nWynik zgodny - odpowiedź **D**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 16)** - pole trójkąta z dwóch boków i kąta między nimi:\n\\[P = \\frac{1}{2}ab\\sin\\gamma\\]\nDokładnie ten wzór zastosowaliśmy w Sposobie 1.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)** - wartość sinusa kąta \\(60°\\):\n\\[\\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]\nKluczowe do podstawienia - bez tej wartości nie da się dokończyć obliczeń.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A - \\(18\\) | Zapomniano o mnożniku \\(\\frac{1}{2}\\) w wzorze na pole: liczono \\(4 \\cdot 9 \\cdot \\sin 60°\\) zamiast \\(\\frac{1}{2} \\cdot 4 \\cdot 9 \\cdot \\sin 60°\\). Wyszło \\(18\\sqrt{3}\\), a potem błędnie uproszczono \\(\\sqrt{3} \\approx 1\\). |\n| B - \\(9\\) | Wstawiono \\(\\sin 60° = 1\\) (czyli wzięto kąt \\(90°\\) zamiast \\(60°\\)) i policzono \\(\\frac{1}{2} \\cdot 4 \\cdot 9 \\cdot 1 = 18\\) albo zgubiono jeden czynnik. |\n| C - \\(18\\sqrt{3}\\) | Zapomniano o \\(\\frac{1}{2}\\) we wzorze: \\(4 \\cdot 9 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = 18\\sqrt{3}\\). To bardzo typowy błąd - opuszczenie czynnika \\(\\frac{1}{2}\\) ze wzoru na pole. |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to pominięcie \\(\\frac{1}{2}\\) we wzorze \\(P = \\frac{1}{2}ab\\sin\\gamma\\). Efekt: wynik dwa razy za duży - czyli odpowiedź C.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że wzór działa tylko gdy \\(\\gamma\\) to kąt **między** podanymi bokami \\(a\\) i \\(b\\), nie dowolny kąt trójkąta.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\), a nie \\(\\frac{1}{2}\\) (to jest \\(\\sin 30°\\)). Pomylenie tych dwóch wartości to klasyczna wpadka na maturze.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Wzór na pole z dwóch boków i kąta\nZe wzoru \\(P = \\tfrac{1}{2}ab\\sin\\gamma\\) (karta wzorów, Dział 9):\n\\[P = \\tfrac{1}{2}\\cdot 4\\cdot 9\\cdot \\sin 60^{\\circ} = 18\\cdot \\tfrac{\\sqrt{3}}{2} = 9\\sqrt{3}.\\]\n\n### Sposób 2 - Wysokość trójkąta\nWysokość opuszczona na bok długości 9 z drugiej strony kąta 60° to \\(h = 4\\sin 60^{\\circ} = 2\\sqrt{3}\\). Pole:\n\\[P = \\tfrac{1}{2}\\cdot 9\\cdot 2\\sqrt{3} = 9\\sqrt{3}.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. 18** - ktoś pomylił \\(\\sin 60^{\\circ}\\) z 1 lub zapomniał o \\(\\tfrac{1}{2}\\).\n- **B. 9** - zapomnienie o \\(\\sin 60^{\\circ}\\), dodatkowo błąd.\n- **C. \\(18\\sqrt{3}\\)** - pominięcie współczynnika \\(\\tfrac{1}{2}\\).\n\n**Trik:** Wzór \\(P = \\tfrac{1}{2}ab\\sin\\gamma\\) działa, gdy \\(a, b\\) to boki przy kącie \\(\\gamma\\).","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 19. (1 pkt)<br>Proste o równaniach<br>(<br>)<br>2<br>3<br>y<br>m<br>x</p>\n<ul><li>oraz</li></ul>\n<p>(<br>)<br>2<br>1<br>3<br>y<br>m<br>x<br>są równoległe, gdy<br>A.<br>2<br>m =<br>B.<br>3<br>m =<br>C.<br>0<br>m =<br>D.<br>1<br>m =<br>S<br>K<br>L<br>M<br>L<br>K<br>M<br>N<br>a<br>b</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>MMA_1P<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>MMA_1P</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 19. (0-1)<br>II. Wykorzystanie<br>i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.</li></ol>\n<p>Zdający bada równoległość i prostopadłość<br>prostych na podstawie ich równań<br>kierunkowych (8.c).<br>Wersja<br>I<br>Wersja<br>II<br>B<br>C</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D - \\(9\\sqrt{3}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Wzór na pole trójkąta z dwóch boków i kąta</h4>\n<p><strong>Znamy:</strong> dwa boki \\(a = 4\\), \\(b = 9\\) oraz kąt między nimi \\(\\gamma = 60°\\).</p>\n<p>Stosujemy wzór:<br>\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot b \\cdot \\sin\\gamma\\]</p>\n<p>Podstawiamy:<br>\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot 4 \\cdot 9 \\cdot \\sin 60°\\]</p>\n<p>Z tablicy wartości: \\(\\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\), więc:<br>\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot 4 \\cdot 9 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]</p>\n<p>\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot 36 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = \\frac{36\\sqrt{3}}{4} = \\mathbf{9\\sqrt{3}}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Przez wysokość trójkąta</h4>\n<p>Traktujemy bok \\(b = 9\\) jako podstawę. Wyznaczamy wysokość opuszczoną na ten bok z wierzchołka naprzeciwległego.</p>\n<p>Bok \\(a = 4\\) tworzy kąt \\(60°\\) z bokiem \\(b = 9\\). Wysokość \\(h\\) to:<br>\\[h = a \\cdot \\sin\\gamma = 4 \\cdot \\sin 60° = 4 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = 2\\sqrt{3}\\]</p>\n<p>Teraz liczymy pole:<br>\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot \\text{podstawa} \\cdot \\text{wysokość} = \\frac{1}{2} \\cdot 9 \\cdot 2\\sqrt{3} = \\frac{18\\sqrt{3}}{2} = \\mathbf{9\\sqrt{3}}\\]</p>\n<p>Wynik zgodny - odpowiedź <strong>D</strong>.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 16)</strong> - pole trójkąta z dwóch boków i kąta między nimi:<br>\\[P = \\frac{1}{2}ab\\sin\\gamma\\]<br>Dokładnie ten wzór zastosowaliśmy w Sposobie 1.</p>\n<p><strong>Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)</strong> - wartość sinusa kąta \\(60°\\):<br>\\[\\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]<br>Kluczowe do podstawienia - bez tej wartości nie da się dokończyć obliczeń.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A - \\(18\\) | Zapomniano o mnożniku \\(\\frac{1}{2}\\) w wzorze na pole: liczono \\(4 \\cdot 9 \\cdot \\sin 60°\\) zamiast \\(\\frac{1}{2} \\cdot 4 \\cdot 9 \\cdot \\sin 60°\\). Wyszło \\(18\\sqrt{3}\\), a potem błędnie uproszczono \\(\\sqrt{3} \\approx 1\\). |<br>| B - \\(9\\) | Wstawiono \\(\\sin 60° = 1\\) (czyli wzięto kąt \\(90°\\) zamiast \\(60°\\)) i policzono \\(\\frac{1}{2} \\cdot 4 \\cdot 9 \\cdot 1 = 18\\) albo zgubiono jeden czynnik. |<br>| C - \\(18\\sqrt{3}\\) | Zapomniano o \\(\\frac{1}{2}\\) we wzorze: \\(4 \\cdot 9 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = 18\\sqrt{3}\\). To bardzo typowy błąd - opuszczenie czynnika \\(\\frac{1}{2}\\) ze wzoru na pole. |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Najczęstszy błąd to pominięcie \\(\\frac{1}{2}\\) we wzorze \\(P = \\frac{1}{2}ab\\sin\\gamma\\). Efekt: wynik dwa razy za duży - czyli odpowiedź C.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Pamiętaj, że wzór działa tylko gdy \\(\\gamma\\) to kąt <strong>między</strong> podanymi bokami \\(a\\) i \\(b\\), nie dowolny kąt trójkąta.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\(\\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\), a nie \\(\\frac{1}{2}\\) (to jest \\(\\sin 30°\\)). Pomylenie tych dwóch wartości to klasyczna wpadka na maturze.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Wzór na pole z dwóch boków i kąta</h5>\n<p>Ze wzoru \\(P = \\tfrac{1}{2}ab\\sin\\gamma\\) (karta wzorów, Dział 9):<br>\\[P = \\tfrac{1}{2}\\cdot 4\\cdot 9\\cdot \\sin 60^{\\circ} = 18\\cdot \\tfrac{\\sqrt{3}}{2} = 9\\sqrt{3}.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Wysokość trójkąta</h5>\n<p>Wysokość opuszczona na bok długości 9 z drugiej strony kąta 60° to \\(h = 4\\sin 60^{\\circ} = 2\\sqrt{3}\\). Pole:<br>\\[P = \\tfrac{1}{2}\\cdot 9\\cdot 2\\sqrt{3} = 9\\sqrt{3}.\\]</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. 18</strong> - ktoś pomylił \\(\\sin 60^{\\circ}\\) z 1 lub zapomniał o \\(\\tfrac{1}{2}\\).</li><li><strong>B. 9</strong> - zapomnienie o \\(\\sin 60^{\\circ}\\), dodatkowo błąd.</li><li><strong>C. \\(18\\sqrt{3}\\)</strong> - pominięcie współczynnika \\(\\tfrac{1}{2}\\).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> Wzór \\(P = \\tfrac{1}{2}ab\\sin\\gamma\\) działa, gdy \\(a, b\\) to boki przy kącie \\(\\gamma\\).</p>"}]}