{"id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (1 pkt)\nLiczba 3\n3\n7\n81\n3\n56\n⋅\njest równa\nA.\n3\n2\nB.\n3\n3\n2 21\nC. 3\n2\nD. 9\n4","answer":"C","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający planuje\ni wykonuje obliczenia na liczbach\nrzeczywistych; w szczególności oblicza\npierwiastki (1.a).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(2^{\\frac{1}{6}}\\)\n\n## Sposób 1 - Zamiana pierwiastków na potęgi\n\nKluczowa zasada: **każdy pierwiastek to potęga o wykładniku wymiernym**.\n\nZaczynamy od środka - zamieniamy \\(\\sqrt[3]{2}\\) na potęgę:\n\\[\\sqrt[3]{2} = 2^{\\frac{1}{3}}\\]\n\nTeraz bierzemy pierwiastek kwadratowy z tego wyrażenia:\n\\[\\sqrt{\\sqrt[3]{2}} = \\sqrt{2^{\\frac{1}{3}}} = \\left(2^{\\frac{1}{3}}\\right)^{\\frac{1}{2}}\\]\n\nKorzystamy ze wzoru \\((a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\) - mnożymy wykładniki:\n\\[\\left(2^{\\frac{1}{3}}\\right)^{\\frac{1}{2}} = 2^{\\frac{1}{3} \\cdot \\frac{1}{2}} = 2^{\\frac{1}{6}}\\]\n\n**Wynik: \\(2^{\\frac{1}{6}}\\)**\n\n## Sposób 2 - Bezpośrednia zamiana pierwiastka wielokrotnego\n\nMożna zapisać cały wyrażenie od razu jako jeden pierwiastek.\n\n\\(\\sqrt{\\sqrt[3]{2}}\\) oznacza: bierzemy pierwiastek kwadratowy z pierwiastka sześciennego z 2.\n\nOgólna zasada: \\(\\sqrt[m]{\\sqrt[n]{a}} = \\sqrt[m \\cdot n]{a}\\), bo:\n\\[\\sqrt[m]{\\sqrt[n]{a}} = \\left(a^{\\frac{1}{n}}\\right)^{\\frac{1}{m}} = a^{\\frac{1}{m \\cdot n}}\\]\n\nStosujemy ją bezpośrednio:\n\\[\\sqrt{\\sqrt[3]{2}} = \\sqrt[2 \\cdot 3]{2} = \\sqrt[6]{2} = 2^{\\frac{1}{6}}\\]\n\n**Wynik: \\(2^{\\frac{1}{6}}\\)** ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)**\n\nWzór na pierwiastek jako potęgę:\n\\[a^{\\frac{m}{n}} = \\sqrt[n]{a^m}, \\quad \\text{czyli w szczególności} \\quad \\sqrt[n]{a} = a^{\\frac{1}{n}}\\]\n\nWzór na potęgę potęgi:\n\\[(a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\]\n\nOba wzory były kluczowe w Sposobie 1 - zamieniamy pierwiastki na potęgi, a następnie mnożymy wykładniki.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B - \\(2^{\\frac{1}{5}}\\) | Dodawanie wykładników zamiast mnożenia: \\(\\frac{1}{2} + \\frac{1}{3} = \\frac{5}{6}\\) albo mylne myślenie \"2 + 3 = 5, więc \\(\\frac{1}{5}\\)\" |\n| C - \\(2^{\\frac{1}{3}}\\) | Zignorowanie zewnętrznego pierwiastka kwadratowego - wzięcie tylko \\(\\sqrt[3]{2}\\) |\n| D - \\(2^{\\frac{2}{3}}\\) | Pomylenie kierunku: zamiast \\(\\frac{1}{3} \\cdot \\frac{1}{2}\\) policzono \\(\\frac{1}{3} \\cdot 2\\) lub \\(\\frac{2}{3}\\) bez żadnego uzasadnienia |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to **dodawanie wykładników** zamiast ich mnożenia. Przy potędze potęgi MNOŻYMY: \\((a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\). Dodajemy wykładniki tylko przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie: \\(a^r \\cdot a^s = a^{r+s}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kolejność pierwiastków ma znaczenie! \\(\\sqrt{\\sqrt[3]{2}}\\) to: najpierw sześcian, potem kwadrat - czytamy od środka na zewnątrz. Wynik to \\(\\sqrt[6]{2}\\), bo \\(2 \\times 3 = 6\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warto sprawdzić intuicyjnie - \\(2^{\\frac{1}{6}}\\) jest bliskie 1 (bo wykładnik bardzo mały), a \\(\\sqrt{\\sqrt[3]{2}}\\) to wielokrotne pierwiastkowanie 2, więc wynik rzeczywiście powinien być liczbą tylko nieznacznie większą od 1. To szybka weryfikacja sensu odpowiedzi.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Zamiana pierwiastków na potęgi ułamkowe\nZe wzoru \\(\\sqrt[n]{a} = a^{1/n}\\) (karta wzorów, Dział 1):\n\\[\\sqrt{\\sqrt[3]{2}} = \\sqrt{2^{1/3}} = \\left(2^{1/3}\\right)^{1/2} = 2^{\\frac{1}{3}\\cdot\\frac{1}{2}} = 2^{\\frac{1}{6}}.\\]\n\n### Sposób 2 - Pierwiastek z pierwiastka\nKorzystamy ze wzoru \\(\\sqrt[m]{\\sqrt[n]{a}} = \\sqrt[mn]{a}\\):\n\\[\\sqrt{\\sqrt[3]{2}} = \\sqrt[2\\cdot 3]{2} = \\sqrt[6]{2} = 2^{1/6}.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(2^{1/5}\\)** - ktoś dodał stopnie pierwiastków (2+3=5) zamiast mnożyć.\n- **C. \\(2^{1/3}\\)** - ktoś pominął zewnętrzny pierwiastek kwadratowy.\n- **D. \\(2^{2/3}\\)** - błąd w interpretacji wykładnika (\\(\\tfrac{2}{3}\\) sugeruje potęgę, nie pierwiastek).\n\n**Trik:** Pierwiastek w pierwiastku = iloczyn stopni w mianowniku wykładnika.","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 2. (1 pkt)<br>Liczba 3<br>3<br>7<br>81<br>3<br>56<br>⋅<br>jest równa<br>A.<br>3<br>2<br>B.<br>3<br>3<br>2 21<br>C. 3<br>2<br>D. 9<br>4</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 2. (0-1)<br>II. Wykorzystanie<br>i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Liczby rzeczywiste. Zdający planuje</li></ol>\n<p>i wykonuje obliczenia na liczbach<br>rzeczywistych; w szczególności oblicza<br>pierwiastki (1.a).<br>Wersja<br>I<br>Wersja<br>II<br>C<br>A</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A - \\(2^{\\frac{1}{6}}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Zamiana pierwiastków na potęgi</h4>\n<p>Kluczowa zasada: <strong>każdy pierwiastek to potęga o wykładniku wymiernym</strong>.</p>\n<p>Zaczynamy od środka - zamieniamy \\(\\sqrt[3]{2}\\) na potęgę:<br>\\[\\sqrt[3]{2} = 2^{\\frac{1}{3}}\\]</p>\n<p>Teraz bierzemy pierwiastek kwadratowy z tego wyrażenia:<br>\\[\\sqrt{\\sqrt[3]{2}} = \\sqrt{2^{\\frac{1}{3}}} = \\left(2^{\\frac{1}{3}}\\right)^{\\frac{1}{2}}\\]</p>\n<p>Korzystamy ze wzoru \\((a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\) - mnożymy wykładniki:<br>\\[\\left(2^{\\frac{1}{3}}\\right)^{\\frac{1}{2}} = 2^{\\frac{1}{3} \\cdot \\frac{1}{2}} = 2^{\\frac{1}{6}}\\]</p>\n<p><strong>Wynik: \\(2^{\\frac{1}{6}}\\)</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Bezpośrednia zamiana pierwiastka wielokrotnego</h4>\n<p>Można zapisać cały wyrażenie od razu jako jeden pierwiastek.</p>\n<p>\\(\\sqrt{\\sqrt[3]{2}}\\) oznacza: bierzemy pierwiastek kwadratowy z pierwiastka sześciennego z 2.</p>\n<p>Ogólna zasada: \\(\\sqrt[m]{\\sqrt[n]{a}} = \\sqrt[m \\cdot n]{a}\\), bo:<br>\\[\\sqrt[m]{\\sqrt[n]{a}} = \\left(a^{\\frac{1}{n}}\\right)^{\\frac{1}{m}} = a^{\\frac{1}{m \\cdot n}}\\]</p>\n<p>Stosujemy ją bezpośrednio:<br>\\[\\sqrt{\\sqrt[3]{2}} = \\sqrt[2 \\cdot 3]{2} = \\sqrt[6]{2} = 2^{\\frac{1}{6}}\\]</p>\n<p><strong>Wynik: \\(2^{\\frac{1}{6}}\\)</strong> ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)</strong></p>\n<p>Wzór na pierwiastek jako potęgę:<br>\\[a^{\\frac{m}{n}} = \\sqrt[n]{a^m}, \\quad \\text{czyli w szczególności} \\quad \\sqrt[n]{a} = a^{\\frac{1}{n}}\\]</p>\n<p>Wzór na potęgę potęgi:<br>\\[(a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\]</p>\n<p>Oba wzory były kluczowe w Sposobie 1 - zamieniamy pierwiastki na potęgi, a następnie mnożymy wykładniki.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| B - \\(2^{\\frac{1}{5}}\\) | Dodawanie wykładników zamiast mnożenia: \\(\\frac{1}{2} + \\frac{1}{3} = \\frac{5}{6}\\) albo mylne myślenie &quot;2 + 3 = 5, więc \\(\\frac{1}{5}\\)&quot; |<br>| C - \\(2^{\\frac{1}{3}}\\) | Zignorowanie zewnętrznego pierwiastka kwadratowego - wzięcie tylko \\(\\sqrt[3]{2}\\) |<br>| D - \\(2^{\\frac{2}{3}}\\) | Pomylenie kierunku: zamiast \\(\\frac{1}{3} \\cdot \\frac{1}{2}\\) policzono \\(\\frac{1}{3} \\cdot 2\\) lub \\(\\frac{2}{3}\\) bez żadnego uzasadnienia |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Najczęstszy błąd to <strong>dodawanie wykładników</strong> zamiast ich mnożenia. Przy potędze potęgi MNOŻYMY: \\((a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\). Dodajemy wykładniki tylko przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie: \\(a^r \\cdot a^s = a^{r+s}\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Kolejność pierwiastków ma znaczenie! \\(\\sqrt{\\sqrt[3]{2}}\\) to: najpierw sześcian, potem kwadrat - czytamy od środka na zewnątrz. Wynik to \\(\\sqrt[6]{2}\\), bo \\(2 \\times 3 = 6\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Warto sprawdzić intuicyjnie - \\(2^{\\frac{1}{6}}\\) jest bliskie 1 (bo wykładnik bardzo mały), a \\(\\sqrt{\\sqrt[3]{2}}\\) to wielokrotne pierwiastkowanie 2, więc wynik rzeczywiście powinien być liczbą tylko nieznacznie większą od 1. To szybka weryfikacja sensu odpowiedzi.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Zamiana pierwiastków na potęgi ułamkowe</h5>\n<p>Ze wzoru \\(\\sqrt[n]{a} = a^{1/n}\\) (karta wzorów, Dział 1):<br>\\[\\sqrt{\\sqrt[3]{2}} = \\sqrt{2^{1/3}} = \\left(2^{1/3}\\right)^{1/2} = 2^{\\frac{1}{3}\\cdot\\frac{1}{2}} = 2^{\\frac{1}{6}}.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Pierwiastek z pierwiastka</h5>\n<p>Korzystamy ze wzoru \\(\\sqrt[m]{\\sqrt[n]{a}} = \\sqrt[mn]{a}\\):<br>\\[\\sqrt{\\sqrt[3]{2}} = \\sqrt[2\\cdot 3]{2} = \\sqrt[6]{2} = 2^{1/6}.\\]</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>B. \\(2^{1/5}\\)</strong> - ktoś dodał stopnie pierwiastków (2+3=5) zamiast mnożyć.</li><li><strong>C. \\(2^{1/3}\\)</strong> - ktoś pominął zewnętrzny pierwiastek kwadratowy.</li><li><strong>D. \\(2^{2/3}\\)</strong> - błąd w interpretacji wykładnika (\\(\\tfrac{2}{3}\\) sugeruje potęgę, nie pierwiastek).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> Pierwiastek w pierwiastku = iloczyn stopni w mianowniku wykładnika.</p>"}]}