{"id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (1 pkt)\nPodstawą ostrosłupa jest kwadrat KLMN o boku długości 4. Wysokością tego ostrosłupa jest\nkrawędź NS, a jej długość też jest równa 4 (zobacz rysunek).\nKąt α , jaki tworzą krawędzie KS i MS, spełnia warunek\nA.\n°\n= 45\nα\nB.\n°\n<\n<\n°\n60\n45\nα\nC.\n°\n> 60\nα\nD.\n°\n= 60\nα","answer":"D","answer_text":"Zadanie 20. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n9. Stereometria. Zdający wskazuje i oblicza\nkąty między ścianami wielościanu, między\nścianami i odcinkami oraz między odcinkami\ntakimi jak krawędzie, przekątne, wysokości\n(9.a).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(m = 4\\)\n\n## Sposób 1 - Warunek równoległości: równe współczynniki kierunkowe\n\nDwie proste w postaci kierunkowej \\(y = ax + b\\) są **równoległe**, gdy mają **równe współczynniki kierunkowe** i **różne wyrazy wolne** (bo inaczej byłyby tą samą prostą).\n\nMamy:\n\\[y = (3m - 4)x + 2 \\qquad \\text{(prosta } l_1\\text{)}\\]\n\\[y = (12 - m)x + 3m \\qquad \\text{(prosta } l_2\\text{)}\\]\n\n**Krok 1 - przyrównaj współczynniki kierunkowe:**\n\\[3m - 4 = 12 - m\\]\n\n**Krok 2 - przenieś wyrazy z \\(m\\) na lewą stronę:**\n\\[3m + m = 12 + 4\\]\n\\[4m = 16\\]\n\\[\\boxed{m = 4}\\]\n\n**Krok 3 - sprawdź, czy proste nie są identyczne** (czyli czy wyrazy wolne różne):\n\nDla \\(m = 4\\):\n- Prosta \\(l_1\\): \\(y = (12-4)x + 2 = 8x + 2\\)\n- Prosta \\(l_2\\): \\(y = (12-4)x + 3 \\cdot 4 = 8x + 12\\)\n\nWyrazy wolne: \\(2 \\neq 12\\) ✓ - proste są rzeczywiście równoległe, nie identyczne.\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie do warunków\n\nSprawdzamy każdą z odpowiedzi, wstawiając do obu wzorów i porównując współczynniki:\n\n| Wartość \\(m\\) | Współczynnik \\(l_1\\): \\(3m-4\\) | Współczynnik \\(l_2\\): \\(12-m\\) | Równe? |\n| \\(m = 4\\) | \\(3(4)-4 = 8\\) | \\(12-4 = 8\\) | ✓ **TAK** |\n| \\(m = 3\\) | \\(3(3)-4 = 5\\) | \\(12-3 = 9\\) | ✗ NIE |\n| \\(m = -4\\) | \\(3(-4)-4 = -16\\) | \\(12-(-4) = 16\\) | ✗ NIE |\n| \\(m = -3\\) | \\(3(-3)-4 = -13\\) | \\(12-(-3) = 15\\) | ✗ NIE |\n\nTylko \\(m = 4\\) spełnia warunek. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - warunek równoległości prostych:\n\n\\[\\text{Proste } y = a_1x + b_1 \\text{ i } y = a_2x + b_2 \\text{ są równoległe} \\iff a_1 = a_2 \\text{ i } b_1 \\neq b_2\\]\n\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 - przyrównując współczynniki przy \\(x\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| **B** \\((m=3)\\) | Brak systematycznego rozwiązywania równania - uczeń \"zgaduje\" \\(m\\) z liczb widocznych w treści (\\(12 = 4 \\cdot 3\\)) albo błędnie upraszcza równanie |\n| **C** \\((m=-4)\\) | Mylenie warunku równoległości z warunkiem **prostopadłości** \\((a_1 \\cdot a_2 = -1)\\), co daje \\((3m-4)(12-m) = -1\\) - zupełnie inne równanie |\n| **D** \\((m=-3)\\) | Błąd znaku przy przenoszeniu \\(m\\) na lewą stronę: uczeń pisze \\(3m - m = 12 - 4\\) zamiast \\(3m + m = 12 + 4\\), co daje \\(2m = 8 \\Rightarrow m = 4\\) lub inne błędy pośrednie prowadzące do ujemnego wyniku |\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek równoległości to \\(a_1 = a_2\\) **ORAZ** \\(b_1 \\neq b_2\\). Jeśli pominiesz drugi warunek, możesz dostać wartość \\(m\\), dla której proste są **identyczne** (pokrywają się), a nie równoległe. Zawsze sprawdzaj wyrazy wolne!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy przenoszeniu \\(-m\\) na lewą stronę pamiętaj o zmianie znaku: \\(3m - 4 = 12 - m \\Rightarrow 3m \\mathbf{+} m = 12 \\mathbf{+} 4\\). Najczęstszy błąd to napisanie \\(3m - m = 12 - 4\\), co daje \\(2m = 8, m = 4\\) - przypadkowo taki sam wynik! Ale przy innych liczbach ten błąd dałby błędną odpowiedź.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić równoległości (\\(a_1 = a_2\\)) z prostopadłością (\\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\)). To dwa różne warunki!\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Warunek równoległości\nProste są równoległe, gdy mają równe współczynniki kierunkowe (karta wzorów, Dział 6):\n\\[3m - 4 = 12 - m\\]\n\\[4m = 16\\]\n\\[m = 4.\\]\nSprawdzenie: dla \\(m=4\\) współczynnik = \\(12 - 4 = 8 = 3\\cdot 4 - 4\\) ✓. Dodatkowo sprawdzamy, że nie są tożsame: \\(2 \\neq 12\\), więc równoległe (nie pokrywają się).\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie odpowiedzi\nDla \\(m=4\\): prosta 1 ma współczynnik \\(3\\cdot 4 - 4 = 8\\); prosta 2 ma współczynnik \\(12-4 = 8\\). Równe ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(m = 3\\)** - \\(3\\cdot 3 - 4 = 5\\), \\(12-3 = 9\\); różne.\n- **C. \\(m = -4\\)** - \\(3\\cdot(-4)-4 = -16\\), \\(12-(-4) = 16\\); różne.\n- **D. \\(m = -3\\)** - \\(-13\\) vs \\(15\\); różne.\n\n**Trik:** Równoległość = równe współczynniki kierunkowe (i różne wyrazy wolne).","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 20. (1 pkt)
Podstawą ostrosłupa jest kwadrat KLMN o boku długości 4. Wysokością tego ostrosłupa jest
krawędź NS, a jej długość też jest równa 4 (zobacz rysunek).
Kąt α , jaki tworzą krawędzie KS i MS, spełnia warunek
A.
°
= 45
α
B.
°
<
<
°
60
45
α
C.
°

\n
60
\n

α
D.
°
= 60
α

","answer_text_html":"

Zadanie 20. (0-1)
II. Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Stereometria. Zdający wskazuje i oblicza
\n

kąty między ścianami wielościanu, między
ścianami i odcinkami oraz między odcinkami
takimi jak krawędzie, przekątne, wysokości
(9.a).
Wersja
I
Wersja
II
D
A

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: A - \\(m = 4\\)

\n

Sposób 1 - Warunek równoległości: równe współczynniki kierunkowe

\n

Dwie proste w postaci kierunkowej \\(y = ax + b\\) są równoległe, gdy mają równe współczynniki kierunkowe i różne wyrazy wolne (bo inaczej byłyby tą samą prostą).

\n

Mamy:
\\[y = (3m - 4)x + 2 \\qquad \\text{(prosta } l_1\\text{)}\\]
\\[y = (12 - m)x + 3m \\qquad \\text{(prosta } l_2\\text{)}\\]

\n

Krok 1 - przyrównaj współczynniki kierunkowe:
\\[3m - 4 = 12 - m\\]

\n

Krok 2 - przenieś wyrazy z \\(m\\) na lewą stronę:
\\[3m + m = 12 + 4\\]
\\[4m = 16\\]
\\[\\boxed{m = 4}\\]

\n

Krok 3 - sprawdź, czy proste nie są identyczne (czyli czy wyrazy wolne różne):

\n

Dla \\(m = 4\\):

\n\n

Wyrazy wolne: \\(2 \\neq 12\\) ✓ - proste są rzeczywiście równoległe, nie identyczne.

\n

Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie do warunków

\n

Sprawdzamy każdą z odpowiedzi, wstawiając do obu wzorów i porównując współczynniki:

\n

| Wartość \\(m\\) | Współczynnik \\(l_1\\): \\(3m-4\\) | Współczynnik \\(l_2\\): \\(12-m\\) | Równe? |
| \\(m = 4\\) | \\(3(4)-4 = 8\\) | \\(12-4 = 8\\) | ✓ TAK |
| \\(m = 3\\) | \\(3(3)-4 = 5\\) | \\(12-3 = 9\\) | ✗ NIE |
| \\(m = -4\\) | \\(3(-4)-4 = -16\\) | \\(12-(-4) = 16\\) | ✗ NIE |
| \\(m = -3\\) | \\(3(-3)-4 = -13\\) | \\(12-(-3) = 15\\) | ✗ NIE |

\n

Tylko \\(m = 4\\) spełnia warunek. ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25) - warunek równoległości prostych:

\n

\\[\\text{Proste } y = a_1x + b_1 \\text{ i } y = a_2x + b_2 \\text{ są równoległe} \\iff a_1 = a_2 \\text{ i } b_1 \\neq b_2\\]

\n

Użyliśmy tego w Sposobie 1 - przyrównując współczynniki przy \\(x\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| B \\((m=3)\\) | Brak systematycznego rozwiązywania równania - uczeń "zgaduje" \\(m\\) z liczb widocznych w treści (\\(12 = 4 \\cdot 3\\)) albo błędnie upraszcza równanie |
| C \\((m=-4)\\) | Mylenie warunku równoległości z warunkiem prostopadłości \\((a_1 \\cdot a_2 = -1)\\), co daje \\((3m-4)(12-m) = -1\\) - zupełnie inne równanie |
| D \\((m=-3)\\) | Błąd znaku przy przenoszeniu \\(m\\) na lewą stronę: uczeń pisze \\(3m - m = 12 - 4\\) zamiast \\(3m + m = 12 + 4\\), co daje \\(2m = 8 \\Rightarrow m = 4\\) lub inne błędy pośrednie prowadzące do ujemnego wyniku |

\n

Typowe pułapki

\n
⚠️ Uwaga: Warunek równoległości to \\(a_1 = a_2\\) ORAZ \\(b_1 \\neq b_2\\). Jeśli pominiesz drugi warunek, możesz dostać wartość \\(m\\), dla której proste są identyczne (pokrywają się), a nie równoległe. Zawsze sprawdzaj wyrazy wolne!
\n
⚠️ Uwaga: Przy przenoszeniu \\(-m\\) na lewą stronę pamiętaj o zmianie znaku: \\(3m - 4 = 12 - m \\Rightarrow 3m \\mathbf{+} m = 12 \\mathbf{+} 4\\). Najczęstszy błąd to napisanie \\(3m - m = 12 - 4\\), co daje \\(2m = 8, m = 4\\) - przypadkowo taki sam wynik! Ale przy innych liczbach ten błąd dałby błędną odpowiedź.
\n
⚠️ Uwaga: Nie mylić równoległości (\\(a_1 = a_2\\)) z prostopadłością (\\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\)). To dwa różne warunki!
\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1 - Warunek równoległości
\n

Proste są równoległe, gdy mają równe współczynniki kierunkowe (karta wzorów, Dział 6):
\\[3m - 4 = 12 - m\\]
\\[4m = 16\\]
\\[m = 4.\\]
Sprawdzenie: dla \\(m=4\\) współczynnik = \\(12 - 4 = 8 = 3\\cdot 4 - 4\\) ✓. Dodatkowo sprawdzamy, że nie są tożsame: \\(2 \\neq 12\\), więc równoległe (nie pokrywają się).

\n
Sposób 2 - Sprawdzenie odpowiedzi
\n

Dla \\(m=4\\): prosta 1 ma współczynnik \\(3\\cdot 4 - 4 = 8\\); prosta 2 ma współczynnik \\(12-4 = 8\\). Równe ✓.

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: Równoległość = równe współczynniki kierunkowe (i różne wyrazy wolne).

"}]}