{"id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (1 pkt)\nPodstawą graniastosłupa prostego jest prostokąt o bokach długości 3 i 4. Kąt α , jaki przekątna\ntego graniastosłupa tworzy z jego podstawą, jest równy\n°\n45 (zobacz rysunek).\nWysokość graniastosłupa jest równa\nA. 5\nB.\n2\n3\nC.\n2\n5\nD. 5 3\n3","answer":"A","answer_text":"Zadanie 21. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n9. Stereometria. Zdający wskazuje i oblicza\nkąty między ścianami wielościanu, między\nścianami i odcinkami oraz między odcinkami\ntakimi jak krawędzie, przekątne, wysokości\n(9.a).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(10\\sqrt{2}\\)\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie punktu B ze wzoru na środek odcinka\n\n**Znamy:** \\(A = (-3, 2)\\), \\(M = (4, 1)\\) - środek \\(AB\\). Szukamy najpierw \\(B\\), potem \\(|AB|\\).\n\nZe wzoru na środek odcinka:\n\\[x_M = \\frac{x_A + x_B}{2} \\qquad y_M = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]\n\nWyznaczamy \\(x_B\\):\n\\[4 = \\frac{-3 + x_B}{2} \\implies 8 = -3 + x_B \\implies x_B = 11\\]\n\nWyznaczamy \\(y_B\\):\n\\[1 = \\frac{2 + y_B}{2} \\implies 2 = 2 + y_B \\implies y_B = 0\\]\n\nZatem \\(B = (11, 0)\\).\n\nTeraz liczymy długość \\(|AB|\\):\n\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \\sqrt{(11-(-3))^2 + (0-2)^2}\\]\n\\[= \\sqrt{14^2 + (-2)^2} = \\sqrt{196 + 4} = \\sqrt{200} = \\sqrt{100 \\cdot 2} = \\mathbf{10\\sqrt{2}}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez długość \\(|AM|\\) i podwojenie\n\nSkoro \\(M\\) jest **środkiem** odcinka \\(AB\\), to:\n\\[|AB| = 2 \\cdot |AM|\\]\n\nLiczymy odległość \\(|AM|\\):\n\\[|AM| = \\sqrt{(4-(-3))^2 + (1-2)^2} = \\sqrt{7^2 + (-1)^2} = \\sqrt{49 + 1} = \\sqrt{50} = 5\\sqrt{2}\\]\n\nStąd:\n\\[|AB| = 2 \\cdot 5\\sqrt{2} = \\mathbf{10\\sqrt{2}}\\]\n\nTen sposób jest szybszy - nie trzeba wyznaczać współrzędnych \\(B\\)!\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)**\n\nDługość odcinka o końcach \\(A(x_A, y_A)\\), \\(B(x_B, y_B)\\):\n\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]\n\nŚrodek odcinka \\(AB\\):\n\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}, \\qquad y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]\n\nW Sposobie 1 użyliśmy obu wzorów: najpierw wzoru na środek (do wyznaczenia \\(B\\)), potem wzoru na długość. W Sposobie 2 wystarczył tylko wzór na długość (do wyznaczenia \\(|AM|\\)).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A \\((2\\sqrt{5})\\) | Policzono \\(\\|AM\\|\\) ze zamienionymi składnikami: \\(\\sqrt{(1-(-3))^2+(4-2)^2} = \\sqrt{16+4} = 2\\sqrt{5}\\) - błąd zamiany \\(\\Delta x\\) z \\(\\Delta y\\) |\n| B \\((4\\sqrt{5})\\) | Jak wyżej - popełniono błąd w \\(\\|AM\\|\\) (wynik \\(2\\sqrt{5}\\)), a potem poprawnie podwojono; błąd w liczeniu \\(\\|AM\\|\\), nie w procedurze |\n| C \\((5\\sqrt{2})\\) | Obliczono \\(\\|AM\\| = \\sqrt{49+1} = 5\\sqrt{2}\\) poprawnie, ale **zapomniano podwoić** - podano długość połowy odcinka zamiast całego |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to zapomnienie, że środek dzieli odcinek na **dwie równe części**, więc \\(|AB| = 2 \\cdot |AM|\\). Samo obliczenie \\(|AM|\\) (czyli \\(5\\sqrt{2}\\)) to odpowiedź C - klasyczna pułapka!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy wyznaczaniu \\(B\\) ze wzoru na środek - mnożymy obie strony przez 2 przed przeniesieniem \\(x_A\\) na drugą stronę. Łatwo o błąd przy ujemnych współrzędnych: \\(8 = -3 + x_B \\implies x_B = 11\\), nie \\(x_B = 5\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sposób 2 (podwojenie \\(|AM|\\)) jest szybszy i zmniejsza ryzyko błędu arytmetycznego, bo pracujemy z mniejszymi liczbami (\\(7^2 + 1^2\\) zamiast \\(14^2 + 2^2\\)).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Wyznaczenie punktu B\nZe wzoru na współrzędne środka: \\(M = \\left(\\tfrac{x_A+x_B}{2}, \\tfrac{y_A+y_B}{2}\\right)\\). Stąd \\(x_B = 2\\cdot 4 - (-3) = 11\\), \\(y_B = 2\\cdot 1 - 2 = 0\\), czyli \\(B = (11, 0)\\).\nDługość odcinka:\n\\[|AB| = \\sqrt{(11-(-3))^2 + (0-2)^2} = \\sqrt{196 + 4} = \\sqrt{200} = 10\\sqrt{2}.\\]\n\n### Sposób 2 - Podwojenie odległości AM\n\\[|AM| = \\sqrt{(4-(-3))^2 + (1-2)^2} = \\sqrt{49+1} = \\sqrt{50} = 5\\sqrt{2}.\\]\nPonieważ \\(M\\) jest środkiem, \\(|AB| = 2|AM| = 10\\sqrt{2}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(2\\sqrt{5}\\)** - ktoś pomylił składowe przy obliczaniu długości.\n- **B. \\(4\\sqrt{5}\\)** - błąd rachunkowy (np. \\(\\sqrt{80}\\) zamiast \\(\\sqrt{200}\\)).\n- **C. \\(5\\sqrt{2}\\)** - to długość \\(|AM|\\), nie \\(|AB|\\).\n\n**Trik:** Środek odcinka = średnia arytmetyczna współrzędnych końców.","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 21. (1 pkt)<br>Podstawą graniastosłupa prostego jest prostokąt o bokach długości 3 i 4. Kąt α , jaki przekątna<br>tego graniastosłupa tworzy z jego podstawą, jest równy<br>°<br>45 (zobacz rysunek).<br>Wysokość graniastosłupa jest równa<br>A. 5<br>B.<br>2<br>3<br>C.<br>2<br>5<br>D. 5 3<br>3</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 21. (0-1)<br>II. Wykorzystanie<br>i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Stereometria. Zdający wskazuje i oblicza</li></ol>\n<p>kąty między ścianami wielościanu, między<br>ścianami i odcinkami oraz między odcinkami<br>takimi jak krawędzie, przekątne, wysokości<br>(9.a).<br>Wersja<br>I<br>Wersja<br>II<br>A<br>C</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D - \\(10\\sqrt{2}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Wyznaczenie punktu B ze wzoru na środek odcinka</h4>\n<p><strong>Znamy:</strong> \\(A = (-3, 2)\\), \\(M = (4, 1)\\) - środek \\(AB\\). Szukamy najpierw \\(B\\), potem \\(|AB|\\).</p>\n<p>Ze wzoru na środek odcinka:<br>\\[x_M = \\frac{x_A + x_B}{2} \\qquad y_M = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]</p>\n<p>Wyznaczamy \\(x_B\\):<br>\\[4 = \\frac{-3 + x_B}{2} \\implies 8 = -3 + x_B \\implies x_B = 11\\]</p>\n<p>Wyznaczamy \\(y_B\\):<br>\\[1 = \\frac{2 + y_B}{2} \\implies 2 = 2 + y_B \\implies y_B = 0\\]</p>\n<p>Zatem \\(B = (11, 0)\\).</p>\n<p>Teraz liczymy długość \\(|AB|\\):<br>\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \\sqrt{(11-(-3))^2 + (0-2)^2}\\]<br>\\[= \\sqrt{14^2 + (-2)^2} = \\sqrt{196 + 4} = \\sqrt{200} = \\sqrt{100 \\cdot 2} = \\mathbf{10\\sqrt{2}}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Przez długość \\(|AM|\\) i podwojenie</h4>\n<p>Skoro \\(M\\) jest <strong>środkiem</strong> odcinka \\(AB\\), to:<br>\\[|AB| = 2 \\cdot |AM|\\]</p>\n<p>Liczymy odległość \\(|AM|\\):<br>\\[|AM| = \\sqrt{(4-(-3))^2 + (1-2)^2} = \\sqrt{7^2 + (-1)^2} = \\sqrt{49 + 1} = \\sqrt{50} = 5\\sqrt{2}\\]</p>\n<p>Stąd:<br>\\[|AB| = 2 \\cdot 5\\sqrt{2} = \\mathbf{10\\sqrt{2}}\\]</p>\n<p>Ten sposób jest szybszy - nie trzeba wyznaczać współrzędnych \\(B\\)!</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)</strong></p>\n<p>Długość odcinka o końcach \\(A(x_A, y_A)\\), \\(B(x_B, y_B)\\):<br>\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]</p>\n<p>Środek odcinka \\(AB\\):<br>\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}, \\qquad y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]</p>\n<p>W Sposobie 1 użyliśmy obu wzorów: najpierw wzoru na środek (do wyznaczenia \\(B\\)), potem wzoru na długość. W Sposobie 2 wystarczył tylko wzór na długość (do wyznaczenia \\(|AM|\\)).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A \\((2\\sqrt{5})\\) | Policzono \\(\\|AM\\|\\) ze zamienionymi składnikami: \\(\\sqrt{(1-(-3))^2+(4-2)^2} = \\sqrt{16+4} = 2\\sqrt{5}\\) - błąd zamiany \\(\\Delta x\\) z \\(\\Delta y\\) |<br>| B \\((4\\sqrt{5})\\) | Jak wyżej - popełniono błąd w \\(\\|AM\\|\\) (wynik \\(2\\sqrt{5}\\)), a potem poprawnie podwojono; błąd w liczeniu \\(\\|AM\\|\\), nie w procedurze |<br>| C \\((5\\sqrt{2})\\) | Obliczono \\(\\|AM\\| = \\sqrt{49+1} = 5\\sqrt{2}\\) poprawnie, ale <strong>zapomniano podwoić</strong> - podano długość połowy odcinka zamiast całego |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Najczęstszy błąd to zapomnienie, że środek dzieli odcinek na <strong>dwie równe części</strong>, więc \\(|AB| = 2 \\cdot |AM|\\). Samo obliczenie \\(|AM|\\) (czyli \\(5\\sqrt{2}\\)) to odpowiedź C - klasyczna pułapka!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy wyznaczaniu \\(B\\) ze wzoru na środek - mnożymy obie strony przez 2 przed przeniesieniem \\(x_A\\) na drugą stronę. Łatwo o błąd przy ujemnych współrzędnych: \\(8 = -3 + x_B \\implies x_B = 11\\), nie \\(x_B = 5\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Sposób 2 (podwojenie \\(|AM|\\)) jest szybszy i zmniejsza ryzyko błędu arytmetycznego, bo pracujemy z mniejszymi liczbami (\\(7^2 + 1^2\\) zamiast \\(14^2 + 2^2\\)).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Wyznaczenie punktu B</h5>\n<p>Ze wzoru na współrzędne środka: \\(M = \\left(\\tfrac{x_A+x_B}{2}, \\tfrac{y_A+y_B}{2}\\right)\\). Stąd \\(x_B = 2\\cdot 4 - (-3) = 11\\), \\(y_B = 2\\cdot 1 - 2 = 0\\), czyli \\(B = (11, 0)\\).<br>Długość odcinka:<br>\\[|AB| = \\sqrt{(11-(-3))^2 + (0-2)^2} = \\sqrt{196 + 4} = \\sqrt{200} = 10\\sqrt{2}.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Podwojenie odległości AM</h5>\n<p>\\[|AM| = \\sqrt{(4-(-3))^2 + (1-2)^2} = \\sqrt{49+1} = \\sqrt{50} = 5\\sqrt{2}.\\]<br>Ponieważ \\(M\\) jest środkiem, \\(|AB| = 2|AM| = 10\\sqrt{2}\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(2\\sqrt{5}\\)</strong> - ktoś pomylił składowe przy obliczaniu długości.</li><li><strong>B. \\(4\\sqrt{5}\\)</strong> - błąd rachunkowy (np. \\(\\sqrt{80}\\) zamiast \\(\\sqrt{200}\\)).</li><li><strong>C. \\(5\\sqrt{2}\\)</strong> - to długość \\(|AM|\\), nie \\(|AB|\\).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> Środek odcinka = średnia arytmetyczna współrzędnych końców.</p>"}]}