{"id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (1 pkt)\nNa rysunku przedstawiono bryłę zbudowaną z walca i półkuli. Wysokość walca jest równa r\ni jest taka sama jak promień półkuli oraz taka sama jak promień podstawy walca.\nObjętość tej bryły jest równa\nA.\n3\n5 π\n3 r\nB.\n3\n4 π\n3 r\nC.\n3\n2 π\n3 r\nD.\n3\n1 π\n3 r\nr\nr\nr\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":"A","answer_text":"Zadanie 22. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n9. Stereometria. Zdający wyznacza związki\nmiarowe w wielościanach i bryłach\nobrotowych (9.b).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\n\\[\\sin\\alpha = \\dfrac{\\sqrt{3}}{3}\\]\n\n## Sposób 1 - wektory i iloczyn skalarny\n\nNiech sześcian ma bok długości \\(a = 1\\). Umieszczamy go w układzie współrzędnych:\n\n\\[A = (0,0,0), \\quad B = (1,0,0), \\quad B' = (1,0,1), \\quad C' = (1,1,1)\\]\n\n**Przekątna przestrzenna** sześcianu: od \\(A\\) do \\(C'\\):\n\\[\\vec{u} = \\overrightarrow{AC'} = [1,1,1], \\qquad |\\vec{u}| = \\sqrt{1^2+1^2+1^2} = \\sqrt{3}\\]\n\n**Przekątna ściany bocznej**: na ścianie \\(ABB'A'\\) przekątna od \\(A\\) do \\(B'\\):\n\\[\\vec{v} = \\overrightarrow{AB'} = [1,0,1], \\qquad |\\vec{v}| = \\sqrt{1^2+0^2+1^2} = \\sqrt{2}\\]\n\nKąt \\(\\alpha\\) między tymi wektorami:\n\\[\\cos\\alpha = \\frac{\\vec{u} \\cdot \\vec{v}}{|\\vec{u}||\\vec{v}|} = \\frac{1\\cdot1 + 1\\cdot0 + 1\\cdot1}{\\sqrt{3}\\cdot\\sqrt{2}} = \\frac{2}{\\sqrt{6}} = \\frac{\\sqrt{6}}{3}\\]\n\nStąd:\n\\[\\sin^2\\alpha = 1 - \\cos^2\\alpha = 1 - \\frac{6}{9} = \\frac{3}{9} = \\frac{1}{3}\\]\n\n\\[\\boxed{\\sin\\alpha = \\frac{1}{\\sqrt{3}} = \\frac{\\sqrt{3}}{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - geometryczny (trójkąt prostokątny)\n\nWeźmy trzy punkty: \\(A = (0,0,0)\\), \\(B' = (1,0,1)\\), \\(C' = (1,1,1)\\).\n\nObliczamy boki trójkąta \\(AB'C'\\):\n\\[|AB'| = \\sqrt{2}, \\qquad |B'C'| = \\sqrt{0+1+0} = 1, \\qquad |AC'| = \\sqrt{3}\\]\n\nSprawdzamy, czy twierdzenie Pitagorasa zachodzi:\n\\[|AB'|^2 + |B'C'|^2 = 2 + 1 = 3 = |AC'|^2 \\quad \\checkmark\\]\n\n**Trójkąt \\(AB'C'\\) jest prostokątny - kąt prosty przy \\(B'\\)!**\n\nKąt \\(\\alpha\\) to kąt przy wierzchołku \\(A\\) (między przekątną przestrzenną \\(AC'\\) a przekątną ściany \\(AB'\\)). W trójkącie prostokątnym z prostym kątem przy \\(B'\\):\n\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{przyprostokątna naprzeciw } \\alpha}{\\text{przeciwprostokątna}} = \\frac{|B'C'|}{|AC'|} = \\frac{1}{\\sqrt{3}} = \\frac{\\sqrt{3}}{3}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - przekątna przestrzenna i przekątna ściany prostopadłościanu/sześcianu wynikają z twierdzenia Pitagorasa stosowanego dwukrotnie.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - definicja sinusa w trójkącie:\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{przeciwległa}}{\\text{przeciwprostokątna}}\\]\nużywana w Sposobie 2.\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - iloczyn skalarny do wyznaczenia kąta między wektorami (Sposób 1) oraz długość odcinka:\n\\[|AB| = \\sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2 + (z_B-z_A)^2}\\]\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Wartość | Typowy błąd |\n| A | \\(\\dfrac{\\sqrt{6}}{3}\\) | To jest \\(\\cos\\alpha\\), a nie \\(\\sin\\alpha\\) - uczeń wyznaczył kąt poprawnie, ale wziął zły stosunek |\n| B | \\(\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}\\) | Uczeń mylnie uznaje, że kąt to \\(45°\\), licząc kąt między dwiema przekątnymi ścian w 2D zamiast w 3D |\n| C | \\(\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\) | Odpowiada \\(\\alpha = 60°\\) - uczeń mógł policzyć kąt między przekątną przestrzenną a **krawędzią** sześcianu (\\(\\cos = \\frac{1}{\\sqrt{3}}\\), \\(\\sin = \\sqrt{\\frac{2}{3}} \\approx 0{,}816\\)) lub pomieszać działania |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wynik \\(\\frac{\\sqrt{6}}{3}\\) pojawia się w obliczeniach jako \\(\\cos\\alpha\\) - jeśli go widzisz, sprawdź, czy nie pomyliłeś sinusa z cosinusem.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przekątna **ściany** sześcianu to \\(a\\sqrt{2}\\), a przekątna **przestrzenna** to \\(a\\sqrt{3}\\). Mylenie tych dwóch to najczęstszy błąd w zadaniach o sześcianie - wypisz je na początku!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 2 kluczowe jest rozpoznanie, że trójkąt \\(AB'C'\\) jest **prostokątny przy \\(B'\\)**. Warto to zawsze sprawdzić wzorem Pitagorasa przed użyciem definicji sinusa.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Trójkąt prostokątny w sześcianie\nNiech krawędź sześcianu = \\(a\\). Przekątna ściany bocznej = \\(a\\sqrt{2}\\), przekątna sześcianu = \\(a\\sqrt{3}\\). W trójkącie prostokątnym utworzonym przez przekątną sześcianu, przekątną ściany bocznej i krawędzią (która jest prostopadła do ściany i ma długość \\(a\\)):\n- przeciwprostokątna = \\(a\\sqrt{3}\\) (przekątna sześcianu)\n- przyprostokątna naprzeciw kąta \\(\\alpha\\) = \\(a\\) (krawędź)\n\\[\\sin\\alpha = \\tfrac{a}{a\\sqrt{3}} = \\tfrac{1}{\\sqrt{3}} = \\tfrac{\\sqrt{3}}{3}.\\]\n\n### Sposób 2 - Przez cosinus i dopełnienie\n\\(\\cos\\alpha = \\tfrac{a\\sqrt{2}}{a\\sqrt{3}} = \\tfrac{\\sqrt{2}}{\\sqrt{3}} = \\tfrac{\\sqrt{6}}{3}\\). Wtedy:\n\\[\\sin\\alpha = \\sqrt{1 - \\tfrac{6}{9}} = \\sqrt{\\tfrac{3}{9}} = \\tfrac{\\sqrt{3}}{3}.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\tfrac{\\sqrt{6}}{3}\\)** - to \\(\\cos\\alpha\\), nie \\(\\sin\\alpha\\).\n- **B. \\(\\tfrac{\\sqrt{2}}{2}\\)** - \\(\\sin 45^{\\circ}\\); ale \\(\\alpha \\neq 45^{\\circ}\\).\n- **C. \\(\\tfrac{\\sqrt{3}}{2}\\)** - \\(\\sin 60^{\\circ}\\); niewłaściwe dopasowanie.\n\n**Trik:** Zidentyfikuj trójkąt prostokątny: przekątna sześcianu, przekątna ściany, krawędź.","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 22. (1 pkt)
Na rysunku przedstawiono bryłę zbudowaną z walca i półkuli. Wysokość walca jest równa r
i jest taka sama jak promień półkuli oraz taka sama jak promień podstawy walca.
Objętość tej bryły jest równa
A.
3
5 π
3 r
B.
3
4 π
3 r
C.
3
2 π
3 r
D.
3
1 π
3 r
r
r
r

\n

Poziom podstawowy
MMA_1P
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

\n

Poziom podstawowy
MMA_1P

","answer_text_html":"

Zadanie 22. (0-1)
II. Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Stereometria. Zdający wyznacza związki
\n

miarowe w wielościanach i bryłach
obrotowych (9.b).
Wersja
I
Wersja
II
A
C

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: D

\n

\\[\\sin\\alpha = \\dfrac{\\sqrt{3}}{3}\\]

\n

Sposób 1 - wektory i iloczyn skalarny

\n

Niech sześcian ma bok długości \\(a = 1\\). Umieszczamy go w układzie współrzędnych:

\n

\\[A = (0,0,0), \\quad B = (1,0,0), \\quad B' = (1,0,1), \\quad C' = (1,1,1)\\]

\n

Przekątna przestrzenna sześcianu: od \\(A\\) do \\(C'\\):
\\[\\vec{u} = \\overrightarrow{AC'} = [1,1,1], \\qquad |\\vec{u}| = \\sqrt{1^2+1^2+1^2} = \\sqrt{3}\\]

\n

Przekątna ściany bocznej: na ścianie \\(ABB'A'\\) przekątna od \\(A\\) do \\(B'\\):
\\[\\vec{v} = \\overrightarrow{AB'} = [1,0,1], \\qquad |\\vec{v}| = \\sqrt{1^2+0^2+1^2} = \\sqrt{2}\\]

\n

Kąt \\(\\alpha\\) między tymi wektorami:
\\[\\cos\\alpha = \\frac{\\vec{u} \\cdot \\vec{v}}{|\\vec{u}||\\vec{v}|} = \\frac{1\\cdot1 + 1\\cdot0 + 1\\cdot1}{\\sqrt{3}\\cdot\\sqrt{2}} = \\frac{2}{\\sqrt{6}} = \\frac{\\sqrt{6}}{3}\\]

\n

Stąd:
\\[\\sin^2\\alpha = 1 - \\cos^2\\alpha = 1 - \\frac{6}{9} = \\frac{3}{9} = \\frac{1}{3}\\]

\n

\\[\\boxed{\\sin\\alpha = \\frac{1}{\\sqrt{3}} = \\frac{\\sqrt{3}}{3}}\\]

\n

Sposób 2 - geometryczny (trójkąt prostokątny)

\n

Weźmy trzy punkty: \\(A = (0,0,0)\\), \\(B' = (1,0,1)\\), \\(C' = (1,1,1)\\).

\n

Obliczamy boki trójkąta \\(AB'C'\\):
\\[|AB'| = \\sqrt{2}, \\qquad |B'C'| = \\sqrt{0+1+0} = 1, \\qquad |AC'| = \\sqrt{3}\\]

\n

Sprawdzamy, czy twierdzenie Pitagorasa zachodzi:
\\[|AB'|^2 + |B'C'|^2 = 2 + 1 = 3 = |AC'|^2 \\quad \\checkmark\\]

\n

Trójkąt \\(AB'C'\\) jest prostokątny - kąt prosty przy \\(B'\\)!

\n

Kąt \\(\\alpha\\) to kąt przy wierzchołku \\(A\\) (między przekątną przestrzenną \\(AC'\\) a przekątną ściany \\(AB'\\)). W trójkącie prostokątnym z prostym kątem przy \\(B'\\):

\n

\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{przyprostokątna naprzeciw } \\alpha}{\\text{przeciwprostokątna}} = \\frac{|B'C'|}{|AC'|} = \\frac{1}{\\sqrt{3}} = \\frac{\\sqrt{3}}{3}\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 12 (Stereometria, s. 26-28) - przekątna przestrzenna i przekątna ściany prostopadłościanu/sześcianu wynikają z twierdzenia Pitagorasa stosowanego dwukrotnie.

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14) - definicja sinusa w trójkącie:
\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{przeciwległa}}{\\text{przeciwprostokątna}}\\]
używana w Sposobie 2.

\n

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25) - iloczyn skalarny do wyznaczenia kąta między wektorami (Sposób 1) oraz długość odcinka:
\\[|AB| = \\sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2 + (z_B-z_A)^2}\\]

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Wartość | Typowy błąd |
| A | \\(\\dfrac{\\sqrt{6}}{3}\\) | To jest \\(\\cos\\alpha\\), a nie \\(\\sin\\alpha\\) - uczeń wyznaczył kąt poprawnie, ale wziął zły stosunek |
| B | \\(\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}\\) | Uczeń mylnie uznaje, że kąt to \\(45°\\), licząc kąt między dwiema przekątnymi ścian w 2D zamiast w 3D |
| C | \\(\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\) | Odpowiada \\(\\alpha = 60°\\) - uczeń mógł policzyć kąt między przekątną przestrzenną a krawędzią sześcianu (\\(\\cos = \\frac{1}{\\sqrt{3}}\\), \\(\\sin = \\sqrt{\\frac{2}{3}} \\approx 0{,}816\\)) lub pomieszać działania |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Wynik \\(\\frac{\\sqrt{6}}{3}\\) pojawia się w obliczeniach jako \\(\\cos\\alpha\\) - jeśli go widzisz, sprawdź, czy nie pomyliłeś sinusa z cosinusem.
\n
⚠️ Uwaga: Przekątna ściany sześcianu to \\(a\\sqrt{2}\\), a przekątna przestrzenna to \\(a\\sqrt{3}\\). Mylenie tych dwóch to najczęstszy błąd w zadaniach o sześcianie - wypisz je na początku!
\n
⚠️ Uwaga: W Sposobie 2 kluczowe jest rozpoznanie, że trójkąt \\(AB'C'\\) jest prostokątny przy \\(B'\\). Warto to zawsze sprawdzić wzorem Pitagorasa przed użyciem definicji sinusa.
\n

Poprawna odpowiedź: D

\n
Sposób 1 - Trójkąt prostokątny w sześcianie
\n

Niech krawędź sześcianu = \\(a\\). Przekątna ściany bocznej = \\(a\\sqrt{2}\\), przekątna sześcianu = \\(a\\sqrt{3}\\). W trójkącie prostokątnym utworzonym przez przekątną sześcianu, przekątną ściany bocznej i krawędzią (która jest prostopadła do ściany i ma długość \\(a\\)):

\n\n

\\[\\sin\\alpha = \\tfrac{a}{a\\sqrt{3}} = \\tfrac{1}{\\sqrt{3}} = \\tfrac{\\sqrt{3}}{3}.\\]

\n
Sposób 2 - Przez cosinus i dopełnienie
\n

\\(\\cos\\alpha = \\tfrac{a\\sqrt{2}}{a\\sqrt{3}} = \\tfrac{\\sqrt{2}}{\\sqrt{3}} = \\tfrac{\\sqrt{6}}{3}\\). Wtedy:
\\[\\sin\\alpha = \\sqrt{1 - \\tfrac{6}{9}} = \\sqrt{\\tfrac{3}{9}} = \\tfrac{\\sqrt{3}}{3}.\\]

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: Zidentyfikuj trójkąt prostokątny: przekątna sześcianu, przekątna ściany, krawędź.

"}]}