{"id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (1 pkt)\nW zestawie\nliczb\nliczb\n2, 2, 2,\n, 2,4, 4, 4,\n, 4\nm\nm\n jest 2m liczb (\n1)\nm ≥\n, w tym m liczb 2 i m liczb 4.\nOdchylenie standardowe tego zestawu liczb jest równe\nA. 2\nB. 1\nC.\n1\n2\nD.\n2","answer":"B","answer_text":"Zadanie 23. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n10. Elementy statystyki opisowej. Teoria\nprawdopodobieństwa i kombinatoryka.\nZdający oblicza średnią arytmetyczną, średnią\nważoną, medianę i odchylenie standardowe\ndanych; interpretuje te parametry dla danych\nempirycznych (10.a).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(100\\pi\\)\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie wymiarów walca z przekroju osiowego\n\n**Przekrój osiowy walca** to prostokąt, którego:\n- szerokość = **średnica podstawy** = \\(2r\\)\n- wysokość = **wysokość walca** = \\(h\\)\n\nSkoro przekrój jest **kwadratem**, to:\n\\[2r = h\\]\n\n**Wyznaczamy bok kwadratu z przekątnej:**\n\nPrzekątna kwadratu o boku \\(a\\) wynosi \\(a\\sqrt{2}\\), więc:\n\\[a\\sqrt{2} = 10\\sqrt{2}\\]\n\\[a = 10\\]\n\n**Odczytujemy wymiary walca:**\n\\[2r = 10 \\implies r = 5\\]\n\\[h = 10\\]\n\n**Obliczamy pole powierzchni bocznej walca:**\n\\[P_b = 2\\pi r h = 2\\pi \\cdot 5 \\cdot 10 = \\mathbf{100\\pi}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez przekątną bezpośrednio\n\nSkoro kwadrat ma bok \\(a = 10\\), to \\(r = \\frac{a}{2} = 5\\) i \\(h = a = 10\\).\n\nMożemy też zapisać \\(r\\) wprost przez przekątną \\(d = 10\\sqrt{2}\\):\n\\[a = \\frac{d}{\\sqrt{2}} = \\frac{10\\sqrt{2}}{\\sqrt{2}} = 10\\]\n\nDalej identycznie: \\(P_b = 2\\pi \\cdot 5 \\cdot 10 = 100\\pi\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - pole powierzchni bocznej walca:\n\\[P_b = 2\\pi r h\\]\nUżyliśmy tego wzoru po wyznaczeniu \\(r\\) i \\(h\\) z warunków zadania.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-21)** - przekątna kwadratu o boku \\(a\\):\n\\[d = a\\sqrt{2}\\]\n(szczególny przypadek twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego równoramiennego)\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A - \\(50\\pi\\) | Wzięto \\(P_b = \\pi r h\\) zamiast \\(2\\pi r h\\) (zapomniano o czynniku 2) |\n| C - \\(200\\pi\\) | Wzięto \\(r = 10\\) (utożsamiono bok kwadratu ze średnicą, a nie promieniem) |\n| D - \\(250\\pi\\) | Policzono pole powierzchni **całkowitej** \\(P_c = 2\\pi r(r+h)\\) zamiast bocznej |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Bok kwadratu to **średnica** \\(2r\\), nie promień! Stąd \\(r = \\frac{a}{2} = 5\\). Pomylenie promienia ze średnicą to najczęstszy błąd w tym zadaniu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przekrój osiowy to prostokąt - nie mylić z **przekrojem równoległym do podstawy** (który jest kołem). Osiowy = przez oś walca.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Z przekątnej \\(d = 10\\sqrt{2}\\) wynika bok \\(a = 10\\), **nie** \\(a = 10\\sqrt{2}\\). Nie pomijaj dzielenia przez \\(\\sqrt{2}\\)!\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Wymiary walca\nPrzekrój osiowy walca jest prostokątem o bokach \\(2r\\) (średnica) i \\(H\\) (wysokość). Ponieważ jest kwadratem: \\(2r = H\\). Przekątna kwadratu = \\(\\text{bok}\\cdot\\sqrt{2}\\), więc:\n\\[2r\\cdot\\sqrt{2} = 10\\sqrt{2} \\;\\Longrightarrow\\; 2r = 10 \\;\\Longrightarrow\\; r = 5,\\ H = 10.\\]\nPole powierzchni bocznej walca (karta wzorów, Dział 11):\n\\[P_b = 2\\pi r H = 2\\pi\\cdot 5\\cdot 10 = 100\\pi.\\]\n\n### Sposób 2 - Pole rozwinięcia\nPowierzchnia boczna walca po rozwinięciu to prostokąt o bokach \\(2\\pi r\\) i \\(H\\). Ponieważ \\(2r = H = 10\\):\n\\[P_b = 2\\pi\\cdot 5\\cdot 10 = 100\\pi.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(50\\pi\\)** - brak podwojenia promienia (\\(\\pi r H\\) zamiast \\(2\\pi r H\\)).\n- **C. \\(200\\pi\\)** - \\(r = 10\\) zamiast 5 (pomylono bok z przekątną).\n- **D. \\(250\\pi\\)** - niewłaściwe wymiary.\n\n**Trik:** Przekątna kwadratu = bok × \\(\\sqrt{2}\\), więc bok = \\(\\tfrac{\\text{przek.}}{\\sqrt{2}}\\).","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 23. (1 pkt)
W zestawie
liczb
liczb
2, 2, 2,
, 2,4, 4, 4,
, 4
m
m
 jest 2m liczb (
1)
m ≥
, w tym m liczb 2 i m liczb 4.
Odchylenie standardowe tego zestawu liczb jest równe
A. 2
B. 1
C.
1
2
D.
2

","answer_text_html":"

Zadanie 23. (0-1)
II. Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Elementy statystyki opisowej. Teoria
\n

prawdopodobieństwa i kombinatoryka.
Zdający oblicza średnią arytmetyczną, średnią
ważoną, medianę i odchylenie standardowe
danych; interpretuje te parametry dla danych
empirycznych (10.a).
Wersja
I
Wersja
II
B
D

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: B - \\(100\\pi\\)

\n

Sposób 1 - Wyznaczenie wymiarów walca z przekroju osiowego

\n

Przekrój osiowy walca to prostokąt, którego:

\n\n

Skoro przekrój jest kwadratem, to:
\\[2r = h\\]

\n

Wyznaczamy bok kwadratu z przekątnej:

\n

Przekątna kwadratu o boku \\(a\\) wynosi \\(a\\sqrt{2}\\), więc:
\\[a\\sqrt{2} = 10\\sqrt{2}\\]
\\[a = 10\\]

\n

Odczytujemy wymiary walca:
\\[2r = 10 \\implies r = 5\\]
\\[h = 10\\]

\n

Obliczamy pole powierzchni bocznej walca:
\\[P_b = 2\\pi r h = 2\\pi \\cdot 5 \\cdot 10 = \\mathbf{100\\pi}\\]

\n

Sposób 2 - Przez przekątną bezpośrednio

\n

Skoro kwadrat ma bok \\(a = 10\\), to \\(r = \\frac{a}{2} = 5\\) i \\(h = a = 10\\).

\n

Możemy też zapisać \\(r\\) wprost przez przekątną \\(d = 10\\sqrt{2}\\):
\\[a = \\frac{d}{\\sqrt{2}} = \\frac{10\\sqrt{2}}{\\sqrt{2}} = 10\\]

\n

Dalej identycznie: \\(P_b = 2\\pi \\cdot 5 \\cdot 10 = 100\\pi\\). ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 12 (Stereometria, s. 26-28) - pole powierzchni bocznej walca:
\\[P_b = 2\\pi r h\\]
Użyliśmy tego wzoru po wyznaczeniu \\(r\\) i \\(h\\) z warunków zadania.

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 15-21) - przekątna kwadratu o boku \\(a\\):
\\[d = a\\sqrt{2}\\]
(szczególny przypadek twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego równoramiennego)

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A - \\(50\\pi\\) | Wzięto \\(P_b = \\pi r h\\) zamiast \\(2\\pi r h\\) (zapomniano o czynniku 2) |
| C - \\(200\\pi\\) | Wzięto \\(r = 10\\) (utożsamiono bok kwadratu ze średnicą, a nie promieniem) |
| D - \\(250\\pi\\) | Policzono pole powierzchni całkowitej \\(P_c = 2\\pi r(r+h)\\) zamiast bocznej |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Bok kwadratu to średnica \\(2r\\), nie promień! Stąd \\(r = \\frac{a}{2} = 5\\). Pomylenie promienia ze średnicą to najczęstszy błąd w tym zadaniu.
\n
⚠️ Uwaga: Przekrój osiowy to prostokąt - nie mylić z przekrojem równoległym do podstawy (który jest kołem). Osiowy = przez oś walca.
\n
⚠️ Uwaga: Z przekątnej \\(d = 10\\sqrt{2}\\) wynika bok \\(a = 10\\), nie \\(a = 10\\sqrt{2}\\). Nie pomijaj dzielenia przez \\(\\sqrt{2}\\)!
\n

Poprawna odpowiedź: B

\n
Sposób 1 - Wymiary walca
\n

Przekrój osiowy walca jest prostokątem o bokach \\(2r\\) (średnica) i \\(H\\) (wysokość). Ponieważ jest kwadratem: \\(2r = H\\). Przekątna kwadratu = \\(\\text{bok}\\cdot\\sqrt{2}\\), więc:
\\[2r\\cdot\\sqrt{2} = 10\\sqrt{2} \\;\\Longrightarrow\\; 2r = 10 \\;\\Longrightarrow\\; r = 5,\\ H = 10.\\]
Pole powierzchni bocznej walca (karta wzorów, Dział 11):
\\[P_b = 2\\pi r H = 2\\pi\\cdot 5\\cdot 10 = 100\\pi.\\]

\n
Sposób 2 - Pole rozwinięcia
\n

Powierzchnia boczna walca po rozwinięciu to prostokąt o bokach \\(2\\pi r\\) i \\(H\\). Ponieważ \\(2r = H = 10\\):
\\[P_b = 2\\pi\\cdot 5\\cdot 10 = 100\\pi.\\]

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: Przekątna kwadratu = bok × \\(\\sqrt{2}\\), więc bok = \\(\\tfrac{\\text{przek.}}{\\sqrt{2}}\\).

"}]}