{"id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa","number":"24","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (1 pkt)\nIle jest wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych mniejszych niż 2018 i podzielnych\nprzez 5?\nA. 402\nB. 403\nC. 203\nD. 204","answer":"D","answer_text":"Zadanie 24. (0-1)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n10. Elementy statystyki opisowej. Teoria\nprawdopodobieństwa i kombinatoryka.\nZdający zlicza obiekty w prostych sytuacjach\nkombinatorycznych, niewymagających użycia\nwzorów kombinatorycznych; stosuje zasadę\nmnożenia (10.b).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - mediana wynosi **4**\n\n## Sposób 1 - Wypisanie danych i znalezienie środkowego wyrazu\n\n**Krok 1: Ile ocen łącznie?**\n\nSumujemy liczby ocen:\n\\[2 + 3 + 5 + 5 + 1 = 16\\]\n\nMamy łącznie \\(16\\) ocen.\n\n**Krok 2: Który wyraz jest medianą?**\n\nDla parzystej liczby danych mediana to **średnia arytmetyczna 8. i 9. wyrazu** (po uszeregowaniu).\n\n**Krok 3: Uszereguj dane rosnąco i policz pozycje**\n\n| Pozycja | Ocena |\n| 1-1 | 2 (jest 1 taka ocena) |\n| 2-6 | 3 (jest 5 takich ocen) |\n| 7-11 | 4 (jest 5 takich ocen) |\n| 12-14 | 5 (są 3 takie oceny) |\n| 15-16 | 6 (są 2 takie oceny) |\n\n**Krok 4: Odczytaj 8. i 9. wyraz**\n\n- 8. wyraz: ocena **4** (bo pozycje 7-11 to czwórki)\n- 9. wyraz: ocena **4** (j.w.)\n\n**Krok 5: Oblicz medianę**\n\\[\\text{mediana} = \\frac{4 + 4}{2} = \\mathbf{4}\\]\n\n## Sposób 2 - Zliczanie \"od lewej\" bez wypisywania tabeli\n\nSzukamy, gdzie kumulatywna liczba ocen przekracza \\(\\frac{16}{2} = 8\\).\n\n| Ocena | Liczba | Skumulowana liczba |\n| 2 | 1 | 1 |\n| 3 | 5 | 6 |\n| **4** | **5** | **11** |\n| 5 | 3 | 14 |\n| 6 | 2 | 16 |\n\nPo ocenach \\(2\\) i \\(3\\) mamy łącznie **6** wyrazów - to za mało (potrzebujemy 8. i 9.).\nCzwórki zajmują pozycje od 7. do 11. - zarówno 8. jak i 9. wyraz to **4**.\n\n\\[\\text{mediana} = \\frac{4 + 4}{2} = \\mathbf{4}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32):**\n\n> **Mediana:** środkowy wyraz ciągu uporządkowanego (gdy \\(n\\) nieparzyste) lub średnia arytmetyczna dwóch środkowych wyrazów (gdy \\(n\\) parzyste):\n> \\[\\text{mediana} = \\frac{a_{\\frac{n}{2}} + a_{\\frac{n}{2}+1}}{2}\\]\n\nTutaj \\(n = 16\\) (parzyste), więc liczymy średnią 8. i 9. wyrazu.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A - \\(3\\) | Uczeń liczy medianę jako ocenę najczęściej powtarzającą się wśród niższych, albo myli medianę z modą na dolnym przedziale danych |\n| B - \\(3{,}5\\) | Uczeń bierze średnią z oceny 3 i 4, zakładając błędnie, że środkowe wyrazy to \"3 i 4\" (nie zlicza pozycji dokładnie) |\n| D - \\(4{,}5\\) | Uczeń bierze średnią z 4 i 5, np. przyjmuje, że 8. wyraz to 4, a 9. to 5 (błąd w liczeniu skumulowanych pozycji) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dane w tabeli NIE są jeszcze uszeregowane jako lista - najpierw trzeba odczytać, ile razy każda wartość się pojawia, i zliczać pozycje od najmniejszej do największej.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy parzystej liczbie danych (\\(n = 16\\)) mediana to **średnia dwóch środkowych wyrazów** (8. i 9.), a nie jeden wyraz. Tutaj oba są równe 4, więc wynik wychodzi \"gładko\" - ale nie zawsze tak jest!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić mediany z **modą** (najczęstszą wartością - tu byłyby 3 i 4 remis) ani ze **średnią arytmetyczną**. To trzy różne parametry statystyczne.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Wypisanie danych i znalezienie środka\nLiczba wszystkich ocen: \\(2+3+5+5+1 = 16\\). Uporządkowane dane (rosnąco):\n\\[2, \\underbrace{3,3,3,3,3}_{5}, \\underbrace{4,4,4,4,4}_{5}, \\underbrace{5,5,5}_{3}, \\underbrace{6,6}_{2}\\]\nDla 16 elementów mediana = średnia z elementów 8. i 9. Element 8: licząc 1+5 = 6, dalej 7,8,9,10,11 to czwórki → element 8. to 4. Element 9. to również 4. Mediana = \\(\\tfrac{4+4}{2} = 4\\).\n\n### Sposób 2 - Pozycja mediany\nDla parzystej liczby (16) mediana = średnia 8. i 9. elementu. Skumulowana częstość: ocena 2: [1], oceny 3: [2-6], oceny 4: [7-11]. Pozycje 8 i 9 to oceny 4. Mediana = 4.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. 3** - to jedna z najczęstszych ocen, ale nie mediana.\n- **B. 3,5** - wynikałoby, gdyby środkowe oceny były 3 i 4; tu obie są 4.\n- **D. 4,5** - błędne przesunięcie pozycji.\n\n**Trik:** Dla parzystej liczby danych mediana = średnia dwóch środkowych wyrazów.","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 24. (1 pkt)<br>Ile jest wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych mniejszych niż 2018 i podzielnych<br>przez 5?<br>A. 402<br>B. 403<br>C. 203<br>D. 204</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 24. (0-1)<br>III. Modelowanie<br>matematyczne.</p>\n<ol><li>Elementy statystyki opisowej. Teoria</li></ol>\n<p>prawdopodobieństwa i kombinatoryka.<br>Zdający zlicza obiekty w prostych sytuacjach<br>kombinatorycznych, niewymagających użycia<br>wzorów kombinatorycznych; stosuje zasadę<br>mnożenia (10.b).<br>Wersja<br>I<br>Wersja<br>II<br>D<br>B</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C - mediana wynosi <strong>4</strong></h4>\n<h4>Sposób 1 - Wypisanie danych i znalezienie środkowego wyrazu</h4>\n<p><strong>Krok 1: Ile ocen łącznie?</strong></p>\n<p>Sumujemy liczby ocen:<br>\\[2 + 3 + 5 + 5 + 1 = 16\\]</p>\n<p>Mamy łącznie \\(16\\) ocen.</p>\n<p><strong>Krok 2: Który wyraz jest medianą?</strong></p>\n<p>Dla parzystej liczby danych mediana to <strong>średnia arytmetyczna 8. i 9. wyrazu</strong> (po uszeregowaniu).</p>\n<p><strong>Krok 3: Uszereguj dane rosnąco i policz pozycje</strong></p>\n<p>| Pozycja | Ocena |<br>| 1-1 | 2 (jest 1 taka ocena) |<br>| 2-6 | 3 (jest 5 takich ocen) |<br>| 7-11 | 4 (jest 5 takich ocen) |<br>| 12-14 | 5 (są 3 takie oceny) |<br>| 15-16 | 6 (są 2 takie oceny) |</p>\n<p><strong>Krok 4: Odczytaj 8. i 9. wyraz</strong></p>\n<ul><li>8. wyraz: ocena <strong>4</strong> (bo pozycje 7-11 to czwórki)</li><li>9. wyraz: ocena <strong>4</strong> (j.w.)</li></ul>\n<p><strong>Krok 5: Oblicz medianę</strong><br>\\[\\text{mediana} = \\frac{4 + 4}{2} = \\mathbf{4}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Zliczanie &quot;od lewej&quot; bez wypisywania tabeli</h4>\n<p>Szukamy, gdzie kumulatywna liczba ocen przekracza \\(\\frac{16}{2} = 8\\).</p>\n<p>| Ocena | Liczba | Skumulowana liczba |<br>| 2 | 1 | 1 |<br>| 3 | 5 | 6 |<br>| <strong>4</strong> | <strong>5</strong> | <strong>11</strong> |<br>| 5 | 3 | 14 |<br>| 6 | 2 | 16 |</p>\n<p>Po ocenach \\(2\\) i \\(3\\) mamy łącznie <strong>6</strong> wyrazów - to za mało (potrzebujemy 8. i 9.).<br>Czwórki zajmują pozycje od 7. do 11. - zarówno 8. jak i 9. wyraz to <strong>4</strong>.</p>\n<p>\\[\\text{mediana} = \\frac{4 + 4}{2} = \\mathbf{4}\\]</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32):</strong></p>\n<blockquote><strong>Mediana:</strong> środkowy wyraz ciągu uporządkowanego (gdy \\(n\\) nieparzyste) lub średnia arytmetyczna dwóch środkowych wyrazów (gdy \\(n\\) parzyste):<br>\\[\\text{mediana} = \\frac{a_{\\frac{n}{2}} + a_{\\frac{n}{2}+1}}{2}\\]</blockquote>\n<p>Tutaj \\(n = 16\\) (parzyste), więc liczymy średnią 8. i 9. wyrazu.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A - \\(3\\) | Uczeń liczy medianę jako ocenę najczęściej powtarzającą się wśród niższych, albo myli medianę z modą na dolnym przedziale danych |<br>| B - \\(3{,}5\\) | Uczeń bierze średnią z oceny 3 i 4, zakładając błędnie, że środkowe wyrazy to &quot;3 i 4&quot; (nie zlicza pozycji dokładnie) |<br>| D - \\(4{,}5\\) | Uczeń bierze średnią z 4 i 5, np. przyjmuje, że 8. wyraz to 4, a 9. to 5 (błąd w liczeniu skumulowanych pozycji) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Dane w tabeli NIE są jeszcze uszeregowane jako lista - najpierw trzeba odczytać, ile razy każda wartość się pojawia, i zliczać pozycje od najmniejszej do największej.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy parzystej liczbie danych (\\(n = 16\\)) mediana to <strong>średnia dwóch środkowych wyrazów</strong> (8. i 9.), a nie jeden wyraz. Tutaj oba są równe 4, więc wynik wychodzi &quot;gładko&quot; - ale nie zawsze tak jest!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie mylić mediany z <strong>modą</strong> (najczęstszą wartością - tu byłyby 3 i 4 remis) ani ze <strong>średnią arytmetyczną</strong>. To trzy różne parametry statystyczne.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Wypisanie danych i znalezienie środka</h5>\n<p>Liczba wszystkich ocen: \\(2+3+5+5+1 = 16\\). Uporządkowane dane (rosnąco):<br>\\[2, \\underbrace{3,3,3,3,3}<em>{5}, \\underbrace{4,4,4,4,4}</em>{5}, \\underbrace{5,5,5}<em>{3}, \\underbrace{6,6}</em>{2}\\]<br>Dla 16 elementów mediana = średnia z elementów 8. i 9. Element 8: licząc 1+5 = 6, dalej 7,8,9,10,11 to czwórki → element 8. to 4. Element 9. to również 4. Mediana = \\(\\tfrac{4+4}{2} = 4\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Pozycja mediany</h5>\n<p>Dla parzystej liczby (16) mediana = średnia 8. i 9. elementu. Skumulowana częstość: ocena 2: [1], oceny 3: [2-6], oceny 4: [7-11]. Pozycje 8 i 9 to oceny 4. Mediana = 4.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. 3</strong> - to jedna z najczęstszych ocen, ale nie mediana.</li><li><strong>B. 3,5</strong> - wynikałoby, gdyby środkowe oceny były 3 i 4; tu obie są 4.</li><li><strong>D. 4,5</strong> - błędne przesunięcie pozycji.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> Dla parzystej liczby danych mediana = średnia dwóch środkowych wyrazów.</p>"}]}