{"id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa","number":"25","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (1 pkt)\nW pudełku jest 50 kuponów, wśród których jest 15 kuponów przegrywających, a pozostałe\nkupony są wygrywające. Z tego pudełka w sposób losowy wyciągamy jeden kupon.\nPrawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wyciągniemy kupon wygrywający, jest\nrówne\nA. 35\n15\nB.\n50\n1\nC. 50\n15\nD. 50\n35\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":"D","answer_text":"Zadanie 25. (0-1)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n10. Elementy statystyki opisowej. Teoria\nprawdopodobieństwa i kombinatoryka.\nZdający wykorzystuje własności\nprawdopodobieństwa i stosuje twierdzenie\nznane jako klasyczna definicja\nprawdopodobieństwa do obliczania\nprawdopodobieństw zdarzeń (10.d).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nB\nOgólne zasady oceniania zadań otwartych\nUwaga: Akceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne i spełniające warunki\nzadania.","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(\\dfrac{14}{29}\\)\n\n## Sposób 1 - Definicja prawdopodobieństwa klasycznego\n\n**Wyznaczamy liczbę dziewcząt w grupie:**\n\nW grupie jest 29 uczniów, w tym 15 chłopców, więc dziewcząt jest:\n\\[29 - 15 = 14\\]\n\n**Stosujemy wzór na prawdopodobieństwo klasyczne:**\n\nPrzestrzeń zdarzeń elementarnych \\(\\Omega\\) to wszystkie osoby w grupie - jest ich \\(|\\Omega| = 29\\).\n\nZdarzenie \\(A\\) = „wylosowano dziewczynę\" - liczba sprzyjających wyników: \\(|A| = 14\\).\n\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|} = \\frac{14}{29}\\]\n\n**Zatem \\(P(A) = \\dfrac{14}{29}\\).**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez zdarzenie przeciwne\n\nSkoro każda wylosowana osoba jest albo dziewczyną, albo chłopcem:\n\\[P(\\text{dziewczyna}) + P(\\text{chłopiec}) = 1\\]\n\nPrawdopodobieństwo wylosowania chłopca:\n\\[P(\\text{chłopiec}) = \\frac{15}{29}\\]\n\nZatem prawdopodobieństwo wylosowania dziewczyny:\n\\[P(\\text{dziewczyna}) = 1 - \\frac{15}{29} = \\frac{29}{29} - \\frac{15}{29} = \\frac{14}{29}\\]\n\nWynik zgodny ze Sposobem 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\nUżyliśmy tego wzoru w Sposobie 1: \\(|A| = 14\\) (dziewczęta), \\(|\\Omega| = 29\\) (wszyscy uczniowie).\n\nOraz własność zdarzenia przeciwnego:\n\\[P(A') = 1 - P(A)\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2, traktując „chłopiec\" jako zdarzenie przeciwne do „dziewczyna\".\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A: \\(\\dfrac{14}{15}\\) | Uczeń dzieli liczbę dziewcząt (14) przez liczbę chłopców (15) - mylnie porównuje dwie grupy między sobą zamiast do całości |\n| B: \\(\\dfrac{1}{14}\\) | Uczeń bierze odwrotność liczby dziewcząt - kompletne nieporozumienie wzoru |\n| D: \\(\\dfrac{15}{29}\\) | Uczeń liczy prawdopodobieństwo wylosowania **chłopca**, nie dziewczyny - zamienia zdarzenia |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najpierw oblicz liczbę dziewcząt! \\(29 - 15 = 14\\), a nie 15. Zadanie podaje wprost liczbę chłopców, nie dziewcząt - to celowa pułapka.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mianownik to **całkowita** liczba osób w grupie (29), nie liczba dziewcząt ani chłopców. Prawdopodobieństwo zawsze liczymy względem całej przestrzeni zdarzeń.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź D (\\(\\frac{15}{29}\\)) to poprawna odpowiedź na inne pytanie - „ile wynosi prawdopodobieństwo wylosowania chłopca\". Na egzaminie czytaj pytanie do końca!\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Definicja prawdopodobieństwa klasycznego\nLiczba dziewcząt: \\(29 - 15 = 14\\). Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych: 29.\n\\[P(\\text{dziewczyna}) = \\tfrac{\\text{liczba dziewcząt}}{\\text{liczba wszystkich}} = \\tfrac{14}{29}.\\]\n\n### Sposób 2 - Zdarzenie przeciwne\n\\(P(\\text{chłopak}) = \\tfrac{15}{29}\\), więc \\(P(\\text{dziewczyna}) = 1 - \\tfrac{15}{29} = \\tfrac{14}{29}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\tfrac{14}{15}\\)** - to stosunek dziewcząt do chłopców, nie do wszystkich.\n- **B. \\(\\tfrac{1}{14}\\)** - nieprawidłowe użycie liczb.\n- **D. \\(\\tfrac{15}{29}\\)** - prawdopodobieństwo wylosowania chłopca.\n\n**Trik:** \\(P = \\tfrac{\\text{sprzyjające}}{\\text{wszystkie}}\\); zawsze licznik do liczebności całej przestrzeni.","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 25. (1 pkt)<br>W pudełku jest 50 kuponów, wśród których jest 15 kuponów przegrywających, a pozostałe<br>kupony są wygrywające. Z tego pudełka w sposób losowy wyciągamy jeden kupon.<br>Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wyciągniemy kupon wygrywający, jest<br>równe<br>A. 35<br>15<br>B.<br>50<br>1<br>C. 50<br>15<br>D. 50<br>35</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>MMA_1P<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>MMA_1P</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 25. (0-1)<br>III. Modelowanie<br>matematyczne.</p>\n<ol><li>Elementy statystyki opisowej. Teoria</li></ol>\n<p>prawdopodobieństwa i kombinatoryka.<br>Zdający wykorzystuje własności<br>prawdopodobieństwa i stosuje twierdzenie<br>znane jako klasyczna definicja<br>prawdopodobieństwa do obliczania<br>prawdopodobieństw zdarzeń (10.d).<br>Wersja<br>I<br>Wersja<br>II<br>D<br>B<br>Ogólne zasady oceniania zadań otwartych<br>Uwaga: Akceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne i spełniające warunki<br>zadania.</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C - \\(\\dfrac{14}{29}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Definicja prawdopodobieństwa klasycznego</h4>\n<p><strong>Wyznaczamy liczbę dziewcząt w grupie:</strong></p>\n<p>W grupie jest 29 uczniów, w tym 15 chłopców, więc dziewcząt jest:<br>\\[29 - 15 = 14\\]</p>\n<p><strong>Stosujemy wzór na prawdopodobieństwo klasyczne:</strong></p>\n<p>Przestrzeń zdarzeń elementarnych \\(\\Omega\\) to wszystkie osoby w grupie - jest ich \\(|\\Omega| = 29\\).</p>\n<p>Zdarzenie \\(A\\) = „wylosowano dziewczynę&quot; - liczba sprzyjających wyników: \\(|A| = 14\\).</p>\n<p>\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|} = \\frac{14}{29}\\]</p>\n<p><strong>Zatem \\(P(A) = \\dfrac{14}{29}\\).</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez zdarzenie przeciwne</h4>\n<p>Skoro każda wylosowana osoba jest albo dziewczyną, albo chłopcem:<br>\\[P(\\text{dziewczyna}) + P(\\text{chłopiec}) = 1\\]</p>\n<p>Prawdopodobieństwo wylosowania chłopca:<br>\\[P(\\text{chłopiec}) = \\frac{15}{29}\\]</p>\n<p>Zatem prawdopodobieństwo wylosowania dziewczyny:<br>\\[P(\\text{dziewczyna}) = 1 - \\frac{15}{29} = \\frac{29}{29} - \\frac{15}{29} = \\frac{14}{29}\\]</p>\n<p>Wynik zgodny ze Sposobem 1. ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)</strong> - prawdopodobieństwo klasyczne:<br>\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]<br>Użyliśmy tego wzoru w Sposobie 1: \\(|A| = 14\\) (dziewczęta), \\(|\\Omega| = 29\\) (wszyscy uczniowie).</p>\n<p>Oraz własność zdarzenia przeciwnego:<br>\\[P(A&#x27;) = 1 - P(A)\\]<br>Użyliśmy w Sposobie 2, traktując „chłopiec&quot; jako zdarzenie przeciwne do „dziewczyna&quot;.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A: \\(\\dfrac{14}{15}\\) | Uczeń dzieli liczbę dziewcząt (14) przez liczbę chłopców (15) - mylnie porównuje dwie grupy między sobą zamiast do całości |<br>| B: \\(\\dfrac{1}{14}\\) | Uczeń bierze odwrotność liczby dziewcząt - kompletne nieporozumienie wzoru |<br>| D: \\(\\dfrac{15}{29}\\) | Uczeń liczy prawdopodobieństwo wylosowania <strong>chłopca</strong>, nie dziewczyny - zamienia zdarzenia |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Najpierw oblicz liczbę dziewcząt! \\(29 - 15 = 14\\), a nie 15. Zadanie podaje wprost liczbę chłopców, nie dziewcząt - to celowa pułapka.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Mianownik to <strong>całkowita</strong> liczba osób w grupie (29), nie liczba dziewcząt ani chłopców. Prawdopodobieństwo zawsze liczymy względem całej przestrzeni zdarzeń.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Odpowiedź D (\\(\\frac{15}{29}\\)) to poprawna odpowiedź na inne pytanie - „ile wynosi prawdopodobieństwo wylosowania chłopca&quot;. Na egzaminie czytaj pytanie do końca!</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Definicja prawdopodobieństwa klasycznego</h5>\n<p>Liczba dziewcząt: \\(29 - 15 = 14\\). Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych: 29.<br>\\[P(\\text{dziewczyna}) = \\tfrac{\\text{liczba dziewcząt}}{\\text{liczba wszystkich}} = \\tfrac{14}{29}.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Zdarzenie przeciwne</h5>\n<p>\\(P(\\text{chłopak}) = \\tfrac{15}{29}\\), więc \\(P(\\text{dziewczyna}) = 1 - \\tfrac{15}{29} = \\tfrac{14}{29}\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(\\tfrac{14}{15}\\)</strong> - to stosunek dziewcząt do chłopców, nie do wszystkich.</li><li><strong>B. \\(\\tfrac{1}{14}\\)</strong> - nieprawidłowe użycie liczb.</li><li><strong>D. \\(\\tfrac{15}{29}\\)</strong> - prawdopodobieństwo wylosowania chłopca.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> \\(P = \\tfrac{\\text{sprzyjające}}{\\text{wszystkie}}\\); zawsze licznik do liczebności całej przestrzeni.</p>"}]}