{"id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa","number":"26","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (2 pkt)\nRozwiąż nierówność\n5\n3\n2\n2\n>\n-x\nx\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 26. (0-2)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n3. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje równania\ni nierówności kwadratowe; zapisuje rozwiązanie w postaci sumy\nprzedziałów (3.a).\nPrzykładowe rozwiązanie\nRozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów.\nPierwszy etap to wyznaczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego\nDrugi etap to zapisanie zbioru rozwiązań nierówności kwadratowej.\nPierwszy etap rozwiązania może zostać zrealizowany następująco:\n• zapisujemy nierówność w postaci\ni obliczamy pierwiastki trójmianu\nkwadratowego\no obliczamy wyróżnik tego trójmianu:\ni stąd\noraz\nalbo\no stosujemy wzory Viète’a:\noraz\n, stąd\noraz\nDrugi etap rozwiązania: podajemy zbiór rozwiązań nierówności:\nlub\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n• zrealizuje pierwszy etap rozwiązania i na tym zakończy lub błędnie zapisze zbiór\nrozwiązań nierówności, np.\no obliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego\ni\ni na tym zakończy lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności,\no zaznaczy na wykresie miejsca zerowe funkcji\ni na tym\nzakończy lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności\nalbo\n• realizując pierwszy etap popełni błędy, ale otrzyma nierówność, w której po jednej\nstronie występuje pełny trójmian kwadratowy posiadający dwa różne pierwiastki\ni konsekwentnie do popełnionych błędów wyznaczy zbiór rozwiązań nierówności.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy:\n• poda zbiór rozwiązań nierówności:\nlub\n,\nlub\n2\n2\n3\n5\nx\nx\n0\n5\n3\n2\n2\n>\n-x\nx\n2\n2\n3\n5\nx\nx\n(\n)\n49\n5\n2\n4\n9\n⋅\n⋅\nΔ\n1\n3 7\n4\n1\nx\n2\n3 7\n5\n4\n2\nx\n1\n2\n5\n2\nx x\n⋅\n1\n2\n3\n2\nx\nx\n1\n1\nx = -\n2\n5\n2\nx =\n(\n)\n(\n)\n5\n2\n,\n1\n,\n-∞-\n∪\n+ ∞\n(\n)\n(\n)\n5\n2\n,\n1\n,\nx∈-∞-\n∪\n+ ∞\n1\n1\nx = -\n2\n5\n2\nx =\n( )\n2\n2\n3\n5\nf x\nx\nx\n(\n)\n(\n)\n5\n2\n,\n1\n,\n-∞-\n∪\n+ ∞\n(\n)\n(\n)\n5\n2\n,\n1\n,\nx∈-∞-\n∪\n+ ∞\n5\n2\n1\nx\nx\n< -∨\n>\nalbo\n• poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi\nkońcami przedziałów\nUwagi\n1. Jeżeli zdający wyznacza pierwiastki trójmianu kwadratowego w przypadku, gdy obliczony\nwyróżnik Δ jest ujemny, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający podaje pierwiastki bez związku z trójmianem kwadratowym z zadania, to\noznacza, że nie podjął realizacji 1. etapu rozwiązania i w konsekwencji otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie.\n3. Akceptujemy zapisanie odpowiedzi w postaci:\ni\n,\noraz\n, itp.\n4. Jeżeli zdający poprawnie obliczy pierwiastki trójmianu\n,\ni błędnie zapisze\nodpowiedź, np.\n, popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu\njednego z pierwiastków, to otrzymuje 2 punkty.\n5. Jeżeli zdający po poprawnym rozwiązaniu nierówności zapisuje w odpowiedzi, jako zbiór\nrozwiązań, zbiór, zawierający elementy nienależące do zbioru\nlub\nzbiór pusty, to otrzymuje 1 punkt. Zapisanie w miejscu przeznaczonym na odpowiedź\npierwiastków trójmianu kwadratowego nie jest traktowane jak opis zbioru rozwiązań.\nKryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\nJeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności\nw postaci\n,\n, to przyznajemy 2 punkty.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x \\in (-8, 2)\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na pierwiastki (delta)\n\n**Szukamy miejsc zerowych** trójmianu \\(f(x) = x^2 + 6x - 16\\).\n\nWyznaczamy deltę:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-16) = 36 + 64 = 100\\]\n\nPierwiastki:\n\\[x_1 = \\frac{-b - \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{-6 - \\sqrt{100}}{2} = \\frac{-6 - 10}{2} = \\frac{-16}{2} = -8\\]\n\\[x_2 = \\frac{-b + \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{-6 + 10}{2} = \\frac{4}{2} = 2\\]\n\n**Postać iloczynowa:** \\(f(x) = (x+8)(x-2)\\)\n\nTeraz analizujemy znak. Parabola otwarta w górę (\\(a = 1 > 0\\)), więc:\n- dla \\(x < -8\\): \\(f(x) > 0\\)\n- dla \\(x \\in (-8, 2)\\): \\(f(x) < 0\\) ✓\n- dla \\(x > 2\\): \\(f(x) > 0\\)\n\n**Nierówność \\(f(x) < 0\\) zachodzi dla \\(x \\in (-8, 2)\\).**\n\n## Sposób 2 - Rozkład na czynniki (bez delty)\n\nSzukamy dwóch liczb, których **iloczyn** to \\(-16\\), a **suma** to \\(6\\).\n\nPróbujemy: \\(8 \\cdot (-2) = -16\\) oraz \\(8 + (-2) = 6\\) ✓\n\nZatem:\n\\[x^2 + 6x - 16 = (x + 8)(x - 2)\\]\n\nNierówność staje się:\n\\[(x+8)(x-2) < 0\\]\n\nIloczyn dwóch czynników jest ujemny, gdy **mają przeciwne znaki**:\n\n| Czynnik | \\(x < -8\\) | \\(-8 < x < 2\\) | \\(x > 2\\) |\n| \\(x+8\\) | \\(-\\) | \\(+\\) | \\(+\\) |\n| \\(x-2\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) |\n| Iloczyn | \\(+\\) | \\(-\\) ✓ | \\(+\\) |\n\n**Iloczyn ujemny dla \\(x \\in (-8, 2)\\).**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wyróżnik i miejsca zerowe:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\quad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\nUżyliśmy w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(x_1 = -8\\), \\(x_2 = 2\\).\n\nKluczowa własność z karty: parabola \\(f(x) = ax^2 + bx + c\\) z \\(a > 0\\) przyjmuje wartości **ujemne między miejscami zerowymi**.\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nierówność jest **ostra** (\\(<\\)), więc końce przedziału są **wykluczone** - zapisujemy \\((-8, 2)\\), nie \\(\\langle -8, 2 \\rangle\\). Gdyby było \\(\\leq 0\\), dopiero wtedy domykamy nawias.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Parabola otwarta w górę (\\(a > 0\\)) ma wartości ujemne **między** pierwiastkami - łatwo pomylić i wziąć dopełnienie \\((-\\infty, -8) \\cup (2, +\\infty)\\), co jest odpowiedzią dla nierówności \\(> 0\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy rozkładzie na czynniki sprawdź sumę i iloczyn - tu suma wynosi \\(+6\\) (nie \\(-6\\)), więc większa liczba musi być dodatnia: \\(+8\\) i \\(-2\\), nie \\(-8\\) i \\(+2\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(x \\in (-8, 2)\\)**\n\n### Sposób 1 - Wyznaczenie pierwiastków przez deltę (karta wzorów, Dział 4)\nTrójmian \\(x^2 + 6x - 16\\) ma \\(a=1,\\ b=6,\\ c=-16\\):\n\\[\\Delta = 6^2 - 4\\cdot 1\\cdot(-16) = 36 + 64 = 100,\\quad \\sqrt{\\Delta} = 10.\\]\n\\[x_1 = \\tfrac{-6-10}{2} = -8,\\qquad x_2 = \\tfrac{-6+10}{2} = 2.\\]\nPonieważ \\(a > 0\\), parabola jest wypukła w górę. Nierówność \\(< 0\\) spełniona między pierwiastkami:\n\\[x \\in (-8, 2).\\]\n\n### Sposób 2 - Wzory Viète'a\nSzukamy dwóch liczb, których suma = \\(-6\\) i iloczyn = \\(-16\\). To \\(-8\\) i \\(2\\). Zatem \\(x^2 + 6x - 16 = (x+8)(x-2) < 0\\). Iloczyn ujemny, gdy czynniki mają przeciwne znaki: \\(-8 < x < 2\\).\n\n### Uwagi o punktacji (wg schematu CKE)\n- **1 pkt:** poprawne wyznaczenie pierwiastków \\(x_1 = -8,\\ x_2 = 2\\) i na tym zakończenie LUB błędnie zapisany zbiór rozwiązań.\n- **2 pkt:** poprawne podanie zbioru rozwiązań w postaci \\((-8, 2)\\) lub \\(x \\in (-8, 2)\\), lub \\(x > -8 \\wedge x < 2\\), lub graficznie z poprawnie zaznaczonymi końcami.\n- **2 pkt:** nawet w przypadku popełnienia błędu porządku: np. \\(x \\in (2, -8)\\) (uwzględnione w kryteriach CKE).\n\n**Trik:** Dla \\(ax^2+bx+c < 0\\) z \\(a>0\\) zbiór rozwiązań to \\((x_1, x_2)\\) - OTWARTY (znak ostry).","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 26. (2 pkt)
Rozwiąż nierówność
5
3
2
2

\n
\n

-x
x
Odpowiedź:

\n

Poziom podstawowy
MMA_1P

","answer_text_html":"

Zadanie 26. (0-2)
II. Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje równania
\n

i nierówności kwadratowe; zapisuje rozwiązanie w postaci sumy
przedziałów (3.a).
Przykładowe rozwiązanie
Rozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów.
Pierwszy etap to wyznaczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego
Drugi etap to zapisanie zbioru rozwiązań nierówności kwadratowej.
Pierwszy etap rozwiązania może zostać zrealizowany następująco:
• zapisujemy nierówność w postaci
i obliczamy pierwiastki trójmianu
kwadratowego
o obliczamy wyróżnik tego trójmianu:
i stąd
oraz
albo
o stosujemy wzory Viète’a:
oraz
, stąd
oraz
Drugi etap rozwiązania: podajemy zbiór rozwiązań nierówności:
lub
Schemat punktowania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy:
• zrealizuje pierwszy etap rozwiązania i na tym zakończy lub błędnie zapisze zbiór
rozwiązań nierówności, np.
o obliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego
i
i na tym zakończy lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności,
o zaznaczy na wykresie miejsca zerowe funkcji
i na tym
zakończy lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności
albo
• realizując pierwszy etap popełni błędy, ale otrzyma nierówność, w której po jednej
stronie występuje pełny trójmian kwadratowy posiadający dwa różne pierwiastki
i konsekwentnie do popełnionych błędów wyznaczy zbiór rozwiązań nierówności.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy:
• poda zbiór rozwiązań nierówności:
lub
,
lub
2
2
3
5
x
x
0
5
3
2
2

\n
\n

-x
x
2
2
3
5
x
x
(
)
49
5
2
4
9
⋅
⋅
Δ
1
3 7
4
1
x
2
3 7
5
4
2
x
1
2
5
2
x x
⋅
1
2
3
2
x
x
1
1
x = -
2
5
2
x =
(
)
(
)
5
2
,
1
,
-∞-
∪

\n\n

(
)
(
)
5
2
,
1
,
x∈-∞-
∪

\n\n

1
1
x = -
2
5
2
x =
( )
2
2
3
5
f x
x
x
(
)
(
)
5
2
,
1
,
-∞-
∪

\n\n

(
)
(
)
5
2
,
1
,
x∈-∞-
∪

\n\n

5
2
1
x
x
< -∨

\n
\n

albo
• poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi
końcami przedziałów
Uwagi

\n
  1. Jeżeli zdający wyznacza pierwiastki trójmianu kwadratowego w przypadku, gdy obliczony
\n

wyróżnik Δ jest ujemny, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający podaje pierwiastki bez związku z trójmianem kwadratowym z zadania, to
\n

oznacza, że nie podjął realizacji 1. etapu rozwiązania i w konsekwencji otrzymuje
0 punktów za całe rozwiązanie.

\n
  1. Akceptujemy zapisanie odpowiedzi w postaci:
\n

i
,
oraz
, itp.

\n
  1. Jeżeli zdający poprawnie obliczy pierwiastki trójmianu
\n

,
i błędnie zapisze
odpowiedź, np.
, popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu
jednego z pierwiastków, to otrzymuje 2 punkty.

\n
  1. Jeżeli zdający po poprawnym rozwiązaniu nierówności zapisuje w odpowiedzi, jako zbiór
\n

rozwiązań, zbiór, zawierający elementy nienależące do zbioru
lub
zbiór pusty, to otrzymuje 1 punkt. Zapisanie w miejscu przeznaczonym na odpowiedź
pierwiastków trójmianu kwadratowego nie jest traktowane jak opis zbioru rozwiązań.
Kryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki
Jeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności
w postaci
,
, to przyznajemy 2 punkty.

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(x \\in (-8, 2)\\)

\n

Sposób 1 - Wzór na pierwiastki (delta)

\n

Szukamy miejsc zerowych trójmianu \\(f(x) = x^2 + 6x - 16\\).

\n

Wyznaczamy deltę:
\\[\\Delta = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-16) = 36 + 64 = 100\\]

\n

Pierwiastki:
\\[x_1 = \\frac{-b - \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{-6 - \\sqrt{100}}{2} = \\frac{-6 - 10}{2} = \\frac{-16}{2} = -8\\]
\\[x_2 = \\frac{-b + \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{-6 + 10}{2} = \\frac{4}{2} = 2\\]

\n

Postać iloczynowa: \\(f(x) = (x+8)(x-2)\\)

\n

Teraz analizujemy znak. Parabola otwarta w górę (\\(a = 1 > 0\\)), więc:

\n\n

Nierówność \\(f(x) < 0\\) zachodzi dla \\(x \\in (-8, 2)\\).

\n

Sposób 2 - Rozkład na czynniki (bez delty)

\n

Szukamy dwóch liczb, których iloczyn to \\(-16\\), a suma to \\(6\\).

\n

Próbujemy: \\(8 \\cdot (-2) = -16\\) oraz \\(8 + (-2) = 6\\) ✓

\n

Zatem:
\\[x^2 + 6x - 16 = (x + 8)(x - 2)\\]

\n

Nierówność staje się:
\\[(x+8)(x-2) < 0\\]

\n

Iloczyn dwóch czynników jest ujemny, gdy mają przeciwne znaki:

\n

| Czynnik | \\(x < -8\\) | \\(-8 < x < 2\\) | \\(x > 2\\) |
| \\(x+8\\) | \\(-\\) | \\(+\\) | \\(+\\) |
| \\(x-2\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) |
| Iloczyn | \\(+\\) | \\(-\\) ✓ | \\(+\\) |

\n

Iloczyn ujemny dla \\(x \\in (-8, 2)\\).

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - wyróżnik i miejsca zerowe:
\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\quad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]
Użyliśmy w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(x_1 = -8\\), \\(x_2 = 2\\).

\n

Kluczowa własność z karty: parabola \\(f(x) = ax^2 + bx + c\\) z \\(a > 0\\) przyjmuje wartości ujemne między miejscami zerowymi.

\n

Typowe pułapki

\n
⚠️ Uwaga: Nierówność jest ostra (\\(<\\)), więc końce przedziału są wykluczone - zapisujemy \\((-8, 2)\\), nie \\(\\langle -8, 2 \\rangle\\). Gdyby było \\(\\leq 0\\), dopiero wtedy domykamy nawias.
\n
⚠️ Uwaga: Parabola otwarta w górę (\\(a > 0\\)) ma wartości ujemne między pierwiastkami - łatwo pomylić i wziąć dopełnienie \\((-\\infty, -8) \\cup (2, +\\infty)\\), co jest odpowiedzią dla nierówności \\(> 0\\).
\n
⚠️ Uwaga: Przy rozkładzie na czynniki sprawdź sumę i iloczyn - tu suma wynosi \\(+6\\) (nie \\(-6\\)), więc większa liczba musi być dodatnia: \\(+8\\) i \\(-2\\), nie \\(-8\\) i \\(+2\\).
\n

Poprawna odpowiedź: \\(x \\in (-8, 2)\\)

\n
Sposób 1 - Wyznaczenie pierwiastków przez deltę (karta wzorów, Dział 4)
\n

Trójmian \\(x^2 + 6x - 16\\) ma \\(a=1,\\ b=6,\\ c=-16\\):
\\[\\Delta = 6^2 - 4\\cdot 1\\cdot(-16) = 36 + 64 = 100,\\quad \\sqrt{\\Delta} = 10.\\]
\\[x_1 = \\tfrac{-6-10}{2} = -8,\\qquad x_2 = \\tfrac{-6+10}{2} = 2.\\]
Ponieważ \\(a > 0\\), parabola jest wypukła w górę. Nierówność \\(< 0\\) spełniona między pierwiastkami:
\\[x \\in (-8, 2).\\]

\n
Sposób 2 - Wzory Viète'a
\n

Szukamy dwóch liczb, których suma = \\(-6\\) i iloczyn = \\(-16\\). To \\(-8\\) i \\(2\\). Zatem \\(x^2 + 6x - 16 = (x+8)(x-2) < 0\\). Iloczyn ujemny, gdy czynniki mają przeciwne znaki: \\(-8 < x < 2\\).

\n
Uwagi o punktacji (wg schematu CKE)
\n\n

Trik: Dla \\(ax^2+bx+c < 0\\) z \\(a>0\\) zbiór rozwiązań to \\((x_1, x_2)\\) - OTWARTY (znak ostry).

"}]}