{"id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa","number":"27","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (2 pkt)\nRozwiąż równanie\n3\n2\n7\n4\n28\n0\nx\nx\nx\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n26.\n27.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 27. (0-2)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n3. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje równania\nwielomianowe metodą rozkładu na czynniki (3.d).\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nZapisujemy lewą stronę równania w postaci iloczynowej, stosując metodę grupowania\nwyrazów\n(\n)\n(\n)\n2\n7\n4\n7\n0\nx\nx\nx\nlub (\n)\n(\n)\n2\n2\n4\n7\n4\n0\nx x\nx\nStąd (\n)(\n)\n2\n4\n7\n0\nx\nx\n, czyli (\n)(\n)(\n)\n2\n2\n7\n0\nx\nx\nx\nZatem\n2\nx =\nlub\n2\nx = -, lub\n7\nx =\n1\nx < -\n5\n2\nx >\n1\nx < -\n5\n2\nx >\n1\n1\nx = -\n2\n5\n2\nx =\n(\n)\n(\n)\n5\n2\n,1\n,\nx∈-∞\n∪\n+ ∞\n(\n)\n(\n)\n5\n2\n,\n1\n,\n-∞-\n∪\n+ ∞\n(\n)\n(\n)\n5\n2\n,\n1,\n-∞\n∪-\n+ ∞\n(\n)\n(\n)\n5\n2\n,\n1,\n+∞\n∪-\n-∞\nx\nII sposób\nStwierdzamy, że liczba 7 jest pierwiastkiem wielomianu\n3\n2\n7\n4\n28\nx\nx\nx\n. Dzielimy\nwielomian przez dwumian\n7\nx-. Otrzymujemy iloraz\n2\n4\nx -\n. Zapisujemy równanie w\npostaci (\n)(\n)\n2\n7\n4\n0\nx\nx\n. Stąd (\n)(\n)(\n)\n7\n2\n2\n0\nx\nx\nx\n, czyli\n2\nx =\nlub\n2\nx = -, lub\n7\nx =\nUwaga\nZdający może ustalić, że pierwiastkiem wielomianu jest:\n- liczba 2 i zapisać równanie w postaci (\n)(\n)\n2\n2\n5\n14\n0\nx\nx\nx\n;\n- liczba 2\n- i zapisać równanie w postaci (\n)(\n)\n2\n2\n9\n14\n0\nx\nx\nx\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy\n• podzieli wielomian\n3\n2\n7\n4\n28\nx\nx\nx\nprzez dwumian\n7\nx-, otrzyma iloraz\n2\n4\nx -\nalbo\n• podzieli wielomian\n3\n2\n7\n4\n28\nx\nx\nx\nprzez dwumian\n2\nx-, otrzyma iloraz\n2\n5\n14\nx\nx\n,\nalbo\n• podzieli wielomian\n3\n2\n7\n4\n28\nx\nx\nx\nprzez dwumian\n2\nx+\n, otrzyma iloraz\n2\n9\n14\nx\nx\n,\nalbo\n• zapisze lewą stronę równania w postaci iloczynu:\n(\n)(\n)\n2\n4\n7\n0\nx\nx\nlub (\n)(\n)(\n)\n2\n2\n7\n0\nx\nx\nx\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy wyznaczy wszystkie rozwiązania równania:\n2\nx =\n,\n2\nx = -,\n7\nx =\nUwaga\nJeżeli zdający w trakcie doprowadzania lewej strony równania do postaci iloczynu popełni\nwięcej niż jedną usterkę, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x \\in \\{-3, -4, 4\\}\\)\n\nRównanie ma trzy pierwiastki: \\(x = -3\\), \\(x = -4\\), \\(x = 4\\).\n\n## Sposób 1 - Rozkład na czynniki + zerowanie iloczynów\n\nIloczyn dwóch czynników równa się zero wtedy i tylko wtedy, gdy **co najmniej jeden z nich jest zerem**. Rozwiązujemy więc dwa równania osobno.\n\n**Czynnik 1:** \\(x^3 + 27 = 0\\)\n\nRozpoznajemy sumę sześcianów: \\(27 = 3^3\\), więc:\n\n\\[x^3 + 3^3 = (x + 3)(x^2 - 3x + 9) = 0\\]\n\nStąd:\n- \\(x + 3 = 0 \\implies x = -3\\)\n- \\(x^2 - 3x + 9 = 0\\)\n\nSprawdzamy deltę dla \\(x^2 - 3x + 9\\):\n\\[\\Delta = (-3)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot 9 = 9 - 36 = -27 < 0\\]\n\nDelta ujemna - **brak pierwiastków rzeczywistych** z tego czynnika.\n\n**Czynnik 2:** \\(x^2 - 16 = 0\\)\n\nRozpoznajemy różnicę kwadratów: \\(16 = 4^2\\), więc:\n\n\\[x^2 - 4^2 = (x - 4)(x + 4) = 0\\]\n\nStąd:\n- \\(x - 4 = 0 \\implies x = 4\\)\n- \\(x + 4 = 0 \\implies x = -4\\)\n\n**Odpowiedź:** \\(x = -3\\) lub \\(x = -4\\) lub \\(x = 4\\)\n\n## Sposób 2 - Rozwiązanie bez rozkładu na czynniki (wprost z definicji)\n\nMożna też rozwiązać oba składowe równania bez wzorów skróconego mnożenia.\n\n**Czynnik 1:** \\(x^3 + 27 = 0\\)\n\\[x^3 = -27\\]\n\\[x = \\sqrt[3]{-27} = -3\\]\n\n(W zbiorze liczb rzeczywistych sześcian ma dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty - ujemny dla ujemnej liczby.)\n\n**Czynnik 2:** \\(x^2 - 16 = 0\\)\n\\[x^2 = 16\\]\n\\[x = \\pm\\sqrt{16} = \\pm 4\\]\n\n**Weryfikacja** - podstawiamy do oryginalnego równania:\n- \\(x = -3\\): \\(((-3)^3 + 27)((-3)^2 - 16) = (-27+27)(9-16) = 0 \\cdot (-7) = 0\\) ✓\n- \\(x = 4\\): \\((64+27)(16-16) = 91 \\cdot 0 = 0\\) ✓\n- \\(x = -4\\): \\((-64+27)(16-16) = (-37) \\cdot 0 = 0\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)**\n\nSuma sześcianów:\n\\[a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\\]\nUżyliśmy do rozłożenia \\(x^3 + 27 = (x+3)(x^2 - 3x + 9)\\).\n\nRóżnica kwadratów:\n\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]\nUżyliśmy do rozłożenia \\(x^2 - 16 = (x-4)(x+4)\\).\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)**\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac\\]\nUżyliśmy do sprawdzenia, że \\(x^2 - 3x + 9 = 0\\) nie ma rozwiązań rzeczywistych (\\(\\Delta = -27 < 0\\)).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zapominaj o czynniku \\(x^2 - 3x + 9\\)! Po rozłożeniu \\(x^3 + 27\\) dostajemy **dwa** czynniki. Trzeba sprawdzić deltę drugiego - tu \\(\\Delta < 0\\), więc nie daje pierwiastków rzeczywistych.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(x^3 = -27\\) ma **dokładnie jeden** pierwiastek rzeczywisty: \\(x = -3\\). To nie to samo co \\(x^2 = 27\\), gdzie mamy \\(\\pm\\sqrt{27}\\). Funkcja \\(f(x) = x^3\\) jest ściśle rosnąca, więc każda wartość ma tylko jeden pierwiastek.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo przeoczyć \\(x = -4\\). Pamiętaj: \\(x^2 = 16\\) daje **dwa** rozwiązania: \\(x = 4\\) i \\(x = -4\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(x = -3\\) lub \\(x = 4\\), lub \\(x = -4\\)**\n\n### Sposób 1 - Iloczyn równy zero\nIloczyn dwóch czynników = 0, gdy przynajmniej jeden z nich = 0:\n- \\(x^3 + 27 = 0 \\Rightarrow x^3 = -27 \\Rightarrow x = \\sqrt[3]{-27} = -3.\\)\n- \\(x^2 - 16 = 0 \\Rightarrow (x-4)(x+4) = 0 \\Rightarrow x = 4 \\lor x = -4.\\)\n\nZbiór rozwiązań: \\(\\{-4, -3, 4\\}\\).\n\n### Sposób 2 - Wzór na sumę sześcianów\nZ karty wzorów: \\(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\\). Tu:\n\\[x^3 + 27 = (x+3)(x^2 - 3x + 9).\\]\nDrugi czynnik \\(x^2 - 3x + 9\\) ma \\(\\Delta = 9 - 36 < 0\\), brak pierwiastków rzeczywistych. Stąd \\(x^3 + 27 = 0\\) tylko dla \\(x = -3\\). Dalej jak wyżej.\n\n### Uwagi o punktacji (wg schematu CKE)\n- **1 pkt:** zapisanie dwóch równań \\(x^3 + 27 = 0\\) i \\(x^2 - 16 = 0\\), LUB wyznaczenie rozwiązań jednego z równań.\n- **2 pkt:** wyznaczenie wszystkich rozwiązań: \\(x = -3\\) lub \\(x = 4\\), lub \\(x = -4\\). Podanie samej odpowiedzi bez obliczeń również daje 2 pkt.\n\n**Trik:** Iloczyn = 0 ⟺ co najmniej jeden czynnik = 0 (twierdzenie o iloczynie).","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":15,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 27. (2 pkt)
Rozwiąż równanie
3
2
7
4
28
0
x
x
x
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
26.
27.
Maks. liczba pkt
2
2
Uzyskana liczba pkt

\n

Poziom podstawowy
MMA_1P

","answer_text_html":"

Zadanie 27. (0-2)
I. Wykorzystanie
i tworzenie informacji.

\n
  1. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje równania
\n

wielomianowe metodą rozkładu na czynniki (3.d).
Przykładowe rozwiązania
I sposób
Zapisujemy lewą stronę równania w postaci iloczynowej, stosując metodę grupowania
wyrazów
(
)
(
)
2
7
4
7
0
x
x
x
lub (
)
(
)
2
2
4
7
4
0
x x
x
Stąd (
)(
)
2
4
7
0
x
x
, czyli (
)(
)(
)
2
2
7
0
x
x
x
Zatem
2
x =
lub
2
x = -, lub
7
x =
1
x < -
5
2
x >
1
x < -
5
2
x >
1
1
x = -
2
5
2
x =
(
)
(
)
5
2
,1
,
x∈-∞
∪

\n\n

(
)
(
)
5
2
,
1
,
-∞-
∪

\n\n

(
)
(
)
5
2
,
1,
-∞
∪-

\n\n

(
)
(
)
5
2
,
1,
+∞
∪-
-∞
x
II sposób
Stwierdzamy, że liczba 7 jest pierwiastkiem wielomianu
3
2
7
4
28
x
x
x
. Dzielimy
wielomian przez dwumian
7
x-. Otrzymujemy iloraz
2
4
x -
. Zapisujemy równanie w
postaci (
)(
)
2
7
4
0
x
x
. Stąd (
)(
)(
)
7
2
2
0
x
x
x
, czyli
2
x =
lub
2
x = -, lub
7
x =
Uwaga
Zdający może ustalić, że pierwiastkiem wielomianu jest:

\n\n

)(
)
2
2
5
14
0
x
x
x
;

\n\n

)(
)
2
2
9
14
0
x
x
x
Schemat punktowania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy
• podzieli wielomian
3
2
7
4
28
x
x
x
przez dwumian
7
x-, otrzyma iloraz
2
4
x -
albo
• podzieli wielomian
3
2
7
4
28
x
x
x
przez dwumian
2
x-, otrzyma iloraz
2
5
14
x
x
,
albo
• podzieli wielomian
3
2
7
4
28
x
x
x
przez dwumian
2
x+
, otrzyma iloraz
2
9
14
x
x
,
albo
• zapisze lewą stronę równania w postaci iloczynu:
(
)(
)
2
4
7
0
x
x
lub (
)(
)(
)
2
2
7
0
x
x
x
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy wyznaczy wszystkie rozwiązania równania:
2
x =
,
2
x = -,
7
x =
Uwaga
Jeżeli zdający w trakcie doprowadzania lewej strony równania do postaci iloczynu popełni
więcej niż jedną usterkę, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów.

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(x \\in \\{-3, -4, 4\\}\\)

\n

Równanie ma trzy pierwiastki: \\(x = -3\\), \\(x = -4\\), \\(x = 4\\).

\n

Sposób 1 - Rozkład na czynniki + zerowanie iloczynów

\n

Iloczyn dwóch czynników równa się zero wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z nich jest zerem. Rozwiązujemy więc dwa równania osobno.

\n

Czynnik 1: \\(x^3 + 27 = 0\\)

\n

Rozpoznajemy sumę sześcianów: \\(27 = 3^3\\), więc:

\n

\\[x^3 + 3^3 = (x + 3)(x^2 - 3x + 9) = 0\\]

\n

Stąd:

\n\n

Sprawdzamy deltę dla \\(x^2 - 3x + 9\\):
\\[\\Delta = (-3)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot 9 = 9 - 36 = -27 < 0\\]

\n

Delta ujemna - brak pierwiastków rzeczywistych z tego czynnika.

\n

Czynnik 2: \\(x^2 - 16 = 0\\)

\n

Rozpoznajemy różnicę kwadratów: \\(16 = 4^2\\), więc:

\n

\\[x^2 - 4^2 = (x - 4)(x + 4) = 0\\]

\n

Stąd:

\n\n

Odpowiedź: \\(x = -3\\) lub \\(x = -4\\) lub \\(x = 4\\)

\n

Sposób 2 - Rozwiązanie bez rozkładu na czynniki (wprost z definicji)

\n

Można też rozwiązać oba składowe równania bez wzorów skróconego mnożenia.

\n

Czynnik 1: \\(x^3 + 27 = 0\\)
\\[x^3 = -27\\]
\\[x = \\sqrt[3]{-27} = -3\\]

\n

(W zbiorze liczb rzeczywistych sześcian ma dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty - ujemny dla ujemnej liczby.)

\n

Czynnik 2: \\(x^2 - 16 = 0\\)
\\[x^2 = 16\\]
\\[x = \\pm\\sqrt{16} = \\pm 4\\]

\n

Weryfikacja - podstawiamy do oryginalnego równania:

\n\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)

\n

Suma sześcianów:
\\[a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\\]
Użyliśmy do rozłożenia \\(x^3 + 27 = (x+3)(x^2 - 3x + 9)\\).

\n

Różnica kwadratów:
\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]
Użyliśmy do rozłożenia \\(x^2 - 16 = (x-4)(x+4)\\).

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)
\\[\\Delta = b^2 - 4ac\\]
Użyliśmy do sprawdzenia, że \\(x^2 - 3x + 9 = 0\\) nie ma rozwiązań rzeczywistych (\\(\\Delta = -27 < 0\\)).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Nie zapominaj o czynniku \\(x^2 - 3x + 9\\)! Po rozłożeniu \\(x^3 + 27\\) dostajemy dwa czynniki. Trzeba sprawdzić deltę drugiego - tu \\(\\Delta < 0\\), więc nie daje pierwiastków rzeczywistych.
\n
⚠️ Uwaga: \\(x^3 = -27\\) ma dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty: \\(x = -3\\). To nie to samo co \\(x^2 = 27\\), gdzie mamy \\(\\pm\\sqrt{27}\\). Funkcja \\(f(x) = x^3\\) jest ściśle rosnąca, więc każda wartość ma tylko jeden pierwiastek.
\n
⚠️ Uwaga: Łatwo przeoczyć \\(x = -4\\). Pamiętaj: \\(x^2 = 16\\) daje dwa rozwiązania: \\(x = 4\\) i \\(x = -4\\).
\n

Poprawna odpowiedź: \\(x = -3\\) lub \\(x = 4\\), lub \\(x = -4\\)

\n
Sposób 1 - Iloczyn równy zero
\n

Iloczyn dwóch czynników = 0, gdy przynajmniej jeden z nich = 0:

\n\n

Zbiór rozwiązań: \\(\\{-4, -3, 4\\}\\).

\n
Sposób 2 - Wzór na sumę sześcianów
\n

Z karty wzorów: \\(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\\). Tu:
\\[x^3 + 27 = (x+3)(x^2 - 3x + 9).\\]
Drugi czynnik \\(x^2 - 3x + 9\\) ma \\(\\Delta = 9 - 36 < 0\\), brak pierwiastków rzeczywistych. Stąd \\(x^3 + 27 = 0\\) tylko dla \\(x = -3\\). Dalej jak wyżej.

\n
Uwagi o punktacji (wg schematu CKE)
\n\n

Trik: Iloczyn = 0 ⟺ co najmniej jeden czynnik = 0 (twierdzenie o iloczynie).

"}]}