Zadanie 29. (2 pkt)
Okręgi o środkach odpowiednio A i B są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest styczny do obu
ramion danego kąta prostego (zobacz rysunek). Promień okręgu o środku A jest równy 2.
Uzasadnij, że promień okręgu o środku B jest mniejszy od
2
1
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
28.
29.
Maks. liczba pkt
2
2
Uzyskana liczba pkt
B
A
Poziom podstawowy
MMA_1P
Zadanie 29. (0-4)
V. Rozumowanie
i argumentacja.
płaskich, także z zastosowaniem trygonometrii, również w
zadaniach umieszczonych w kontekście praktycznym (7.c).
Przykładowe rozwiązania
I sposób
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.
Wtedy
oraz
. Zatem
Średnica okręgu o środku B i promieniu r jest krótsza od odcinka SE, więc
, czyli
Co kończy dowód.
II sposób
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.
Wtedy
,
oraz
Ponieważ
, więc otrzymujemy
,
2 2
AS =
2
AE =
2 2
2
SE =
2
2
2
2
<
r
1
2 -
<
r
2 2
AS =
2
BS
r
2
AE =
AS
BS
BE
AE
2 2
2
2
r
r
(
)
2
1
2 2
2
r
B
A
S
C
D
2
2
2
E
r
r
B
A
S
C
D
2
2
2
E
r
r
G
F
Stąd mnożąc obie strony tego równania przez
otrzymujemy
,
,
,
Sprawdźmy, czy
Przekształcamy tę nierówność równoważnie.
Ponieważ
, więc
. Oznacza to, że
Schemat punktowania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy:
• obliczy
albo
• zapisze równość
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy przeprowadzi pełny dowód.
Uwagi
w mianowniku występuje liczba niewymierna, np.
, i błędnie szacuje tę liczbę,
np. stosując takie same przybliżenia z niedomiarem
w liczniku i w mianowniku,
to otrzymuje 1 punkt.
styczności okręgów, a drugim wierzchołek kąta prostego, jest równa długości średnicy
mniejszego okręgu i nie wycofa się z tego założenia oraz nie obliczy długości wspomnianego
odcinka, to otrzymuje 0 punktów.
2
1
(
)(
)
(
)(
)
2
1
2
1
2
2
1
2
1
r
(
)
2
2
2
1
r =
(
)
2 2
2 2
1
r =
(
)
2 3
2 2
r =
(
)
2 3
2 2
2
1
<
6
4 2
2
1
<
7
5 2
<
2
1,41
1,4
≈
5 2
7
2
1
r <
2 2
2
SE =
2 2
2
2
r
r
2 2
2
2
1
r
2
Rozwijamy lewą stronę:
\n\\[
(a+b)\\left(\\frac{1}{a} + \\frac{1}{b}\\right) = \\frac{a+b}{a} + \\frac{a+b}{b} = 1 + \\frac{b}{a} + \\frac{a}{b} + 1 = 2 + \\frac{a}{b} + \\frac{b}{a}
\\]
Teraz wystarczy pokazać, że:
\n\\[
\\frac{a}{b} + \\frac{b}{a} \\geq 2
\\]
Stosujemy nierówność między średnią arytmetyczną a geometryczną (AM-GM):
\n\\[
\\frac{a}{b} + \\frac{b}{a} \\geq 2\\sqrt{\\frac{a}{b} \\cdot \\frac{b}{a}} = 2\\sqrt{1} = 2
\\]
(AM-GM mówi: dla liczb nieujemnych $p + q \\geq 2\\sqrt{pq}$, tutaj $p = \\frac{a}{b}$, $q = \\frac{b}{a}$, oba dodatnie bo $a, b > 0$)
\nŁącząc oba kroki:
\n\\[
(a+b)\\left(\\frac{1}{a} + \\frac{1}{b}\\right) = 2 + \\frac{a}{b} + \\frac{b}{a} \\geq 2 + 2 = 4
\\]
Równość zachodzi gdy $\\frac{a}{b} = \\frac{b}{a}$, czyli gdy $a = b$.
\nZamiast stosować AM-GM, cofamy się do czysto algebraicznego argumentu.
\nUpraszczamy wspólny mianownik:
\n\\[
(a+b)\\left(\\frac{1}{a} + \\frac{1}{b}\\right) = (a+b) \\cdot \\frac{a+b}{ab} = \\frac{(a+b)^2}{ab}
\\]
Nierówność do udowodnienia przyjmuje postać:
\n\\[
\\frac{(a+b)^2}{ab} \\geq 4
\\]
Ponieważ $a, b > 0$, mamy $ab > 0$, więc możemy pomnożyć obie strony przez $ab$ (bez zmiany kierunku nierówności):
\n\\[
(a+b)^2 \\geq 4ab
\\]
Rozwijamy lewą stronę:
\n\\[
a^2 + 2ab + b^2 \\geq 4ab
\\]
Przenosimy wszystko na lewą stronę:
\n\\[
a^2 - 2ab + b^2 \\geq 0
\\]
\\[
(a - b)^2 \\geq 0
\\]
Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest zawsze nieujemny - nierówność zachodzi dla wszystkich $a, b \\in \\mathbb{R}$, a w szczególności dla $a, b > 0$.
\nRówność $(a-b)^2 = 0$ zachodzi dokładnie gdy $a = b > 0$. $\\blacksquare$
\nDział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):
\\[(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]
Użyliśmy tego w Sposobie 2, rozkładając wyrażenie $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2 \\geq 0$.
Nierówność AM-GM ($p + q \\geq 2\\sqrt{pq}$) nie widnieje wprost w karcie wzorów CKE, ale jest standardowym faktem, który można wyprowadzić z $({\\sqrt{p}} - \\sqrt{q})^2 \\geq 0$.
\n⚠️ Uwaga: Nie wolno mnożyć przez $ab$ bez zaznaczenia, że $ab > 0$ (bo $a, b > 0$). Gdyby $ab < 0$, kierunek nierówności by się odwrócił.\n
⚠️ Uwaga: Dowód przez przykłady (np. „sprawdziłem dla $a=1, b=2$") nie jest dowodem. Trzeba pokazać, że nierówność zachodzi dla wszystkich $a, b > 0$.\n
⚠️ Uwaga: W Sposobie 1 krok AM-GM wymaga uzasadnienia - sam cytat wzoru to za mało na pełne punkty. Warto dodać, że $\\frac{a}{b} > 0$ i $\\frac{b}{a} > 0$, więc zastosowanie AM-GM jest uprawnione.\n
Poprawna odpowiedź: dowód nierówności \\((a+b)(\\tfrac{1}{a}+\\tfrac{1}{b}) \\geq 4\\) dla \\(a, b > 0\\).
\nRozwijamy iloczyn:
\\[(a+b)\\left(\\tfrac{1}{a}+\\tfrac{1}{b}\\right) = 1 + \\tfrac{a}{b} + \\tfrac{b}{a} + 1 = 2 + \\tfrac{a^2+b^2}{ab}.\\]
Nierówność \\(\\geq 4\\) jest równoważna:
\\[\\tfrac{a^2+b^2}{ab} \\geq 2 \\iff a^2 + b^2 \\geq 2ab \\iff (a-b)^2 \\geq 0.\\]
Ostatnia nierówność jest prawdziwa dla każdej pary liczb rzeczywistych. Ponieważ wszystkie przekształcenia są równoważne (przy \\(a, b > 0\\) nie zmieniają znaku), pierwotna nierówność zachodzi. Równość tylko dla \\(a = b\\). ∎
Dla dodatnich \\(a, b\\) zachodzi średnia arytmetyczna \\(\\geq\\) geometryczna:
\\[a + b \\geq 2\\sqrt{ab}, \\qquad \\tfrac{1}{a} + \\tfrac{1}{b} \\geq 2\\sqrt{\\tfrac{1}{ab}} = \\tfrac{2}{\\sqrt{ab}}.\\]
Mnożąc stronami (obie strony dodatnie):
\\[(a+b)\\left(\\tfrac{1}{a}+\\tfrac{1}{b}\\right) \\geq 2\\sqrt{ab}\\cdot \\tfrac{2}{\\sqrt{ab}} = 4. \\; \\blacksquare\\]
Trik: Klucz: \\(a^2 + b^2 \\geq 2ab\\) wynika z \\((a-b)^2 \\geq 0\\) - ta nierówność jest fundamentem wielu dowodów.
"}]}