{"id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (1 pkt)\nDane są liczby\n12\n3,6 10\na\n⋅\noraz\n20\n2,4 10\nb\n⋅\n. Wtedy iloraz a\nb jest równy\nA.\n32\n8,64 10-\n⋅\nB.\n8\n1,5 10-\n⋅\nC.\n8\n1,5 10\n⋅\nD.\n32\n8,64 10\n⋅","answer":"C","answer_text":"Zadanie 3. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający oblicza potęgi\no wykładnikach wymiernych oraz stosuje\nprawa działań na potęgach o wykładnikach\nwymiernych i rzeczywistych (1.g).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(3 \\cdot 10^{-10}\\)\n\n## Sposób 1 - Dzielenie w notacji naukowej (osobno ułamek, osobno potęga)\n\nDzielimy ułamek z separacją na część liczbową i część potęgową:\n\n\\[\n\\frac{x}{y} = \\frac{4{,}5 \\cdot 10^{-8}}{1{,}5 \\cdot 10^{2}}\n\\]\n\n**Krok 1 - dzielimy części liczbowe:**\n\\[\n\\frac{4{,}5}{1{,}5} = 3\n\\]\n\n**Krok 2 - dzielimy potęgi dziesiątki** (odejmujemy wykładniki):\n\\[\n\\frac{10^{-8}}{10^{2}} = 10^{-8-2} = 10^{-10}\n\\]\n\n**Krok 3 - składamy wynik:**\n\\[\n\\frac{x}{y} = 3 \\cdot 10^{-10}\n\\]\n\n**Wynik: \\(\\boxed{3 \\cdot 10^{-10}}\\)**\n\n## Sposób 2 - Zamiana na dziesiętne i weryfikacja\n\nSprawdzimy, że wynik ma sens, przeliczając przez potęgi.\n\n\\[\nx = 4{,}5 \\cdot 10^{-8} = 0{,}000\\,000\\,045\n\\]\n\\[\ny = 1{,}5 \\cdot 10^{2} = 150\n\\]\n\\[\n\\frac{x}{y} = \\frac{0{,}000\\,000\\,045}{150} = 0{,}000\\,000\\,000\\,3 = 3 \\cdot 10^{-10}\n\\]\n\nZgadza się z odpowiedzią A. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - działania na potęgach:\n\\[\n\\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}\n\\]\nUżyliśmy tego w Kroku 2: \\(\\frac{10^{-8}}{10^{2}} = 10^{-8-2} = 10^{-10}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B | Odejmowanie wykładników: \\(-8 - 2 = -6\\) - **błąd znaku**, bo dodano zamiast odjąć: \\(-8 + 2 = -6\\) zamiast \\(-8 - 2 = -10\\) |\n| C | Zamiast dzielić \\(\\frac{4{,}5}{1{,}5} = 3\\), uczeń dodał: \\(\\frac{4{,}5 + 1{,}5}{2} = 3\\) albo błędnie dzielił \\(4{,}5 \\div 1{,}5\\) i wyszło \\(6{,}75\\), biorąc zamiast tego \\(4{,}5 \\cdot 1{,}5 = 6{,}75\\) |\n| D | Dwa błędy naraz: zły wynik dzielenia (\\(4{,}5 \\cdot 1{,}5 = 6{,}75\\) zamiast \\(\\div\\)) **oraz** zły wykładnik \\(-6\\) zamiast \\(-10\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy dzieleniu potęg **odejmujemy** wykładnik mianownika od wykładnika licznika: \\(\\frac{10^{-8}}{10^{2}} = 10^{-8-2}\\). Nie piszemy \\(-8 + 2 = -6\\)! Odejmujemy \\(+2\\), co daje \\(-10\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dzielenie \\(\\frac{4{,}5}{1{,}5}\\) łatwo pomylić z mnożeniem \\(4{,}5 \\cdot 1{,}5 = 6{,}75\\) - odpowiedzi C i D to właśnie ta pułapka. Sprawdź: \\(1{,}5 \\cdot 3 = 4{,}5\\) ✓\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Notacja naukowa to zawsze iloczyn - dzielimy **osobno** część liczbową i **osobno** potęgę dziesiątki. Nie mieszaj tych dwóch obliczeń!\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Dzielenie potęg o tej samej podstawie\n\\[\\tfrac{x}{y} = \\tfrac{4{,}5\\cdot 10^{-8}}{1{,}5\\cdot 10^{2}} = \\tfrac{4{,}5}{1{,}5}\\cdot 10^{-8-2} = 3\\cdot 10^{-10}.\\]\nKorzystamy ze wzoru \\(\\tfrac{10^m}{10^n} = 10^{m-n}\\).\n\n### Sposób 2 - Osobne obliczenia\nMantysa: \\(\\tfrac{4{,}5}{1{,}5} = 3\\). Wykładnik: \\(-8 - 2 = -10\\). Wynik: \\(3\\cdot 10^{-10}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(3\\cdot 10^{-6}\\)** - błąd znaku wykładnika: \\(-8 + 2 = -6\\) (dodanie zamiast odjęcia).\n- **C. \\(6{,}75\\cdot 10^{-10}\\)** - pomnożenie mantys zamiast dzielenia (\\(4{,}5\\cdot 1{,}5 = 6{,}75\\)).\n- **D. \\(6{,}75\\cdot 10^{-6}\\)** - podwójny błąd: mnożenie mantys i dodawanie wykładników.\n\n**Trik:** Przy dzieleniu w notacji wykładniczej: mantysy dzielimy, wykładniki odejmujemy.","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 3. (1 pkt)
Dane są liczby
12
3,6 10
a
⋅
oraz
20
2,4 10
b
⋅
. Wtedy iloraz a
b jest równy
A.
32
8,64 10-
⋅
B.
8
1,5 10-
⋅
C.
8
1,5 10
⋅
D.
32
8,64 10
⋅

","answer_text_html":"

Zadanie 3. (0-1)
II. Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Liczby rzeczywiste. Zdający oblicza potęgi
\n

o wykładnikach wymiernych oraz stosuje
prawa działań na potęgach o wykładnikach
wymiernych i rzeczywistych (1.g).
Wersja
I
Wersja
II
C
D

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: A - \\(3 \\cdot 10^{-10}\\)

\n

Sposób 1 - Dzielenie w notacji naukowej (osobno ułamek, osobno potęga)

\n

Dzielimy ułamek z separacją na część liczbową i część potęgową:

\n

\\[
\\frac{x}{y} = \\frac{4{,}5 \\cdot 10^{-8}}{1{,}5 \\cdot 10^{2}}
\\]

\n

Krok 1 - dzielimy części liczbowe:
\\[
\\frac{4{,}5}{1{,}5} = 3
\\]

\n

Krok 2 - dzielimy potęgi dziesiątki (odejmujemy wykładniki):
\\[
\\frac{10^{-8}}{10^{2}} = 10^{-8-2} = 10^{-10}
\\]

\n

Krok 3 - składamy wynik:
\\[
\\frac{x}{y} = 3 \\cdot 10^{-10}
\\]

\n

Wynik: \\(\\boxed{3 \\cdot 10^{-10}}\\)

\n

Sposób 2 - Zamiana na dziesiętne i weryfikacja

\n

Sprawdzimy, że wynik ma sens, przeliczając przez potęgi.

\n

\\[
x = 4{,}5 \\cdot 10^{-8} = 0{,}000\\,000\\,045
\\]
\\[
y = 1{,}5 \\cdot 10^{2} = 150
\\]
\\[
\\frac{x}{y} = \\frac{0{,}000\\,000\\,045}{150} = 0{,}000\\,000\\,000\\,3 = 3 \\cdot 10^{-10}
\\]

\n

Zgadza się z odpowiedzią A. ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5) - działania na potęgach:
\\[
\\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}
\\]
Użyliśmy tego w Kroku 2: \\(\\frac{10^{-8}}{10^{2}} = 10^{-8-2} = 10^{-10}\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| B | Odejmowanie wykładników: \\(-8 - 2 = -6\\) - błąd znaku, bo dodano zamiast odjąć: \\(-8 + 2 = -6\\) zamiast \\(-8 - 2 = -10\\) |
| C | Zamiast dzielić \\(\\frac{4{,}5}{1{,}5} = 3\\), uczeń dodał: \\(\\frac{4{,}5 + 1{,}5}{2} = 3\\) albo błędnie dzielił \\(4{,}5 \\div 1{,}5\\) i wyszło \\(6{,}75\\), biorąc zamiast tego \\(4{,}5 \\cdot 1{,}5 = 6{,}75\\) |
| D | Dwa błędy naraz: zły wynik dzielenia (\\(4{,}5 \\cdot 1{,}5 = 6{,}75\\) zamiast \\(\\div\\)) oraz zły wykładnik \\(-6\\) zamiast \\(-10\\) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Przy dzieleniu potęg odejmujemy wykładnik mianownika od wykładnika licznika: \\(\\frac{10^{-8}}{10^{2}} = 10^{-8-2}\\). Nie piszemy \\(-8 + 2 = -6\\)! Odejmujemy \\(+2\\), co daje \\(-10\\).
\n
⚠️ Uwaga: Dzielenie \\(\\frac{4{,}5}{1{,}5}\\) łatwo pomylić z mnożeniem \\(4{,}5 \\cdot 1{,}5 = 6{,}75\\) - odpowiedzi C i D to właśnie ta pułapka. Sprawdź: \\(1{,}5 \\cdot 3 = 4{,}5\\) ✓
\n
⚠️ Uwaga: Notacja naukowa to zawsze iloczyn - dzielimy osobno część liczbową i osobno potęgę dziesiątki. Nie mieszaj tych dwóch obliczeń!
\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1 - Dzielenie potęg o tej samej podstawie
\n

\\[\\tfrac{x}{y} = \\tfrac{4{,}5\\cdot 10^{-8}}{1{,}5\\cdot 10^{2}} = \\tfrac{4{,}5}{1{,}5}\\cdot 10^{-8-2} = 3\\cdot 10^{-10}.\\]
Korzystamy ze wzoru \\(\\tfrac{10^m}{10^n} = 10^{m-n}\\).

\n
Sposób 2 - Osobne obliczenia
\n

Mantysa: \\(\\tfrac{4{,}5}{1{,}5} = 3\\). Wykładnik: \\(-8 - 2 = -10\\). Wynik: \\(3\\cdot 10^{-10}\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: Przy dzieleniu w notacji wykładniczej: mantysy dzielimy, wykładniki odejmujemy.

"}]}