{"id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa","number":"30","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (2 pkt)\nDo wykresu funkcji wykładniczej, określonej dla każdej liczby rzeczywistej x wzorem\n( )\nx\na\nx\nf\n(gdzie\n0\n>\na\ni\n1\na ≠), należy punkt\n(\n)\n9\n,2\nP\n. Oblicz a i zapisz zbiór wartości\nfunkcji g, określonej wzorem ( )\n( )\n2\ng x\nf\nx\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 30. (0-2)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n4. Funkcje. Zdający sporządza wykresy funkcji wykładniczych\ndla różnych podstaw i rozwiązuje zadania umieszczone\nw kontekście praktycznym (4.n). Zdający potrafi na podstawie\nwykresu funkcji y = f(x) naszkicować wykresy funkcji y = f(x + a),\ny = f(x) + a, y = -f(x), y = f(-x) (4.d).\nPrzykładowe rozwiązanie\nPonieważ punkt P leży na wykresie funkcji f, więc możemy zapisać:\n, gdzie\nStąd\nZbiorem wartości funkcji wykładniczej f jest przedział\n. Wykres funkcji g powstaje\nprzez przesunięcie wykresu funkcji f o 2 jednostki w dół. Zatem zbiorem wartości funkcji g\njest przedział\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n• obliczy a:\nalbo\n• zapisze zbiór wartości funkcji g:\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy obliczy a:\ni zapisze zbiór wartości funkcji g:\nUwaga\nOpis zbioru wartości uznaje się za poprawny, jeśli zbiór ten jest przedstawiony graficznie\nw sposób jednoznacznie wskazujący, że liczba\n2\n- nie należy do tego zbioru, lub zbiór ten\njest opisany słownie, lub jakąkolwiek poprawną nierównością.\nKryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\nJeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór wartości funkcji\nw postaci\n, to przyznajemy 2 punkty, o ile obliczy\n3\na = .\n2\n9\na\n0\n>\na\n3\na =\n(\n)\n0, + ∞\n(\n)\n2,\n+ ∞\n3\na =\n(\n)\n2,\n+ ∞\n3\na =\n(\n)\n2,\n+ ∞\n(\n)\n,\n2\n+∞-","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(a_1 = -2\\), różnica \\(r = \\frac{9}{2}\\)\n\n## Sposób 1 - Układ równań z wzorów na wyraz i sumę\n\n**Zapisujemy, co wiemy:**\n\nDany ciąg arytmetyczny \\((a_n)\\) spełnia:\n- \\(a_9 = 34\\)\n- \\(S_8 = 110\\)\n\n**Krok 1 - Pierwsze równanie (z wzoru na wyraz ogólny):**\n\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\n\nDla \\(n = 9\\):\n\\[a_1 + 8r = 34 \\tag{1}\\]\n\n**Krok 2 - Drugie równanie (z wzoru na sumę):**\n\n\\[S_n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n\\]\n\nDla \\(n = 8\\):\n\\[S_8 = \\frac{2a_1 + 7r}{2} \\cdot 8 = 4(2a_1 + 7r) = 110\\]\n\n\\[2a_1 + 7r = \\frac{110}{4} = \\frac{55}{2} \\tag{2}\\]\n\n**Krok 3 - Rozwiązujemy układ:**\n\nZ równania \\((1)\\): \\(a_1 = 34 - 8r\\)\n\nPodstawiamy do \\((2)\\):\n\\[2(34 - 8r) + 7r = \\frac{55}{2}\\]\n\\[68 - 16r + 7r = \\frac{55}{2}\\]\n\\[68 - 9r = \\frac{55}{2}\\]\n\\[9r = 68 - \\frac{55}{2} = \\frac{136 - 55}{2} = \\frac{81}{2}\\]\n\\[r = \\frac{81}{2 \\cdot 9} = \\frac{9}{2}\\]\n\nStąd:\n\\[a_1 = 34 - 8 \\cdot \\frac{9}{2} = 34 - 36 = -2\\]\n\n**Wynik: \\(a_1 = -2\\), \\(r = \\frac{9}{2}\\)**\n\n## Sposób 2 - Wzór na sumę przez \\(a_1\\) i \\(a_8\\), z użyciem \\(a_9\\)\n\n**Inny punkt wyjścia - suma jako średnia pierwszego i ostatniego:**\n\n\\[S_8 = \\frac{a_1 + a_8}{2} \\cdot 8 = 4(a_1 + a_8) = 110\\]\n\\[a_1 + a_8 = \\frac{110}{4} = \\frac{55}{2} \\tag{A}\\]\n\nJednocześnie:\n\\[a_9 = a_8 + r = 34 \\implies a_8 = 34 - r \\tag{B}\\]\n\\[a_8 = a_1 + 7r \\tag{C}\\]\n\nZ \\((A)\\) i \\((C)\\):\n\\[a_1 + (a_1 + 7r) = \\frac{55}{2} \\implies 2a_1 + 7r = \\frac{55}{2}\\]\n\nTo jest dokładnie to samo równanie \\((2)\\) co w Sposobie 1 - dalej postępujemy identycznie i otrzymujemy ten sam wynik.\n\n**Weryfikacja wyników:**\n\\[a_9 = -2 + 8 \\cdot \\frac{9}{2} = -2 + 36 = 34 \\checkmark\\]\n\\[S_8 = 4\\!\\left(2 \\cdot (-2) + 7 \\cdot \\frac{9}{2}\\right) = 4\\!\\left(-4 + \\frac{63}{2}\\right) = 4 \\cdot \\frac{55}{2} = 110 \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - dwa wzory kluczowe dla tego zadania:\n\n**Wzór na wyraz ogólny ciągu arytmetycznego:**\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\nUżyliśmy go, by zapisać warunek \\(a_9 = 34\\) jako równanie z dwiema niewiadomymi.\n\n**Wzór na sumę \\(n\\) początkowych wyrazów:**\n\\[S_n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n\\]\nUżyliśmy go, by zapisać warunek \\(S_8 = 110\\) i uzyskać drugie równanie układu.\n\nAlternatywna postać sumy (Sposób 2) - również na karcie:\n\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\]\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W wzorze \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\) dla \\(n = 9\\) mamy \\(\\mathbf{(9-1) = 8}\\), nie \\(9\\). Częsty błąd to napisanie \\(a_1 + 9r = 34\\), co daje zły wynik.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Suma \\(S_8\\) to suma **ośmiu** wyrazów: \\(a_1, a_2, \\ldots, a_8\\). Ostatni wyraz sumy to \\(a_8\\), nie \\(a_9\\)! Pomylenie tego skutkuje równaniem \\(2a_1 + 8r = \\frac{55}{2}\\), które jest błędne.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Różnica \\(r = \\frac{9}{2} = 4{,}5\\) - ciąg arytmetyczny może mieć różnicę ułamkową. Nie ma wymogu, by \\(r\\) było liczbą całkowitą.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(a_1 = -2\\), \\(r = 4{,}5\\)**\n\n### Sposób 1 - Układ dwóch równań z wzorów CKE\nZ karty wzorów (Dział 3): \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\) oraz \\(S_n = \\tfrac{2a_1 + (n-1)r}{2}\\cdot n\\). Stąd:\n\\[a_9 = a_1 + 8r = 34\\]\n\\[S_8 = \\tfrac{2a_1 + 7r}{2}\\cdot 8 = 4(2a_1 + 7r) = 110.\\]\nUpraszczamy drugie równanie: \\(2a_1 + 7r = \\tfrac{110}{4} = 27{,}5\\), czyli \\(8a_1 + 28r = 110\\).\nZ pierwszego równania: \\(a_1 = 34 - 8r\\). Podstawiamy:\n\\[8(34 - 8r) + 28r = 110\\]\n\\[272 - 64r + 28r = 110\\]\n\\[-36r = -162\\]\n\\[r = 4{,}5.\\]\n\\[a_1 = 34 - 8\\cdot 4{,}5 = 34 - 36 = -2.\\]\n\n### Sposób 2 - Korzystanie ze średniej\n\\(S_8 = 8\\cdot \\tfrac{a_1 + a_8}{2} = 4(a_1 + a_8) = 110\\), stąd \\(a_1 + a_8 = 27{,}5\\). Wiemy \\(a_8 = a_9 - r = 34 - r\\). Oraz \\(a_1 = a_9 - 8r = 34 - 8r\\). Wtedy:\n\\[(34 - 8r) + (34 - r) = 27{,}5\\]\n\\[68 - 9r = 27{,}5\\]\n\\[r = 4{,}5, \\quad a_1 = -2.\\]\n\n### Uwagi o punktacji (wg schematu CKE)\n- **1 pkt:** zapisanie dwóch równań z dwiema niewiadomymi \\(a_1\\) i \\(r\\), np. \\(34 = a_1 + 8r\\) oraz \\(110 = \\tfrac{2a_1+7r}{2}\\cdot 8\\).\n- **2 pkt:** obliczenie \\(a_1 = -2\\) i \\(r = 4{,}5\\).\n\n**Trik:** Dla ciągu arytmetycznego: dwa warunki = układ dwóch równań liniowych. \\(S_n\\) można też wyrazić jako \\(n\\cdot \\tfrac{a_1+a_n}{2}\\).","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 30. (2 pkt)
Do wykresu funkcji wykładniczej, określonej dla każdej liczby rzeczywistej x wzorem
( )
x
a
x
f
(gdzie
0

\n
\n

a
i
1
a ≠), należy punkt
(
)
9
,2
P
. Oblicz a i zapisz zbiór wartości
funkcji g, określonej wzorem ( )
( )
2
g x
f
x
Odpowiedź:

\n

Poziom podstawowy
MMA_1P

","answer_text_html":"

Zadanie 30. (0-2)
II. Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Funkcje. Zdający sporządza wykresy funkcji wykładniczych
\n

dla różnych podstaw i rozwiązuje zadania umieszczone
w kontekście praktycznym (4.n). Zdający potrafi na podstawie
wykresu funkcji y = f(x) naszkicować wykresy funkcji y = f(x + a),
y = f(x) + a, y = -f(x), y = f(-x) (4.d).
Przykładowe rozwiązanie
Ponieważ punkt P leży na wykresie funkcji f, więc możemy zapisać:
, gdzie
Stąd
Zbiorem wartości funkcji wykładniczej f jest przedział
. Wykres funkcji g powstaje
przez przesunięcie wykresu funkcji f o 2 jednostki w dół. Zatem zbiorem wartości funkcji g
jest przedział
Schemat punktowania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy:
• obliczy a:
albo
• zapisze zbiór wartości funkcji g:
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy obliczy a:
i zapisze zbiór wartości funkcji g:
Uwaga
Opis zbioru wartości uznaje się za poprawny, jeśli zbiór ten jest przedstawiony graficznie
w sposób jednoznacznie wskazujący, że liczba
2

\n\n

jest opisany słownie, lub jakąkolwiek poprawną nierównością.
Kryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki
Jeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór wartości funkcji
w postaci
, to przyznajemy 2 punkty, o ile obliczy
3
a = .
2
9
a
0

\n
\n

a
3
a =
(
)
0, + ∞
(
)
2,

\n\n

3
a =
(
)
2,

\n\n

3
a =
(
)
2,

\n\n

(
)
,
2
+∞-

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(a_1 = -2\\), różnica \\(r = \\frac{9}{2}\\)

\n

Sposób 1 - Układ równań z wzorów na wyraz i sumę

\n

Zapisujemy, co wiemy:

\n

Dany ciąg arytmetyczny \\((a_n)\\) spełnia:

\n\n

Krok 1 - Pierwsze równanie (z wzoru na wyraz ogólny):

\n

\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]

\n

Dla \\(n = 9\\):
\\[a_1 + 8r = 34 \\tag{1}\\]

\n

Krok 2 - Drugie równanie (z wzoru na sumę):

\n

\\[S_n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n\\]

\n

Dla \\(n = 8\\):
\\[S_8 = \\frac{2a_1 + 7r}{2} \\cdot 8 = 4(2a_1 + 7r) = 110\\]

\n

\\[2a_1 + 7r = \\frac{110}{4} = \\frac{55}{2} \\tag{2}\\]

\n

Krok 3 - Rozwiązujemy układ:

\n

Z równania \\((1)\\): \\(a_1 = 34 - 8r\\)

\n

Podstawiamy do \\((2)\\):
\\[2(34 - 8r) + 7r = \\frac{55}{2}\\]
\\[68 - 16r + 7r = \\frac{55}{2}\\]
\\[68 - 9r = \\frac{55}{2}\\]
\\[9r = 68 - \\frac{55}{2} = \\frac{136 - 55}{2} = \\frac{81}{2}\\]
\\[r = \\frac{81}{2 \\cdot 9} = \\frac{9}{2}\\]

\n

Stąd:
\\[a_1 = 34 - 8 \\cdot \\frac{9}{2} = 34 - 36 = -2\\]

\n

Wynik: \\(a_1 = -2\\), \\(r = \\frac{9}{2}\\)

\n

Sposób 2 - Wzór na sumę przez \\(a_1\\) i \\(a_8\\), z użyciem \\(a_9\\)

\n

Inny punkt wyjścia - suma jako średnia pierwszego i ostatniego:

\n

\\[S_8 = \\frac{a_1 + a_8}{2} \\cdot 8 = 4(a_1 + a_8) = 110\\]
\\[a_1 + a_8 = \\frac{110}{4} = \\frac{55}{2} \\tag{A}\\]

\n

Jednocześnie:
\\[a_9 = a_8 + r = 34 \\implies a_8 = 34 - r \\tag{B}\\]
\\[a_8 = a_1 + 7r \\tag{C}\\]

\n

Z \\((A)\\) i \\((C)\\):
\\[a_1 + (a_1 + 7r) = \\frac{55}{2} \\implies 2a_1 + 7r = \\frac{55}{2}\\]

\n

To jest dokładnie to samo równanie \\((2)\\) co w Sposobie 1 - dalej postępujemy identycznie i otrzymujemy ten sam wynik.

\n

Weryfikacja wyników:
\\[a_9 = -2 + 8 \\cdot \\frac{9}{2} = -2 + 36 = 34 \\checkmark\\]
\\[S_8 = 4\\!\\left(2 \\cdot (-2) + 7 \\cdot \\frac{9}{2}\\right) = 4\\!\\left(-4 + \\frac{63}{2}\\right) = 4 \\cdot \\frac{55}{2} = 110 \\checkmark\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 8 (Ciągi, s. 9-10) - dwa wzory kluczowe dla tego zadania:

\n

Wzór na wyraz ogólny ciągu arytmetycznego:
\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]
Użyliśmy go, by zapisać warunek \\(a_9 = 34\\) jako równanie z dwiema niewiadomymi.

\n

Wzór na sumę \\(n\\) początkowych wyrazów:
\\[S_n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n\\]
Użyliśmy go, by zapisać warunek \\(S_8 = 110\\) i uzyskać drugie równanie układu.

\n

Alternatywna postać sumy (Sposób 2) - również na karcie:
\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\]

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: W wzorze \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\) dla \\(n = 9\\) mamy \\(\\mathbf{(9-1) = 8}\\), nie \\(9\\). Częsty błąd to napisanie \\(a_1 + 9r = 34\\), co daje zły wynik.
\n
⚠️ Uwaga: Suma \\(S_8\\) to suma ośmiu wyrazów: \\(a_1, a_2, \\ldots, a_8\\). Ostatni wyraz sumy to \\(a_8\\), nie \\(a_9\\)! Pomylenie tego skutkuje równaniem \\(2a_1 + 8r = \\frac{55}{2}\\), które jest błędne.
\n
⚠️ Uwaga: Różnica \\(r = \\frac{9}{2} = 4{,}5\\) - ciąg arytmetyczny może mieć różnicę ułamkową. Nie ma wymogu, by \\(r\\) było liczbą całkowitą.
\n

Poprawna odpowiedź: \\(a_1 = -2\\), \\(r = 4{,}5\\)

\n
Sposób 1 - Układ dwóch równań z wzorów CKE
\n

Z karty wzorów (Dział 3): \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\) oraz \\(S_n = \\tfrac{2a_1 + (n-1)r}{2}\\cdot n\\). Stąd:
\\[a_9 = a_1 + 8r = 34\\]
\\[S_8 = \\tfrac{2a_1 + 7r}{2}\\cdot 8 = 4(2a_1 + 7r) = 110.\\]
Upraszczamy drugie równanie: \\(2a_1 + 7r = \\tfrac{110}{4} = 27{,}5\\), czyli \\(8a_1 + 28r = 110\\).
Z pierwszego równania: \\(a_1 = 34 - 8r\\). Podstawiamy:
\\[8(34 - 8r) + 28r = 110\\]
\\[272 - 64r + 28r = 110\\]
\\[-36r = -162\\]
\\[r = 4{,}5.\\]
\\[a_1 = 34 - 8\\cdot 4{,}5 = 34 - 36 = -2.\\]

\n
Sposób 2 - Korzystanie ze średniej
\n

\\(S_8 = 8\\cdot \\tfrac{a_1 + a_8}{2} = 4(a_1 + a_8) = 110\\), stąd \\(a_1 + a_8 = 27{,}5\\). Wiemy \\(a_8 = a_9 - r = 34 - r\\). Oraz \\(a_1 = a_9 - 8r = 34 - 8r\\). Wtedy:
\\[(34 - 8r) + (34 - r) = 27{,}5\\]
\\[68 - 9r = 27{,}5\\]
\\[r = 4{,}5, \\quad a_1 = -2.\\]

\n
Uwagi o punktacji (wg schematu CKE)
\n\n

Trik: Dla ciągu arytmetycznego: dwa warunki = układ dwóch równań liniowych. \\(S_n\\) można też wyrazić jako \\(n\\cdot \\tfrac{a_1+a_n}{2}\\).

"}]}