Zadanie 31. (2 pkt)
Dwunasty wyraz ciągu arytmetycznego (
)
n
a
, określonego dla
1
n ≥, jest równy 30, a suma jego
dwunastu początkowych wyrazów jest równa 162. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
30.
31.
Maks. liczba pkt
2
2
Uzyskana liczba pkt
Poziom podstawowy
MMA_1P
Zadanie 31. (0-2)
III. Modelowanie
matematyczne.
początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i ciągu
geometrycznego, również umieszczone w kontekście
praktycznym (5.c).
Przykładowe rozwiązania
I sposób
Korzystamy ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego i zapisujemy wzór na
:
Korzystamy ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i zapisujemy
wzór na
:
Otrzymujemy układ równań
i
Stąd otrzymujemy
II sposób
Korzystamy ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i zapisujemy
wzór na
:
Otrzymujemy równanie
Stąd otrzymujemy
Schemat punktowania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy:
• zapisze dwa równania z niewiadomymi
1a i r wynikające z zastosowania poprawnych
wzorów na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego i sumę n początkowych wyrazów ciągu
arytmetycznego:
np.:
i
12
a
12
1
(12 1)
a
a
r
⋅
12
S
1
12
2
(12 1)
12
2
a
r
S
⋅
⋅
1
30
11
a
r
1
162
12
66
a
r
1
3
a = -
12
S
1
12
12
12
2
a
a
S
⋅
1
30
162
12
2
a +
⋅
1
3
a = -
1
30
11
a
r
1
2
11
162
12
2
a
r
⋅
⋅
albo
• zapisze równanie z jedną niewiadomą
1a wynikające z zastosowania poprawnego
wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego bez wykorzystywania
różnicy ciągu:
np.:
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy zapisze równanie z jedną niewiadomą
i obliczy pierwszy wyraz ciągu:
Uwagi
12 początkowych kolejnych wyrazów i ustali, że
, to otrzymuje 2 punkty.
i ustali, że
, ale nie zapisze wszystkich 12 początkowych wyrazów ciągu, to
otrzymuje 1 punkt.
lub
i
, to otrzymuje 0 punktów.
Równanie prostej \\(BD\\) to \\(y = \\frac{1}{3}x\\).
\nKrok 1: Wyznaczamy punkt \\(D\\) - środek boku \\(AC\\).
\n\\(A = (2, 4)\\), \\(C = (4, -2)\\), więc:
\n\\[D = \\left(\\frac{x_A + x_C}{2},\\ \\frac{y_A + y_C}{2}\\right) = \\left(\\frac{2+4}{2},\\ \\frac{4+(-2)}{2}\\right) = (3,\\ 1)\\]
\nKrok 2: Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej \\(BD\\).
\n\\(B = (0, 0)\\), \\(D = (3, 1)\\):
\n\\[a = \\frac{y_D - y_B}{x_D - x_B} = \\frac{1 - 0}{3 - 0} = \\frac{1}{3}\\]
\nKrok 3: Piszemy równanie prostej.
\nProsta przechodzi przez \\(B = (0, 0)\\), więc wyraz wolny \\(b = 0\\):
\n\\[\\boxed{y = \\frac{1}{3}x}\\]
\nSprawdzamy, czy oba punkty \\(B\\) i \\(D\\) leżą na prostej \\(y = \\frac{1}{3}x\\):
\nOba punkty spełniają równanie, więc wynik jest poprawny.
\nDział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)
\nŚrodek odcinka:
\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}, \\quad y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]
Użyliśmy tego do wyznaczenia punktu \\(D\\).
Równanie kierunkowe prostej:
\\[y = ax + b, \\quad \\text{gdzie } a = \\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\\]
Użyliśmy do znalezienia równania prostej przez dwa punkty.
| Odp. | Typowy błąd |
| A | Obliczenie nachylenia jako \\(\\frac{x_D - x_B}{y_D - y_B} = \\frac{3}{1} = 3\\) - zamiana licznika z mianownikiem, wynik \\(y = 3x\\) |
| B | Wzięcie środka \\(BD\\) zamiast środka \\(AC\\) jako punkt \\(D\\), co daje błędny punkt i błędne nachylenie |
| C | Poprawne nachylenie \\(\\frac{1}{3}\\), ale błędne wyznaczenie wyrazu wolnego \\(b\\) - pominięcie faktu, że prosta przechodzi przez początek układu \\(B=(0,0)\\), co daje \\(b=0\\) |
⚠️ Uwaga: Środek odcinka \\(AC\\) to NIE jest punkt \\(A\\) ani \\(C\\) - trzeba go wyliczyć ze wzoru na środek. Wielu uczniów pomija ten krok i wylicza prostą przez \\(B\\) i \\(A\\) lub \\(B\\) i \\(C\\).\n
⚠️ Uwaga: Przy wyznaczaniu nachylenia prostej \\(a = \\frac{\\Delta y}{\\Delta x}\\), pamiętaj: różnica \\(y\\) w liczniku, różnica \\(x\\) w mianowniku - nie odwrotnie!\n
⚠️ Uwaga: Gdy prosta przechodzi przez \\(B = (0, 0)\\), wyraz wolny \\(b = 0\\) automatycznie. Sprawdź to zawsze przez podstawienie - to zajmuje 5 sekund i eliminuje głupi błąd.\n
Poprawna odpowiedź: \\(y = \\dfrac{1}{3}x\\)
\nWspółrzędne środka \\(D\\) boku \\(AC\\) (karta wzorów, Dział 6):
\\[D = \\left(\\tfrac{2+4}{2}, \\tfrac{4+(-2)}{2}\\right) = (3, 1).\\]
Prosta \\(BD\\) przechodzi przez \\(B = (0,0)\\) i \\(D = (3,1)\\). Ponieważ przechodzi przez początek układu, ma postać \\(y = ax\\):
\\[a = \\tfrac{1 - 0}{3 - 0} = \\tfrac{1}{3}.\\]
Równanie: \\(y = \\tfrac{1}{3}x\\).
Wzór: \\((y-y_1)(x_2-x_1) - (y_2-y_1)(x-x_1) = 0\\). Dla \\(B=(0,0), D=(3,1)\\):
\\[(y-0)(3-0) - (1-0)(x-0) = 0\\]
\\[3y - x = 0 \\iff y = \\tfrac{1}{3}x.\\]
Trik: Gdy prosta przechodzi przez \\((0,0)\\), ma postać \\(y = ax\\) - wystarczy jeden punkt, by wyznaczyć \\(a\\).
"}]}