{"id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa","number":"32","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (5 pkt)\nW układzie współrzędnych punkty\n(\n)\n3\n,4\nA\ni\n(\n)\n10 5\nB\n,\nsą wierzchołkami trójkąta ABC.\nWierzchołek C leży na prostej o równaniu\n3\n2 +\nx\ny\n. Oblicz współrzędne punktu C, dla którego\nkąt ABC jest prosty.\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n32.\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 32. (0-5)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający podaje\nrównanie prostej w postaci Ax + By + C = 0 lub y = ax + b ,\nmając dane dwa jej punkty lub jeden punkt i współczynnik a\nw równaniu kierunkowym (8.b). Zdający interpretuje\ngeometrycznie układ dwóch równań liniowych z dwiema\nniewiadomymi (8.d).\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób - proste prostopadłe\nObliczamy współczynnik kierunkowy prostej AB\n1\n3\nAB\na\nPonieważ kąt prosty w trójkącie ABC jest przy wierzchołku B, więc wyznaczamy równanie\nprostej prostopadłej do prostej AB i przechodzącej przez punkt B\nObliczamy współrzędne punktu C, który jest punktem wspólnym prostych określonych\nrównaniami\ni\n:\nStąd po rozwiązaniu układu równań otrzymujemy parę\n32\n5\nx =\ni\n79\n5\ny =\nZatem punkt C ma współrzędne.(\n)\n32 79\n5\n5\n,\n1\n30\n162\n12\n2\na +\n⋅\n1a\n1\n3\na = -\n1\n3\na = -\n1\n3\na = -\n1\n3\na = -\n1\n3\na = -\n3\nr =\n3\n35\ny\nx\n3\n2 +\nx\ny\n3\n35\ny\nx\n2\n3\n3\n35\ny\nx\ny\nx\n\n\n\nII sposób - twierdzenie Pitagorasa\nPonieważ wierzchołek C trójkąta prostokątnego ABC leży na prostej o równaniu\n,\nwięc jego współrzędne zapisujemy następująco\nPunkt B jest wierzchołkiem kąta prostego, zatem z twierdzenia Pitagorasa wynika, że\nPo podstawieniu współrzędnych punktów A, B i C otrzymujemy równanie\n,\nczyli równanie\nZatem\ni dalej\n32\n5\nx =\nJeśli\n32\n5\nx =\n, to\n79\n5\ny =\n. Zatem\n(\n)\n32 79\n5\n5\n,\nC =\nIII sposób - iloczyn skalarny\nWektory niezerowe są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn skalarny jest\nrówny 0. W tym przypadku oznacza to, że iloczyn skalarny wektorów\ni\njest równy\n0.\nWspółrzędne wektora AB\n\nsą równe\n[\n]\n6,2\nAB =\n\nPunkt C ma współrzędne równe\n, więc współrzędne wektora\nsą równe\nZ warunku\n0\nAB BC =\n\n\notrzymujemy równanie\n,\n3\n30\n2\n2\n0\nx\nx\n,\n32\n5\nx =\nZatem\n(\n) (\n)\n32\n32\n32 79\n5\n5\n5\n5\n,2\n3\n,\nC =\n⋅\nSchemat punktowania\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze\ndo pełnego rozwiązania 1 p.\nZdający\n• uzależni obie współrzędne punktu C od jednej zmiennej,\nnp.:\nlub\n(\n)\n3\n2 ,\ny\nC\ny\nalbo\n• zapisze równość\ni obliczy długość AB:\n,\nalbo\n• zapisze równość\ni zapisze jedną z długości\nlub\nw zależności od współrzędnych punktu C,\n3\n2 +\nx\ny\n(\n)\n, 2\n3\nC\nx\nx\n2\n2\n2\nAC\nAB\nBC\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n4\n2\n3\n3\n10\n4\n5\n3\n10\n2\n3\n5\nx\nx\nx\nx\n2\n2\n2\n2\n8\n16\n4\n36\n4\n20\n100\n4\n8\n4\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\n20\n128\nx =\nAB\n\nBC\n\n(\n)\n, 2\n3\nC\nx\nx\nBC\n\n[\n]\n10, 2\n3\n5\nBC\nx\nx\n\n(\n)\n(\n)\n6\n10 +2 2\n2\n0\nx\nx\n(\n)\n, 2\n3\nC\nx\nx\n2\n2\n2\nAC\nAB\nBC\n2 10\nAB =\n2\n2\n2\nAC\nAB\nBC\nAC\nBC\nalbo\n• obliczy współrzędne wektora\n:\ni zapisze, że\n,\nalbo\n• wyznaczy współrzędne wektora\nw zależności od współrzędnych punktu C:\ni zapisze, że\n,\nalbo\n• wyznaczy współrzędne wektora\nw zależności od jednej współrzędnej punktu C,\nnp.:\n,\nalbo\n• obliczy współczynnik kierunkowy równania prostej AB:\n1\n3\nAB\na\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający\n• wyznaczy współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do prostej AB\ni przechodzącej przez punkt B:\nalbo\n• zapisze równanie z dwiema niewiadomymi, np.:\n,\nalbo\n• obliczy współrzędne wektora\n:\n, wyznaczy współrzędne wektora\nw zależności od jednej współrzędnej punktu C, np.:\ni zapisze,\nże\n,\nalbo\n• zapisze równość wynikającą z warunku\n, w której niewiadomymi są dwie\nwspółrzędne punktu C, np.:\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający zapisze równanie z jedną niewiadomą, która jest współrzędną punktu C, np.:\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie prawie pełne 4 p.\nZdający\n• obliczy\n32\n5\nx =\nalbo\n79\n5\ny =\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy\nalbo\n• obliczy obie współrzędne punktu C z błędami rachunkowymi.\nRozwiązanie pełne 5 p.\nZdający obliczy i zapisze współrzędne punktu\n(\n)\n32 79\n5\n5\n,\nC =\nAB\n\n[\n]\n6, 2\nAB =\n\n0\nAB BC =\n\n\nBC\n\n[\n]\n10,\n5\nBC\nx\ny\n\n0\nAB BC =\n\n\nBC\n\n[\n]\n10, 2\n3\n5\nBC\nx\nx\n\n3\nBC\na\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n4\n3\n10\n4\n5\n3\n10\n5\nx\ny\nx\ny\nAB\n\n[\n]\n6, 2\nAB =\n\nBC\n\n[\n]\n10, 2\n3\n5\nBC\nx\nx\n\n0\nAB BC =\n\n\n0\nAB BC =\n\n\n(\n)\n(\n)\n6\n10 +2\n5\n0\nx\ny\n(\n)\n2\n3\n3\n10\n5\nx\nx\nUwagi\n1. Jeżeli zdający realizuje strategię rozwiązania i popełnia jedynie błędy rachunkowe,\nto może otrzymać 4 punkty, o ile popełnione błędy nie ułatwiają rozważanego\nzagadnienia na żadnym etapie rozwiązania.\n2. Jeżeli zdający realizuje strategię rozwiązania, ale popełnia błąd, który jednak nie ułatwia\nrozważanego zagadnienia na żadnym etapie rozwiązania i:\na) jedynym błędem merytorycznym w rozwiązaniu jest błąd przy wyznaczaniu\nwspółczynnika\n, np.\nzamiast\n, to zdający otrzymuje co najwyżej\n3 punkty;\nb) jedynym błędem merytorycznym w rozwiązaniu jest błąd przy wyznaczaniu równania\nprostej BC, to zdający otrzymuje co najwyżej 3 punkty;\nc) jedynym błędem merytorycznym w rozwiązaniu jest błąd, polegający na tym,\nże zdający zapisze błędną równość:\n, to zdający otrzymuje co\nnajwyżej 3 punkty;\nd) w I sposobie rozwiązania przyjmie, że kąt prosty jest przy wierzchołku A, to otrzymuje\nco najwyżej 3 punkty;\ne) jedynym błędem merytorycznym w rozwiązaniu jest błąd przy podstawieniu do wzoru\nna odległość punktów, nawet trzykrotnie powtórzony, to zdający otrzymuje co najwyżej\n3 punkty;\nf) jedynym błędem merytorycznym w rozwiązaniu jest zamiana miejscami współrzędnych\npunktu C w początkowym etapie rozwiązania, np.:\n, to zdający otrzymuje\nco najwyżej 3 punkty;\ng) jedynym błędem merytorycznym w rozwiązaniu jest przyjęcie bez obliczeń błędnego\nwspółczynnika b w równaniu prostej BC (np.\n), to zdający otrzymuje co najwyżej\n3 punkty.\n3. Jeżeli zdający realizuje pełną strategię rozwiązania, ale popełnia błąd merytoryczny,\nktóry jednak nie ułatwia rozważanego zagadnienia na żadnym etapie rozwiązania i tym\njedynym błędem merytorycznym jest błąd, polegający na zastosowaniu nieistniejącego\nwzoru „\n”, to zdający otrzymuje co najwyżej 3 punkty.\n4. Jeżeli zdający popełnia błąd, polegający na tym, że zapisuje błędną równość:\n, to otrzymuje co najwyżej 2 punkty.\n5. Jeżeli zdający wyznaczy równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu\n,\nto za rozwiązanie zadania otrzymuje 0 punktów, o ile w rozwiązaniu nie występują inne\nzapisy wymienione w schemacie oceniania, za które należy przyznać zdającemu punkty,\nnp.:\n6. Jeżeli oprócz poprawnego rozwiązania (kąt prosty przy wierzchołku B) zdający podaje\ninne rozwiązanie (np. kąt prosty przy wierzchołku A), którego nie odrzuca, to otrzymuje\nco najwyżej 4 punkty.\n7. Jeżeli zdający zapisze równanie prostej AB w postaci ogólnej (np. dokona właściwego\npodstawienia współrzędnych punktów do równania prostej przechodzącej przez 2 punkty)\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy, to otrzymuje 1 punkt.\nAB\na\nA\nB\nA\nB\nx\nx\ny\ny\nA\nB\nA\nB\ny\ny\nx\nx\n2\n2\n2\nBC\nAB\nAC\n(\n)\n2\n3,\nC\nx\nx\n5\n3\na\nb\na\nb\n2\n2\n2\nAB\nBC\nAC\n3\n2 +\nx\ny\n(\n)\n, 2\n3\nC\nx\nx","solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\nCosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy wynosi \\(\\dfrac{2\\sqrt{7}}{7}\\).\n\n## Sposób 1 - przez apotemę ściany i wysokość ostrosłupa\n\n**Krok 1: Dane o podstawie.**\n\nPodstawa to trójkąt równoboczny o boku \\(a\\).\n\n\\[P_{\\text{podstawy}} = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]\n\nPromień okręgu wpisanego w podstawę (apotema podstawy, czyli odległość od środka do środka krawędzi):\n\\[r = \\frac{a}{2\\sqrt{3}} = \\frac{a\\sqrt{3}}{6}\\]\n\nPromień okręgu opisanego na podstawie (odległość od środka do wierzchołka):\n\\[R = \\frac{a}{\\sqrt{3}} = \\frac{a\\sqrt{3}}{3}\\]\n\n**Krok 2: Wyznaczam apotemy ścian bocznych z warunku na pola.**\n\nPole powierzchni bocznej to suma pól 3 trójkątów równoramiennych. Każdy ma podstawę \\(a\\) i wysokość \\(l\\) (apotema ściany bocznej):\n\\[P_{\\text{boczna}} = 3 \\cdot \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot l = \\frac{3al}{2}\\]\n\nWarunek z treści:\n\\[P_{\\text{boczna}} = 2 \\cdot P_{\\text{podstawy}}\\]\n\\[\\frac{3al}{2} = 2 \\cdot \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{2}\\]\n\\[3l = a\\sqrt{3}\\]\n\\[l = \\frac{a\\sqrt{3}}{3} = \\frac{a}{\\sqrt{3}}\\]\n\n**Krok 3: Wyznaczam wysokość ostrosłupa \\(H\\).**\n\nW ostrosłupie prawidłowym: apotema ściany, wysokość ostrosłupa i apotema podstawy tworzą trójkąt prostokątny:\n\\[l^2 = H^2 + r^2\\]\n\\[\\frac{a^2}{3} = H^2 + \\frac{a^2 \\cdot 3}{36} = H^2 + \\frac{a^2}{12}\\]\n\\[H^2 = \\frac{a^2}{3} - \\frac{a^2}{12} = \\frac{4a^2}{12} - \\frac{a^2}{12} = \\frac{3a^2}{12} = \\frac{a^2}{4}\\]\n\\[H = \\frac{a}{2}\\]\n\n**Krok 4: Wyznaczam długość krawędzi bocznej \\(SA\\).**\n\nKrawędź boczna \\(SA\\) łączy wierzchołek \\(S\\) z wierzchołkiem \\(A\\). Rzut \\(S\\) na podstawę to środek \\(O\\) (odległy od \\(A\\) o \\(R\\)):\n\\[SA^2 = H^2 + R^2 = \\frac{a^2}{4} + \\frac{a^2}{3} = \\frac{3a^2}{12} + \\frac{4a^2}{12} = \\frac{7a^2}{12}\\]\n\\[SA = a\\sqrt{\\frac{7}{12}} = \\frac{a\\sqrt{7}}{2\\sqrt{3}} = \\frac{a\\sqrt{21}}{6}\\]\n\n**Krok 5: Kąt nachylenia krawędzi bocznej do podstawy.**\n\nKrawędź \\(SA\\) tworzy z jej rzutem \\(OA\\) (rzut na podstawę) kąt \\(\\varphi\\). Rzut krawędzi bocznej to odcinek \\(OA = R\\):\n\n\\[\\cos\\varphi = \\frac{OA}{SA} = \\frac{R}{SA} = \\frac{\\dfrac{a\\sqrt{3}}{3}}{\\dfrac{a\\sqrt{21}}{6}} = \\frac{a\\sqrt{3}}{3} \\cdot \\frac{6}{a\\sqrt{21}} = \\frac{2\\sqrt{3}}{\\sqrt{21}} = \\frac{2\\sqrt{3}}{\\sqrt{3}\\cdot\\sqrt{7}} = \\frac{2}{\\sqrt{7}}\\]\n\n\\[\\boxed{\\cos\\varphi = \\frac{2}{\\sqrt{7}} = \\frac{2\\sqrt{7}}{7}}\\]\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez sinus kąta\n\nSprawdzam wynik, obliczając \\(\\sin\\varphi\\) i kontrolując jedynkę trygonometryczną.\n\n\\[\\sin\\varphi = \\frac{H}{SA} = \\frac{\\dfrac{a}{2}}{\\dfrac{a\\sqrt{21}}{6}} = \\frac{a}{2} \\cdot \\frac{6}{a\\sqrt{21}} = \\frac{3}{\\sqrt{21}} = \\frac{3\\sqrt{21}}{21} = \\frac{\\sqrt{21}}{7}\\]\n\nSprawdzam:\n\\[\\sin^2\\varphi + \\cos^2\\varphi = \\frac{21}{49} + \\frac{28}{49} = \\frac{49}{49} = 1 \\checkmark\\]\n\nWynik potwierdzony: \\(\\cos\\varphi = \\dfrac{2\\sqrt{7}}{7}\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - pole trójkąta równobocznego:\n\\[P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]\nUżyte w Kroku 1 do obliczenia pola podstawy.\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - pole powierzchni bocznej graniastosłupa i ostrosłupa, pole podstawy, zależności w ostrosłupie prawidłowym.\nUżyte w Kroku 2 do warunku na pola.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11)** - definicja cosinusa jako przyległa/przeciwprostokątna:\n\\[\\cos\\varphi = \\frac{\\text{rzut krawędzi na podstawę}}{\\text{długość krawędzi}} = \\frac{R}{SA}\\]\nUżyte w Kroku 5.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - twierdzenie Pitagorasa \\(a^2 + b^2 = c^2\\):\nUżyte do wyznaczenia \\(H\\) z \\(l, r\\) oraz do wyznaczenia \\(SA\\) z \\(H, R\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B | Wzięcie kąta między **apotomą ściany** a podstawą zamiast kąta krawędzi bocznej - czyli \\(\\cos\\varphi = r/l\\) zamiast \\(R/SA\\) |\n| C | Pomylenie promienia wpisanego \\(r\\) z promieniem opisanym \\(R\\) przy obliczaniu rzutu krawędzi bocznej |\n| D | Liczenie \\(\\sin\\varphi\\) zamiast \\(\\cos\\varphi\\), czyli \\(H/SA\\) zamiast \\(R/SA\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Krawędź boczna \\(SA\\) rzutuje się na odcinek \\(OA\\) (od środka do **wierzchołka** podstawy), a nie na apotomę podstawy (do **środka krawędzi**). To częsty błąd - używa się \\(r\\) zamiast \\(R\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Apotema ściany bocznej \\(l\\) to **nie jest** krawędź boczna \\(SA\\) - to wysokość trójkątnej ściany bocznej, potrzebna do liczenia pola bocznego, ale nie bezpośrednio kąta krawędzi.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek „pole boczne jest 2 razy większe od pola podstawy\" to \\(P_b = 2P_p\\), **nie** \\(P_b + P_p = 2P_p\\). Czytaj uważnie, bo pułapka jest banalna!\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{2\\sqrt{7}}{7}\\)**\n\n### Sposób 1 - Klasyczne rozumowanie CKE\nOznaczenia: \\(h_b\\) - wysokość ściany bocznej, \\(\\alpha\\) - kąt nachylenia krawędzi bocznej do podstawy, \\(E\\) - środek krawędzi \\(BC\\), \\(O\\) - środek podstawy.\n\n**Krok 1.** Pole podstawy (trójkąt równoboczny): \\(P_p = \\tfrac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\). Pole powierzchni bocznej: \\(P_b = 3\\cdot\\tfrac{1}{2}\\cdot a\\cdot h_b\\). Z warunku \\(P_b = 2P_p\\):\n\\[\\tfrac{3}{2}a h_b = 2\\cdot \\tfrac{a^2\\sqrt{3}}{4} = \\tfrac{a^2\\sqrt{3}}{2}\\]\n\\[h_b = \\tfrac{a\\sqrt{3}}{3}.\\]\n\n**Krok 2.** Dla trójkąta równobocznego \\(ABC\\): \\(|AE| = \\tfrac{a\\sqrt{3}}{2}\\), \\(|AO| = \\tfrac{2}{3}|AE| = \\tfrac{a\\sqrt{3}}{3}\\).\n\n**Krok 3.** Z Pitagorasa w trójkącie \\(BES\\) (gdzie \\(|BE| = \\tfrac{a}{2}\\), \\(|ES| = h_b\\)):\n\\[|SB|^2 = \\left(\\tfrac{a\\sqrt{3}}{3}\\right)^2 + \\left(\\tfrac{a}{2}\\right)^2 = \\tfrac{a^2}{3} + \\tfrac{a^2}{4} = \\tfrac{7a^2}{12}\\]\n\\[|SB| = \\tfrac{a\\sqrt{7}}{2\\sqrt{3}} = \\tfrac{a\\sqrt{21}}{6}.\\]\n\n**Krok 4.** W trójkącie \\(AOS\\) (prostokątnym w \\(O\\), kąt \\(\\alpha\\) przy \\(A\\)):\n\\[\\cos\\alpha = \\tfrac{|AO|}{|AS|} = \\tfrac{\\tfrac{a\\sqrt{3}}{3}}{\\tfrac{a\\sqrt{21}}{6}} = \\tfrac{6\\sqrt{3}}{3\\sqrt{21}} = \\tfrac{2}{\\sqrt{7}} = \\tfrac{2\\sqrt{7}}{7}.\\]\n\n### Sposób 2 - Wyznaczenie wysokości ostrosłupa\nWysokość ostrosłupa \\(SO\\) z Pitagorasa w \\(\\triangle OES\\): \\(|SO|^2 = h_b^2 - |EO|^2\\), gdzie \\(|EO| = \\tfrac{1}{3}|AE| = \\tfrac{a\\sqrt{3}}{6}\\). Wtedy:\n\\[|SO|^2 = \\tfrac{a^2}{3} - \\tfrac{a^2}{12} = \\tfrac{a^2}{4} \\Rightarrow |SO| = \\tfrac{a}{2}.\\]\nZatem \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\tfrac{|SO|}{|AO|} = \\tfrac{a/2}{a\\sqrt{3}/3} = \\tfrac{\\sqrt{3}}{2}\\). Z jedynki trygonometrycznej: \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\). Jeśli \\(\\tfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\tfrac{\\sqrt{3}}{2}\\), to \\(\\sin\\alpha = \\tfrac{\\sqrt{3}}{2}\\cos\\alpha\\):\n\\[\\tfrac{3}{4}\\cos^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1 \\Rightarrow \\tfrac{7}{4}\\cos^2\\alpha = 1 \\Rightarrow \\cos^2\\alpha = \\tfrac{4}{7}\\]\n\\[\\cos\\alpha = \\tfrac{2}{\\sqrt{7}} = \\tfrac{2\\sqrt{7}}{7}.\\]\n\n### Uwagi o punktacji (wg schematu CKE)\n- **1 pkt:** zaznaczenie kąta \\(\\alpha\\) lub wyznaczenie długości odcinka \\(AO\\) / \\(EO\\) / zapisanie równania z \\(h_b\\).\n- **2 pkt:** wyznaczenie \\(h_b = \\tfrac{a\\sqrt{3}}{3}\\).\n- **3 pkt:** wyznaczenie \\(|AS| = \\tfrac{a\\sqrt{21}}{6}\\) lub \\(|SO| = \\tfrac{a}{2}\\).\n- **4 pkt:** obliczenie \\(\\sin\\alpha = \\tfrac{\\sqrt{3}}{\\sqrt{7}}\\) lub \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\tfrac{\\sqrt{3}}{2}\\).\n- **5 pkt:** obliczenie \\(\\cos\\alpha = \\tfrac{2\\sqrt{7}}{7}\\).\n\n**Trik:** W ostrosłupie prawidłowym kąt nachylenia krawędzi bocznej do podstawy = kąt w trójkącie prostokątnym \\(AOS\\).","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 32. (5 pkt)
W układzie współrzędnych punkty
(
)
3
,4
A
i
(
)
10 5
B
,
są wierzchołkami trójkąta ABC.
Wierzchołek C leży na prostej o równaniu
3
2 +
x
y
. Oblicz współrzędne punktu C, dla którego
kąt ABC jest prosty.

\n

Poziom podstawowy
MMA_1P
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
32.
Maks. liczba pkt
5
Uzyskana liczba pkt

\n

Poziom podstawowy
MMA_1P

","answer_text_html":"

Zadanie 32. (0-5)
IV. Użycie i tworzenie
strategii.

\n
  1. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający podaje
\n

równanie prostej w postaci Ax + By + C = 0 lub y = ax + b ,
mając dane dwa jej punkty lub jeden punkt i współczynnik a
w równaniu kierunkowym (8.b). Zdający interpretuje
geometrycznie układ dwóch równań liniowych z dwiema
niewiadomymi (8.d).
Przykładowe rozwiązania
I sposób - proste prostopadłe
Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej AB
1
3
AB
a
Ponieważ kąt prosty w trójkącie ABC jest przy wierzchołku B, więc wyznaczamy równanie
prostej prostopadłej do prostej AB i przechodzącej przez punkt B
Obliczamy współrzędne punktu C, który jest punktem wspólnym prostych określonych
równaniami
i
:
Stąd po rozwiązaniu układu równań otrzymujemy parę
32
5
x =
i
79
5
y =
Zatem punkt C ma współrzędne.(
)
32 79
5
5
,
1
30
162
12
2
a +
⋅
1a
1
3
a = -
1
3
a = -
1
3
a = -
1
3
a = -
1
3
a = -
3
r =
3
35
y
x
3
2 +
x
y
3
35
y
x
2
3
3
35
y
x
y
x



II sposób - twierdzenie Pitagorasa
Ponieważ wierzchołek C trójkąta prostokątnego ABC leży na prostej o równaniu
,
więc jego współrzędne zapisujemy następująco
Punkt B jest wierzchołkiem kąta prostego, zatem z twierdzenia Pitagorasa wynika, że
Po podstawieniu współrzędnych punktów A, B i C otrzymujemy równanie
,
czyli równanie
Zatem
i dalej
32
5
x =
Jeśli
32
5
x =
, to
79
5
y =
. Zatem
(
)
32 79
5
5
,
C =
III sposób - iloczyn skalarny
Wektory niezerowe są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn skalarny jest
równy 0. W tym przypadku oznacza to, że iloczyn skalarny wektorów
i
jest równy
0.
Współrzędne wektora AB

są równe
[
]
6,2
AB =

Punkt C ma współrzędne równe
, więc współrzędne wektora
są równe
Z warunku
0
AB BC =


otrzymujemy równanie
,
3
30
2
2
0
x
x
,
32
5
x =
Zatem
(
) (
)
32
32
32 79
5
5
5
5
,2
3
,
C =
⋅
Schemat punktowania
Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze
do pełnego rozwiązania 1 p.
Zdający
• uzależni obie współrzędne punktu C od jednej zmiennej,
np.:
lub
(
)
3
2 ,
y
C
y
albo
• zapisze równość
i obliczy długość AB:
,
albo
• zapisze równość
i zapisze jedną z długości
lub
w zależności od współrzędnych punktu C,
3
2 +
x
y
(
)
, 2
3
C
x
x
2
2
2
AC
AB
BC
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
4
2
3
3
10
4
5
3
10
2
3
5
x
x
x
x
2
2
2
2
8
16
4
36
4
20
100
4
8
4
x
x
x
x
x
x
x
20
128
x =
AB

BC

(
)
, 2
3
C
x
x
BC

[
]
10, 2
3
5
BC
x
x

(
)
(
)
6
10 +2 2
2
0
x
x
(
)
, 2
3
C
x
x
2
2
2
AC
AB
BC
2 10
AB =
2
2
2
AC
AB
BC
AC
BC
albo
• obliczy współrzędne wektora
:
i zapisze, że
,
albo
• wyznaczy współrzędne wektora
w zależności od współrzędnych punktu C:
i zapisze, że
,
albo
• wyznaczy współrzędne wektora
w zależności od jednej współrzędnej punktu C,
np.:
,
albo
• obliczy współczynnik kierunkowy równania prostej AB:
1
3
AB
a
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.
Zdający
• wyznaczy współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do prostej AB
i przechodzącej przez punkt B:
albo
• zapisze równanie z dwiema niewiadomymi, np.:
,
albo
• obliczy współrzędne wektora
:
, wyznaczy współrzędne wektora
w zależności od jednej współrzędnej punktu C, np.:
i zapisze,
że
,
albo
• zapisze równość wynikającą z warunku
, w której niewiadomymi są dwie
współrzędne punktu C, np.:
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.
Zdający zapisze równanie z jedną niewiadomą, która jest współrzędną punktu C, np.:
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie prawie pełne 4 p.
Zdający
• obliczy
32
5
x =
albo
79
5
y =
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy
albo
• obliczy obie współrzędne punktu C z błędami rachunkowymi.
Rozwiązanie pełne 5 p.
Zdający obliczy i zapisze współrzędne punktu
(
)
32 79
5
5
,
C =
AB

[
]
6, 2
AB =

0
AB BC =


BC

[
]
10,
5
BC
x
y

0
AB BC =


BC

[
]
10, 2
3
5
BC
x
x

3
BC
a
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
3
10
4
5
3
10
5
x
y
x
y
AB

[
]
6, 2
AB =

BC

[
]
10, 2
3
5
BC
x
x

0
AB BC =


0
AB BC =


(
)
(
)
6
10 +2
5
0
x
y
(
)
2
3
3
10
5
x
x
Uwagi

\n
  1. Jeżeli zdający realizuje strategię rozwiązania i popełnia jedynie błędy rachunkowe,
\n

to może otrzymać 4 punkty, o ile popełnione błędy nie ułatwiają rozważanego
zagadnienia na żadnym etapie rozwiązania.

\n
  1. Jeżeli zdający realizuje strategię rozwiązania, ale popełnia błąd, który jednak nie ułatwia
\n

rozważanego zagadnienia na żadnym etapie rozwiązania i:
a) jedynym błędem merytorycznym w rozwiązaniu jest błąd przy wyznaczaniu
współczynnika
, np.
zamiast
, to zdający otrzymuje co najwyżej
3 punkty;
b) jedynym błędem merytorycznym w rozwiązaniu jest błąd przy wyznaczaniu równania
prostej BC, to zdający otrzymuje co najwyżej 3 punkty;
c) jedynym błędem merytorycznym w rozwiązaniu jest błąd, polegający na tym,
że zdający zapisze błędną równość:
, to zdający otrzymuje co
najwyżej 3 punkty;
d) w I sposobie rozwiązania przyjmie, że kąt prosty jest przy wierzchołku A, to otrzymuje
co najwyżej 3 punkty;
e) jedynym błędem merytorycznym w rozwiązaniu jest błąd przy podstawieniu do wzoru
na odległość punktów, nawet trzykrotnie powtórzony, to zdający otrzymuje co najwyżej
3 punkty;
f) jedynym błędem merytorycznym w rozwiązaniu jest zamiana miejscami współrzędnych
punktu C w początkowym etapie rozwiązania, np.:
, to zdający otrzymuje
co najwyżej 3 punkty;
g) jedynym błędem merytorycznym w rozwiązaniu jest przyjęcie bez obliczeń błędnego
współczynnika b w równaniu prostej BC (np.
), to zdający otrzymuje co najwyżej
3 punkty.

\n
  1. Jeżeli zdający realizuje pełną strategię rozwiązania, ale popełnia błąd merytoryczny,
\n

który jednak nie ułatwia rozważanego zagadnienia na żadnym etapie rozwiązania i tym
jedynym błędem merytorycznym jest błąd, polegający na zastosowaniu nieistniejącego
wzoru „
”, to zdający otrzymuje co najwyżej 3 punkty.

\n
  1. Jeżeli zdający popełnia błąd, polegający na tym, że zapisuje błędną równość:
\n

, to otrzymuje co najwyżej 2 punkty.

\n
  1. Jeżeli zdający wyznaczy równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu
\n

,
to za rozwiązanie zadania otrzymuje 0 punktów, o ile w rozwiązaniu nie występują inne
zapisy wymienione w schemacie oceniania, za które należy przyznać zdającemu punkty,
np.:

\n
  1. Jeżeli oprócz poprawnego rozwiązania (kąt prosty przy wierzchołku B) zdający podaje
\n

inne rozwiązanie (np. kąt prosty przy wierzchołku A), którego nie odrzuca, to otrzymuje
co najwyżej 4 punkty.

\n
  1. Jeżeli zdający zapisze równanie prostej AB w postaci ogólnej (np. dokona właściwego
\n

podstawienia współrzędnych punktów do równania prostej przechodzącej przez 2 punkty)
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy, to otrzymuje 1 punkt.
AB
a
A
B
A
B
x
x
y
y
A
B
A
B
y
y
x
x
2
2
2
BC
AB
AC
(
)
2
3,
C
x
x
5
3
a
b
a
b
2
2
2
AB
BC
AC
3
2 +
x
y
(
)
, 2
3
C
x
x

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: A

\n

Cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy wynosi \\(\\dfrac{2\\sqrt{7}}{7}\\).

\n

Sposób 1 - przez apotemę ściany i wysokość ostrosłupa

\n

Krok 1: Dane o podstawie.

\n

Podstawa to trójkąt równoboczny o boku \\(a\\).

\n

\\[P_{\\text{podstawy}} = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]

\n

Promień okręgu wpisanego w podstawę (apotema podstawy, czyli odległość od środka do środka krawędzi):
\\[r = \\frac{a}{2\\sqrt{3}} = \\frac{a\\sqrt{3}}{6}\\]

\n

Promień okręgu opisanego na podstawie (odległość od środka do wierzchołka):
\\[R = \\frac{a}{\\sqrt{3}} = \\frac{a\\sqrt{3}}{3}\\]

\n

Krok 2: Wyznaczam apotemy ścian bocznych z warunku na pola.

\n

Pole powierzchni bocznej to suma pól 3 trójkątów równoramiennych. Każdy ma podstawę \\(a\\) i wysokość \\(l\\) (apotema ściany bocznej):
\\[P_{\\text{boczna}} = 3 \\cdot \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot l = \\frac{3al}{2}\\]

\n

Warunek z treści:
\\[P_{\\text{boczna}} = 2 \\cdot P_{\\text{podstawy}}\\]
\\[\\frac{3al}{2} = 2 \\cdot \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{2}\\]
\\[3l = a\\sqrt{3}\\]
\\[l = \\frac{a\\sqrt{3}}{3} = \\frac{a}{\\sqrt{3}}\\]

\n

Krok 3: Wyznaczam wysokość ostrosłupa \\(H\\).

\n

W ostrosłupie prawidłowym: apotema ściany, wysokość ostrosłupa i apotema podstawy tworzą trójkąt prostokątny:
\\[l^2 = H^2 + r^2\\]
\\[\\frac{a^2}{3} = H^2 + \\frac{a^2 \\cdot 3}{36} = H^2 + \\frac{a^2}{12}\\]
\\[H^2 = \\frac{a^2}{3} - \\frac{a^2}{12} = \\frac{4a^2}{12} - \\frac{a^2}{12} = \\frac{3a^2}{12} = \\frac{a^2}{4}\\]
\\[H = \\frac{a}{2}\\]

\n

Krok 4: Wyznaczam długość krawędzi bocznej \\(SA\\).

\n

Krawędź boczna \\(SA\\) łączy wierzchołek \\(S\\) z wierzchołkiem \\(A\\). Rzut \\(S\\) na podstawę to środek \\(O\\) (odległy od \\(A\\) o \\(R\\)):
\\[SA^2 = H^2 + R^2 = \\frac{a^2}{4} + \\frac{a^2}{3} = \\frac{3a^2}{12} + \\frac{4a^2}{12} = \\frac{7a^2}{12}\\]
\\[SA = a\\sqrt{\\frac{7}{12}} = \\frac{a\\sqrt{7}}{2\\sqrt{3}} = \\frac{a\\sqrt{21}}{6}\\]

\n

Krok 5: Kąt nachylenia krawędzi bocznej do podstawy.

\n

Krawędź \\(SA\\) tworzy z jej rzutem \\(OA\\) (rzut na podstawę) kąt \\(\\varphi\\). Rzut krawędzi bocznej to odcinek \\(OA = R\\):

\n

\\[\\cos\\varphi = \\frac{OA}{SA} = \\frac{R}{SA} = \\frac{\\dfrac{a\\sqrt{3}}{3}}{\\dfrac{a\\sqrt{21}}{6}} = \\frac{a\\sqrt{3}}{3} \\cdot \\frac{6}{a\\sqrt{21}} = \\frac{2\\sqrt{3}}{\\sqrt{21}} = \\frac{2\\sqrt{3}}{\\sqrt{3}\\cdot\\sqrt{7}} = \\frac{2}{\\sqrt{7}}\\]

\n

\\[\\boxed{\\cos\\varphi = \\frac{2}{\\sqrt{7}} = \\frac{2\\sqrt{7}}{7}}\\]

\n

Sposób 2 - weryfikacja przez sinus kąta

\n

Sprawdzam wynik, obliczając \\(\\sin\\varphi\\) i kontrolując jedynkę trygonometryczną.

\n

\\[\\sin\\varphi = \\frac{H}{SA} = \\frac{\\dfrac{a}{2}}{\\dfrac{a\\sqrt{21}}{6}} = \\frac{a}{2} \\cdot \\frac{6}{a\\sqrt{21}} = \\frac{3}{\\sqrt{21}} = \\frac{3\\sqrt{21}}{21} = \\frac{\\sqrt{21}}{7}\\]

\n

Sprawdzam:
\\[\\sin^2\\varphi + \\cos^2\\varphi = \\frac{21}{49} + \\frac{28}{49} = \\frac{49}{49} = 1 \\checkmark\\]

\n

Wynik potwierdzony: \\(\\cos\\varphi = \\dfrac{2\\sqrt{7}}{7}\\).

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 15-16) - pole trójkąta równobocznego:
\\[P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]
Użyte w Kroku 1 do obliczenia pola podstawy.

\n

Dział 12 (Stereometria, s. 26-28) - pole powierzchni bocznej graniastosłupa i ostrosłupa, pole podstawy, zależności w ostrosłupie prawidłowym.
Użyte w Kroku 2 do warunku na pola.

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 11) - definicja cosinusa jako przyległa/przeciwprostokątna:
\\[\\cos\\varphi = \\frac{\\text{rzut krawędzi na podstawę}}{\\text{długość krawędzi}} = \\frac{R}{SA}\\]
Użyte w Kroku 5.

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 15) - twierdzenie Pitagorasa \\(a^2 + b^2 = c^2\\):
Użyte do wyznaczenia \\(H\\) z \\(l, r\\) oraz do wyznaczenia \\(SA\\) z \\(H, R\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| B | Wzięcie kąta między apotomą ściany a podstawą zamiast kąta krawędzi bocznej - czyli \\(\\cos\\varphi = r/l\\) zamiast \\(R/SA\\) |
| C | Pomylenie promienia wpisanego \\(r\\) z promieniem opisanym \\(R\\) przy obliczaniu rzutu krawędzi bocznej |
| D | Liczenie \\(\\sin\\varphi\\) zamiast \\(\\cos\\varphi\\), czyli \\(H/SA\\) zamiast \\(R/SA\\) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Krawędź boczna \\(SA\\) rzutuje się na odcinek \\(OA\\) (od środka do wierzchołka podstawy), a nie na apotomę podstawy (do środka krawędzi). To częsty błąd - używa się \\(r\\) zamiast \\(R\\).
\n
⚠️ Uwaga: Apotema ściany bocznej \\(l\\) to nie jest krawędź boczna \\(SA\\) - to wysokość trójkątnej ściany bocznej, potrzebna do liczenia pola bocznego, ale nie bezpośrednio kąta krawędzi.
\n
⚠️ Uwaga: Warunek „pole boczne jest 2 razy większe od pola podstawy" to \\(P_b = 2P_p\\), nie \\(P_b + P_p = 2P_p\\). Czytaj uważnie, bo pułapka jest banalna!
\n

Poprawna odpowiedź: \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{2\\sqrt{7}}{7}\\)

\n
Sposób 1 - Klasyczne rozumowanie CKE
\n

Oznaczenia: \\(h_b\\) - wysokość ściany bocznej, \\(\\alpha\\) - kąt nachylenia krawędzi bocznej do podstawy, \\(E\\) - środek krawędzi \\(BC\\), \\(O\\) - środek podstawy.

\n

Krok 1. Pole podstawy (trójkąt równoboczny): \\(P_p = \\tfrac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\). Pole powierzchni bocznej: \\(P_b = 3\\cdot\\tfrac{1}{2}\\cdot a\\cdot h_b\\). Z warunku \\(P_b = 2P_p\\):
\\[\\tfrac{3}{2}a h_b = 2\\cdot \\tfrac{a^2\\sqrt{3}}{4} = \\tfrac{a^2\\sqrt{3}}{2}\\]
\\[h_b = \\tfrac{a\\sqrt{3}}{3}.\\]

\n

Krok 2. Dla trójkąta równobocznego \\(ABC\\): \\(|AE| = \\tfrac{a\\sqrt{3}}{2}\\), \\(|AO| = \\tfrac{2}{3}|AE| = \\tfrac{a\\sqrt{3}}{3}\\).

\n

Krok 3. Z Pitagorasa w trójkącie \\(BES\\) (gdzie \\(|BE| = \\tfrac{a}{2}\\), \\(|ES| = h_b\\)):
\\[|SB|^2 = \\left(\\tfrac{a\\sqrt{3}}{3}\\right)^2 + \\left(\\tfrac{a}{2}\\right)^2 = \\tfrac{a^2}{3} + \\tfrac{a^2}{4} = \\tfrac{7a^2}{12}\\]
\\[|SB| = \\tfrac{a\\sqrt{7}}{2\\sqrt{3}} = \\tfrac{a\\sqrt{21}}{6}.\\]

\n

Krok 4. W trójkącie \\(AOS\\) (prostokątnym w \\(O\\), kąt \\(\\alpha\\) przy \\(A\\)):
\\[\\cos\\alpha = \\tfrac{|AO|}{|AS|} = \\tfrac{\\tfrac{a\\sqrt{3}}{3}}{\\tfrac{a\\sqrt{21}}{6}} = \\tfrac{6\\sqrt{3}}{3\\sqrt{21}} = \\tfrac{2}{\\sqrt{7}} = \\tfrac{2\\sqrt{7}}{7}.\\]

\n
Sposób 2 - Wyznaczenie wysokości ostrosłupa
\n

Wysokość ostrosłupa \\(SO\\) z Pitagorasa w \\(\\triangle OES\\): \\(|SO|^2 = h_b^2 - |EO|^2\\), gdzie \\(|EO| = \\tfrac{1}{3}|AE| = \\tfrac{a\\sqrt{3}}{6}\\). Wtedy:
\\[|SO|^2 = \\tfrac{a^2}{3} - \\tfrac{a^2}{12} = \\tfrac{a^2}{4} \\Rightarrow |SO| = \\tfrac{a}{2}.\\]
Zatem \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\tfrac{|SO|}{|AO|} = \\tfrac{a/2}{a\\sqrt{3}/3} = \\tfrac{\\sqrt{3}}{2}\\). Z jedynki trygonometrycznej: \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\). Jeśli \\(\\tfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\tfrac{\\sqrt{3}}{2}\\), to \\(\\sin\\alpha = \\tfrac{\\sqrt{3}}{2}\\cos\\alpha\\):
\\[\\tfrac{3}{4}\\cos^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1 \\Rightarrow \\tfrac{7}{4}\\cos^2\\alpha = 1 \\Rightarrow \\cos^2\\alpha = \\tfrac{4}{7}\\]
\\[\\cos\\alpha = \\tfrac{2}{\\sqrt{7}} = \\tfrac{2\\sqrt{7}}{7}.\\]

\n
Uwagi o punktacji (wg schematu CKE)
\n\n

Trik: W ostrosłupie prawidłowym kąt nachylenia krawędzi bocznej do podstawy = kąt w trójkącie prostokątnym \\(AOS\\).

"}]}