{"id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa","number":"33","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (4 pkt)\nDane są dwa zbiory:\n{\n}\n100, 200, 300, 400, 500, 600, 700\nA =\ni\n{\n}\n10,11,12,13,14,15,16\nB =\nZ każdego z nich losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na\ntym, że suma wylosowanych liczb będzie podzielna przez 3. Obliczone prawdopodobieństwo\nzapisz w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego.\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n33.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 33. (0-2)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n10. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa\ni kombinatoryka. Zdający wykorzystuje własności\nprawdopodobieństwa i stosuje twierdzenie znane jako klasyczna\ndefinicja prawdopodobieństwa do obliczania prawdopodobieństw\nzdarzeń (10.d).\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nZdarzeniem elementarnym jest uporządkowana para\n, gdzie\ni\n. Zatem zbiór\nwszystkich zdarzeń elementarnych ma postać:\nLiczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa\nNiech A oznacza zdarzenie polegające na tym, że suma wylosowanych liczb będzie podzielna\nprzez 3. Z cechy podzielności liczby całkowitej przez 3 wynika, że suma cyfr otrzymanej liczby\nmusi być podzielna przez 3. Zbiór A ma postać:\nZdarzeniu A sprzyja więc 16 zdarzeń elementarnych, czyli\nPrawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe\nOdpowiedź: Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych\nliczb będzie liczbą podzielną przez 3, jest równe\n(\n)\n,x y\nx\nA\n∈\ny\nB\n∈\n(\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n)\n{\n(\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n)\n(\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n)\n(\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n)\n100,10 , 100,11 , 100,12 , 100,13 , 100,14 , 100,15 , 100,16 ,\n200,10 , 200,11 , 200,12 , 200,13 , 200,14 , 200,15 , 200,16 ,\n300,10 , 300,11 , 300,12 , 300,13 , 300,14 , 300,15 , 300,16 ,\n400,10 , 400,11 , 400,12 , 400,13 , 400,14 , 400,15 , 400,16 ,\n50\nΩ =\n(\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n)\n(\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n)\n(\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n)}\n0,10 , 500,11 , 500,12 , 500,13 , 500,14 , 500,15 , 500,16 ,\n600,10 , 600,11 , 600,12 , 600,13 , 600,14 , 600,15 , 600,16 ,\n700,10 , 700,11 , 700,12 , 700,13 , 700,14 , 700,15 , 700,16\n7 7\n49\nΩ =\n⋅\nx\ny\n(\n) (\n)\n{\n(\n) (\n) (\n)\n(\n) (\n) (\n) (\n) (\n)\n(\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n)}\n100,11 , 100,14 , 200,10 , 200,13 , 200,16 ,\n300,12 , 300,15 , 400,11 , 400,14 , 500,10 ,\n500,13 , 500,16 , 600,12 , 600,15 , 700,11 , 700,14\nA =\n16\nA =\n( )\n16\n49\nA\nP A =\nΩ\n16\n49\nUwaga\nZdający może zapisać zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych jako zbiór sum możliwych\ndo utworzenia w wyniku losowania, tzn. może zastosować zapis:\nWtedy zbiór\nII sposób\nRysujemy tabelę, która przedstawia model rozważanego doświadczenia.\n100\n200\n300\n400\n500\n600\n700\n10\n\n\n11\n\n\n\n12\n\n\n13\n\n\n14\n\n\n\n15\n\n\n16\n\n\nZdarzeniom elementarnym odpowiadają komórki tej tabeli. Jest ich 49, zatem\nSymbolem  zaznaczamy te zdarzenia elementarne, które sprzyjają zdarzeniu A,\npolegającemu na tym, że suma wylosowanych liczb jest podzielna przez 3.\nZdarzeniu A sprzyja więc 16 zdarzeń elementarnych, czyli\nPrawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe\nOdpowiedź: Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych\nliczb będzie liczbą podzielną przez 3, jest równe\n{\n}\n110,111,112,113,114,115,116,\n210, 211, 212, 213, 214, 215, 216,\n310, 311, 312, 313, 314, 315, 316,\n410, 411, 412, 413, 414, 415, 416,\n510, 511, 512, 513, 514, 515, 516,\n610, 611, 612, 613, 614, 615, 616,\n710, 711, 712, 713, 714, 715, 716 .\nΩ =\n{\n}\n111,114, 210, 213, 216, 312, 315, 411, 414,510, 513, 516, 612, 615, 711, 714 .\nA\n49\nΩ =\n16\nA =\n( )\n16\n49\nA\nP A =\nΩ\n16\n49\nIII sposób\nRysujemy drzewko rozważanego doświadczenia.\nPrawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe\nOdpowiedź: Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych\nliczb będzie liczbą podzielną przez 3, jest równe\nUwaga\nZdający może narysować drzewo probabilistyczne, w którym na każdym z etapów lub\nna jednym z etapów rozważa każdą możliwą do wylosowania liczbę oddzielnie. Przykład\ntakiego drzewa znajduje się poniżej.\n( )\n3 2\n2 3\n2 2\n16\n7 7\n7 7\n7 7\n49\nP A =\n⋅\n⋅\n⋅\n16\n49\nPrawdopodobieństwo zdarzenia A może być obliczone w następujący sposób:\nSchemat punktowania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 p.\nZdający\n• zapisze, że\nalbo\n• zapisze, że suma cyfr utworzonej sumy wylosowanych liczb musi być podzielna\nprzez 3,\nalbo\n• poda sposób obliczania\n, np. przyjmie porządek przy wyznaczaniu sum podzielnych\nprzez 3 oraz wyznaczy przynajmniej 4 zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A\ni nie zaliczy do zbioru A niewłaściwego zdarzenia elementarnego,\nalbo\n• przedstawi graficznie model doświadczenia z 49 zdarzeniami elementarnymi, np.\nnarysuje tabelę z 7 kolumnami i 7 wierszami,\nalbo\n• narysuje drzewko doświadczenia:\n1. składające się ze wszystkich 49 gałęzi\nalbo\n2. składające się z mniej niż 49 gałęzi, ale wskaże na nim gałęzie odpowiadające\nwylosowaniu w pierwszym etapie dwóch spośród 7 liczb: 100, 200, 300, 400, 500,\n600, 700 oraz wylosowaniu w drugim etapie odpowiednich liczb dających z liczbą\nwylosowaną w pierwszym etapie sumę podzielną przez 3\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający\n• zapisze wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A\nalbo\n• zapisze, że\ni zapisze, że suma cyfr utworzonej sumy wylosowanych liczb\nmusi być podzielna przez 3,\nalbo\n• zapisze, że\ni poda sposób obliczania\n, np. przyjmie porządek przy\nwyznaczaniu sum podzielnych przez 3, wyznaczy przynajmniej 4 zdarzenia elementarne\nsprzyjające zdarzeniu A, ale nie zaliczy do zbioru A niewłaściwego zdarzenia\nelementarnego,\nalbo\n• przedstawi graficznie model doświadczenia z 49 zdarzeniami elementarnymi, np.\nnarysuje tabelę z 7 kolumnami i 7 wierszami oraz zapisze, że\n,\n( )\n1 2\n1 3\n16\n5\n2\n7 7\n7 7\n49\nP A = ⋅\n⋅\n+ ⋅\n⋅\n7 7\nΩ =\n⋅\nA\n7 7\nΩ =\n⋅\n7 7\nΩ =\n⋅\nA\n7 7\nΩ =\n⋅\nalbo\n• narysuje drzewko doświadczenia:\n1. składające się ze wszystkich 49 gałęzi i zapisze prawdopodobieństwa na co\nnajmniej jednym odcinku każdego z etapów\nalbo\n2. składające się z mniej niż 49 gałęzi, ale wskaże na nim gałęzie odpowiadające\nwylosowaniu w pierwszym etapie dwóch spośród 7 liczb: 100, 200, 300, 400, 500,\n600, 700 oraz wylosowaniu w drugim etapie odpowiednich liczb dających z liczbą\nwylosowaną w pierwszym etapie sumę podzielną przez 3 i zapisze\nprawdopodobieństwa na co najmniej jednym odcinku każdego z etapów;\nalbo\n• narysuje drzewko doświadczenia, w którym wskaże wszystkie gałęzie odpowiadające\nzdarzeniu A\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający\n• zapisze, że\noraz zapisze wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające\nzdarzeniu A, ale nie zaliczy do zbioru A niewłaściwego zdarzenia elementarnego\nalbo\n• zapisze, że\noraz zapisze, że\ni przedstawi sposób obliczenia tej\nliczby, np. zapisze, że suma cyfr utworzonej sumy wylosowanych liczb musi być\npodzielna przez 3 i wskaże w dowolny sposób przykładowe zdarzenie elementarne lub\nprzyjmie porządek przy wyznaczaniu sum podzielnych przez 3 i wyznaczy\nprzynajmniej 4 zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A, ale nie zaliczy do zbioru\nA niewłaściwego zdarzenia elementarnego,\nalbo\n• przedstawi graficznie model doświadczenia z 49 zdarzeniami elementarnymi (np.\nnarysuje tabelę z 7 kolumnami i 7 wierszami), zapisze\n, oraz zaznaczy 16\nzdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A i żadnych innych zdarzeń\nelementarnych nie zaliczy do A,\nalbo\n• narysuje drzewko doświadczenia, w którym wystąpią wszystkie gałęzie odpowiadające\nzdarzeniu A wraz z prawdopodobieństwami oraz poprawnie zastosuje regułę drzewka\ndo obliczenia prawdopodobieństwa\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A:\nUwagi\n1. Jeżeli zdający uzyska w wyniku końcowym liczbę spoza przedziału\n, to może\notrzymać co najwyżej 2 punkty.\n7 7\nΩ =\n⋅\n7 7\nΩ =\n⋅\n16\nA =\n7 7\nΩ =\n⋅\n( )\nP A\n( )\n16\n49\nA\nP A =\nΩ\n0,1\n2. Jeżeli zdający w swoim rozwiązaniu wypisze 17 zdarzeń elementarnych sprzyjających\nzdarzeniu A, w tym 16 poprawnych i jedno niepoprawne oraz otrzyma\nprawdopodobieństwo równe\n, to otrzymuje 2 punkty.\n3. Jeżeli zdający w swoim rozwiązaniu wypisze 15 poprawnych zdarzeń elementarnych\nsprzyjających zdarzeniu A i otrzyma prawdopodobieństwo równe\n, to otrzymuje\n2 punkty.\n4. Jeżeli zdający w swoim rozwiązaniu przyjmie błędną liczbę wszystkich zdarzeń\nelementarnych i nie jest to efekt błędu rachunkowego, np. przyjmie\n, to może\notrzymać co najwyżej 2 punkty.\n5. Jeżeli zdający w swoim rozwiązaniu zapisze jedynie\n,\ni nie przedstawi\nczytelnego uzasadnienia liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A,\ni obliczy\n, to otrzymuje 1 punkt.\n6. Jeżeli zdający w swoim rozwiązaniu zapisze\n,\noraz zapisze, że suma\ncyfr utworzonej sumy wylosowanych liczb musi być podzielna przez 3, ale\nw przedstawionym\nrozwiązaniu\nnie\nmożna\nzidentyfikować\nżadnego\nzdarzenia\nelementarnego, które zdający powinien rozważać, to otrzymuje 2 punkty, nawet jeśli\nw rozwiązaniu występuje poprawny wynik końcowy.\n7. Jeżeli zdający w swoim rozwiązaniu wypisze 16 zdarzeń elementarnych sprzyjających\nzdarzeniu A, w tym 15 poprawnych i jedno niewłaściwe i konsekwentnie rozwiąże\nzadanie do końca, to otrzymuje 2 punkty.","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\nPrawdopodobieństwo wynosi \\(\\frac{1}{8}\\).\n\n## Sposób 1 - Analiza warunków i zliczanie par (a, b)\n\n**Przestrzeń zdarzeń elementarnych:**\n\nLosujemy niezależnie \\(a\\) z \\(A = \\{-3, -2, -1, 1, 2, 3\\}\\) i \\(b\\) z \\(B = \\{-1, 0, 1, 2\\}\\).\n\nLiczba wszystkich możliwych par \\((a, b)\\):\n\\[|\\Omega| = |A| \\cdot |B| = 6 \\cdot 4 = 24\\]\n\n**Warunek 1 - funkcja jest rosnąca:**\n\nFunkcja liniowa \\(f(x) = ax + b\\) jest rosnąca \\(\\iff a > 0\\).\n\nZ \\(A\\): wartości dodatnie to \\(\\{1, 2, 3\\}\\) - **3 możliwe wartości** \\(a\\).\n\n**Warunek 2 - funkcja ma dodatnie miejsce zerowe:**\n\nMiejsce zerowe: \\(f(x_0) = 0 \\implies ax_0 + b = 0 \\implies x_0 = -\\frac{b}{a}\\)\n\nChcemy \\(x_0 > 0\\), czyli:\n\\[-\\frac{b}{a} > 0\\]\n\nSkoro już wiemy, że \\(a > 0\\) (warunek 1), wystarczy:\n\\[-b > 0 \\implies b < 0\\]\n\nZ \\(B = \\{-1, 0, 1, 2\\}\\): wartości ujemne to wyłącznie \\(\\{-1\\}\\) - **1 możliwa wartość** \\(b\\).\n\n> Uwaga: gdy \\(b = 0\\), zero funkcji jest w \\(x_0 = 0\\) - nie jest dodatnie!\n\n**Liczba sprzyjających par:**\n\\[|A_{\\text{spr}}| = 3 \\cdot 1 = 3\\]\n\nKonkretne pary: \\((1, -1),\\ (2, -1),\\ (3, -1)\\).\n\n**Prawdopodobieństwo:**\n\\[\\boxed{P = \\frac{3}{24} = \\frac{1}{8}}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez wypisanie wszystkich sprzyjających przypadków\n\nWypisujemy WSZYSTKIE pary \\((a, b)\\), które spełniają oba warunki:\n\n| Para \\((a, b)\\) | Funkcja | Rosnąca? | Zero \\(x_0 = -\\frac{b}{a}\\) | Dodatnie? |\n| \\((1, -1)\\) | \\(f(x) = x - 1\\) | TAK | \\(x_0 = 1\\) | ✅ |\n| \\((2, -1)\\) | \\(f(x) = 2x - 1\\) | TAK | \\(x_0 = \\frac{1}{2}\\) | ✅ |\n| \\((3, -1)\\) | \\(f(x) = 3x - 1\\) | TAK | \\(x_0 = \\frac{1}{3}\\) | ✅ |\n\nTylko **3 pary** spełniają oba warunki spośród 24.\n\n\\[P = \\frac{3}{24} = \\frac{1}{8}\\]\n\nWynik zgodny ze Sposobem 1. ✅\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\nUżyliśmy go do wyznaczenia \\(P = \\frac{3}{24}\\) - liczba zdarzeń sprzyjających podzielona przez liczbę wszystkich równie prawdopodobnych zdarzeń elementarnych.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A | Zaliczono \\(b = 0\\) jako dające dodatnie zero (\\(x_0 = 0\\) nie jest dodatnie!) → \\(\\frac{6}{24} = \\frac{1}{4}\\) |\n| C | Policzono tylko warunek rosnącości bez warunku na zero → \\(\\frac{12}{24} = \\frac{1}{2}\\) |\n| D | Wzięto \\(|A| \\cdot |B| = 6 \\cdot 4 = 24\\) poprawnie, ale do sprzyjających doliczono ujemne \\(a\\) z ujemnym \\(b\\) (zapominając, że \\(a < 0\\) daje funkcję malejącą) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(x_0 = 0\\) to **nie** jest dodatnie miejsce zerowe! Wyraz wolny \\(b = 0\\) daje zero dokładnie w \\(x = 0\\), co nie spełnia warunku.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy \\(a < 0\\) i \\(b < 0\\) zero wynosi \\(x_0 = -\\frac{b}{a} = \\frac{|b|}{|a|} > 0\\) - jest dodatnie! Ale funkcja jest wtedy **malejąca**, więc ten przypadek odpada.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo zapomnieć, że oba warunki muszą być spełnione **jednocześnie** - to iloczyn logiczny, nie suma. Nie dodajemy przypadków sprzyjających każdemu warunkowi osobno, tylko szukamy ich wspólnej części.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(P(Z) = \\dfrac{1}{8}\\)**\n\n### Sposób 1 - Klasyczne zliczenie\n**Przestrzeń zdarzeń.** Para uporządkowana \\((a, b)\\), gdzie \\(a \\in A\\) i \\(b \\in B\\). Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych:\n\\[|\\Omega| = |A|\\cdot|B| = 6\\cdot 4 = 24.\\]\n\n**Warunki na zdarzenie \\(Z\\):**\n1. Funkcja \\(f(x) = ax + b\\) jest **rosnąca** \\(\\iff a > 0\\). Z \\(A\\): \\(a \\in \\{1, 2, 3\\}\\).\n2. Funkcja ma **dodatnie miejsce zerowe**. Miejsce zerowe: \\(x_0 = -\\tfrac{b}{a}\\). Warunek \\(x_0 > 0\\) wymaga, by \\(-\\tfrac{b}{a} > 0\\), a skoro \\(a > 0\\), to \\(b < 0\\). Z \\(B\\): \\(b = -1\\).\n\nZdarzenia sprzyjające: \\(Z = \\{(1,-1), (2,-1), (3,-1)\\}\\), \\(|Z| = 3\\).\n\n**Prawdopodobieństwo:**\n\\[P(Z) = \\tfrac{|Z|}{|\\Omega|} = \\tfrac{3}{24} = \\tfrac{1}{8}.\\]\n\n### Sposób 2 - Reguła mnożenia\n\\(P(a > 0) = \\tfrac{3}{6} = \\tfrac{1}{2}\\) (trzy z sześciu wartości \\(a\\)). \\(P(b = -1) = \\tfrac{1}{4}\\). Losowania są niezależne:\n\\[P(Z) = \\tfrac{1}{2}\\cdot\\tfrac{1}{4} = \\tfrac{1}{8}.\\]\n\n### Uwagi o punktacji (wg schematu CKE)\n- **1 pkt:** obliczenie \\(|\\Omega| = 24\\), LUB zapisanie \\(a \\in \\{1,2,3\\}\\), LUB zapisanie \\(b = -1\\).\n- **2 pkt:** obliczenie \\(|\\Omega| = 24\\) i zapisanie \\(a \\in \\{1,2,3\\}\\); LUB zapisanie \\(a \\in \\{1,2,3\\}\\) oraz \\(b = -1\\).\n- **3 pkt:** wyznaczenie zbioru \\(Z = \\{(1,-1),(2,-1),(3,-1)\\}\\) i \\(|\\Omega| = 24\\); LUB zapisanie \\(|Z| = 3\\), \\(a \\in \\{1,2,3\\}, b=-1\\).\n- **4 pkt:** pełne obliczenie: \\(P(Z) = \\tfrac{1}{8}\\).\n\n**Trik:** Warunek \\(-\\tfrac{b}{a} > 0\\) przy \\(a > 0\\) sprowadza się do \\(b < 0\\). Warunki na \\(a\\) i \\(b\\) są niezależne.","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":22,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 33. (4 pkt)<br>Dane są dwa zbiory:<br>{<br>}<br>100, 200, 300, 400, 500, 600, 700<br>A =<br>i<br>{<br>}<br>10,11,12,13,14,15,16<br>B =<br>Z każdego z nich losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na<br>tym, że suma wylosowanych liczb będzie podzielna przez 3. Obliczone prawdopodobieństwo<br>zapisz w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego.</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>MMA_1P<br>Odpowiedź:<br>Wypełnia<br>egzaminator<br>Nr zadania<br>33.<br>Maks. liczba pkt<br>4<br>Uzyskana liczba pkt</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>MMA_1P</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 33. (0-2)<br>III. Modelowanie<br>matematyczne.</p>\n<ol><li>Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa</li></ol>\n<p>i kombinatoryka. Zdający wykorzystuje własności<br>prawdopodobieństwa i stosuje twierdzenie znane jako klasyczna<br>definicja prawdopodobieństwa do obliczania prawdopodobieństw<br>zdarzeń (10.d).<br>Przykładowe rozwiązania<br>I sposób<br>Zdarzeniem elementarnym jest uporządkowana para<br>, gdzie<br>i<br>. Zatem zbiór<br>wszystkich zdarzeń elementarnych ma postać:<br>Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa<br>Niech A oznacza zdarzenie polegające na tym, że suma wylosowanych liczb będzie podzielna<br>przez 3. Z cechy podzielności liczby całkowitej przez 3 wynika, że suma cyfr otrzymanej liczby<br>musi być podzielna przez 3. Zbiór A ma postać:<br>Zdarzeniu A sprzyja więc 16 zdarzeń elementarnych, czyli<br>Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe<br>Odpowiedź: Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych<br>liczb będzie liczbą podzielną przez 3, jest równe<br>(<br>)<br>,x y<br>x<br>A<br>∈<br>y<br>B<br>∈<br>(<br>) (<br>) (<br>) (<br>) (<br>) (<br>) (<br>)<br>{<br>(<br>) (<br>) (<br>) (<br>) (<br>) (<br>) (<br>)<br>(<br>) (<br>) (<br>) (<br>) (<br>) (<br>) (<br>)<br>(<br>) (<br>) (<br>) (<br>) (<br>) (<br>) (<br>)<br>100,10 , 100,11 , 100,12 , 100,13 , 100,14 , 100,15 , 100,16 ,<br>200,10 , 200,11 , 200,12 , 200,13 , 200,14 , 200,15 , 200,16 ,<br>300,10 , 300,11 , 300,12 , 300,13 , 300,14 , 300,15 , 300,16 ,<br>400,10 , 400,11 , 400,12 , 400,13 , 400,14 , 400,15 , 400,16 ,<br>50<br>Ω =<br>(<br>) (<br>) (<br>) (<br>) (<br>) (<br>) (<br>)<br>(<br>) (<br>) (<br>) (<br>) (<br>) (<br>) (<br>)<br>(<br>) (<br>) (<br>) (<br>) (<br>) (<br>) (<br>)}<br>0,10 , 500,11 , 500,12 , 500,13 , 500,14 , 500,15 , 500,16 ,<br>600,10 , 600,11 , 600,12 , 600,13 , 600,14 , 600,15 , 600,16 ,<br>700,10 , 700,11 , 700,12 , 700,13 , 700,14 , 700,15 , 700,16<br>7 7<br>49<br>Ω =<br>⋅<br>x<br>y<br>(<br>) (<br>)<br>{<br>(<br>) (<br>) (<br>)<br>(<br>) (<br>) (<br>) (<br>) (<br>)<br>(<br>) (<br>) (<br>) (<br>) (<br>) (<br>)}<br>100,11 , 100,14 , 200,10 , 200,13 , 200,16 ,<br>300,12 , 300,15 , 400,11 , 400,14 , 500,10 ,<br>500,13 , 500,16 , 600,12 , 600,15 , 700,11 , 700,14<br>A =<br>16<br>A =<br>( )<br>16<br>49<br>A<br>P A =<br>Ω<br>16<br>49<br>Uwaga<br>Zdający może zapisać zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych jako zbiór sum możliwych<br>do utworzenia w wyniku losowania, tzn. może zastosować zapis:<br>Wtedy zbiór<br>II sposób<br>Rysujemy tabelę, która przedstawia model rozważanego doświadczenia.<br>100<br>200<br>300<br>400<br>500<br>600<br>700<br>10<br><br><br>11<br><br><br><br>12<br><br><br>13<br><br><br>14<br><br><br><br>15<br><br><br>16<br><br><br>Zdarzeniom elementarnym odpowiadają komórki tej tabeli. Jest ich 49, zatem<br>Symbolem  zaznaczamy te zdarzenia elementarne, które sprzyjają zdarzeniu A,<br>polegającemu na tym, że suma wylosowanych liczb jest podzielna przez 3.<br>Zdarzeniu A sprzyja więc 16 zdarzeń elementarnych, czyli<br>Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe<br>Odpowiedź: Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych<br>liczb będzie liczbą podzielną przez 3, jest równe<br>{<br>}<br>110,111,112,113,114,115,116,<br>210, 211, 212, 213, 214, 215, 216,<br>310, 311, 312, 313, 314, 315, 316,<br>410, 411, 412, 413, 414, 415, 416,<br>510, 511, 512, 513, 514, 515, 516,<br>610, 611, 612, 613, 614, 615, 616,<br>710, 711, 712, 713, 714, 715, 716 .<br>Ω =<br>{<br>}<br>111,114, 210, 213, 216, 312, 315, 411, 414,510, 513, 516, 612, 615, 711, 714 .<br>A<br>49<br>Ω =<br>16<br>A =<br>( )<br>16<br>49<br>A<br>P A =<br>Ω<br>16<br>49<br>III sposób<br>Rysujemy drzewko rozważanego doświadczenia.<br>Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe<br>Odpowiedź: Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych<br>liczb będzie liczbą podzielną przez 3, jest równe<br>Uwaga<br>Zdający może narysować drzewo probabilistyczne, w którym na każdym z etapów lub<br>na jednym z etapów rozważa każdą możliwą do wylosowania liczbę oddzielnie. Przykład<br>takiego drzewa znajduje się poniżej.<br>( )<br>3 2<br>2 3<br>2 2<br>16<br>7 7<br>7 7<br>7 7<br>49<br>P A =<br>⋅<br>⋅<br>⋅<br>16<br>49<br>Prawdopodobieństwo zdarzenia A może być obliczone w następujący sposób:<br>Schemat punktowania<br>Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego<br>rozwiązania 1 p.<br>Zdający<br>• zapisze, że<br>albo<br>• zapisze, że suma cyfr utworzonej sumy wylosowanych liczb musi być podzielna<br>przez 3,<br>albo<br>• poda sposób obliczania<br>, np. przyjmie porządek przy wyznaczaniu sum podzielnych<br>przez 3 oraz wyznaczy przynajmniej 4 zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A<br>i nie zaliczy do zbioru A niewłaściwego zdarzenia elementarnego,<br>albo<br>• przedstawi graficznie model doświadczenia z 49 zdarzeniami elementarnymi, np.<br>narysuje tabelę z 7 kolumnami i 7 wierszami,<br>albo<br>• narysuje drzewko doświadczenia:</p>\n<ol><li>składające się ze wszystkich 49 gałęzi</li></ol>\n<p>albo</p>\n<ol><li>składające się z mniej niż 49 gałęzi, ale wskaże na nim gałęzie odpowiadające</li></ol>\n<p>wylosowaniu w pierwszym etapie dwóch spośród 7 liczb: 100, 200, 300, 400, 500,<br>600, 700 oraz wylosowaniu w drugim etapie odpowiednich liczb dających z liczbą<br>wylosowaną w pierwszym etapie sumę podzielną przez 3<br>i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.<br>Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.<br>Zdający<br>• zapisze wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A<br>albo<br>• zapisze, że<br>i zapisze, że suma cyfr utworzonej sumy wylosowanych liczb<br>musi być podzielna przez 3,<br>albo<br>• zapisze, że<br>i poda sposób obliczania<br>, np. przyjmie porządek przy<br>wyznaczaniu sum podzielnych przez 3, wyznaczy przynajmniej 4 zdarzenia elementarne<br>sprzyjające zdarzeniu A, ale nie zaliczy do zbioru A niewłaściwego zdarzenia<br>elementarnego,<br>albo<br>• przedstawi graficznie model doświadczenia z 49 zdarzeniami elementarnymi, np.<br>narysuje tabelę z 7 kolumnami i 7 wierszami oraz zapisze, że<br>,<br>( )<br>1 2<br>1 3<br>16<br>5<br>2<br>7 7<br>7 7<br>49<br>P A = ⋅<br>⋅</p>\n<ul><li>⋅</li></ul>\n<p>⋅<br>7 7<br>Ω =<br>⋅<br>A<br>7 7<br>Ω =<br>⋅<br>7 7<br>Ω =<br>⋅<br>A<br>7 7<br>Ω =<br>⋅<br>albo<br>• narysuje drzewko doświadczenia:</p>\n<ol><li>składające się ze wszystkich 49 gałęzi i zapisze prawdopodobieństwa na co</li></ol>\n<p>najmniej jednym odcinku każdego z etapów<br>albo</p>\n<ol><li>składające się z mniej niż 49 gałęzi, ale wskaże na nim gałęzie odpowiadające</li></ol>\n<p>wylosowaniu w pierwszym etapie dwóch spośród 7 liczb: 100, 200, 300, 400, 500,<br>600, 700 oraz wylosowaniu w drugim etapie odpowiednich liczb dających z liczbą<br>wylosowaną w pierwszym etapie sumę podzielną przez 3 i zapisze<br>prawdopodobieństwa na co najmniej jednym odcinku każdego z etapów;<br>albo<br>• narysuje drzewko doświadczenia, w którym wskaże wszystkie gałęzie odpowiadające<br>zdarzeniu A<br>i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.<br>Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.<br>Zdający<br>• zapisze, że<br>oraz zapisze wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające<br>zdarzeniu A, ale nie zaliczy do zbioru A niewłaściwego zdarzenia elementarnego<br>albo<br>• zapisze, że<br>oraz zapisze, że<br>i przedstawi sposób obliczenia tej<br>liczby, np. zapisze, że suma cyfr utworzonej sumy wylosowanych liczb musi być<br>podzielna przez 3 i wskaże w dowolny sposób przykładowe zdarzenie elementarne lub<br>przyjmie porządek przy wyznaczaniu sum podzielnych przez 3 i wyznaczy<br>przynajmniej 4 zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A, ale nie zaliczy do zbioru<br>A niewłaściwego zdarzenia elementarnego,<br>albo<br>• przedstawi graficznie model doświadczenia z 49 zdarzeniami elementarnymi (np.<br>narysuje tabelę z 7 kolumnami i 7 wierszami), zapisze<br>, oraz zaznaczy 16<br>zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A i żadnych innych zdarzeń<br>elementarnych nie zaliczy do A,<br>albo<br>• narysuje drzewko doświadczenia, w którym wystąpią wszystkie gałęzie odpowiadające<br>zdarzeniu A wraz z prawdopodobieństwami oraz poprawnie zastosuje regułę drzewka<br>do obliczenia prawdopodobieństwa<br>i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.<br>Rozwiązanie pełne 4 p.<br>Zdający obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A:<br>Uwagi</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający uzyska w wyniku końcowym liczbę spoza przedziału</li></ol>\n<p>, to może<br>otrzymać co najwyżej 2 punkty.<br>7 7<br>Ω =<br>⋅<br>7 7<br>Ω =<br>⋅<br>16<br>A =<br>7 7<br>Ω =<br>⋅<br>( )<br>P A<br>( )<br>16<br>49<br>A<br>P A =<br>Ω<br>0,1</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający w swoim rozwiązaniu wypisze 17 zdarzeń elementarnych sprzyjających</li></ol>\n<p>zdarzeniu A, w tym 16 poprawnych i jedno niepoprawne oraz otrzyma<br>prawdopodobieństwo równe<br>, to otrzymuje 2 punkty.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający w swoim rozwiązaniu wypisze 15 poprawnych zdarzeń elementarnych</li></ol>\n<p>sprzyjających zdarzeniu A i otrzyma prawdopodobieństwo równe<br>, to otrzymuje<br>2 punkty.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający w swoim rozwiązaniu przyjmie błędną liczbę wszystkich zdarzeń</li></ol>\n<p>elementarnych i nie jest to efekt błędu rachunkowego, np. przyjmie<br>, to może<br>otrzymać co najwyżej 2 punkty.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający w swoim rozwiązaniu zapisze jedynie</li></ol>\n<p>,<br>i nie przedstawi<br>czytelnego uzasadnienia liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A,<br>i obliczy<br>, to otrzymuje 1 punkt.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający w swoim rozwiązaniu zapisze</li></ol>\n<p>,<br>oraz zapisze, że suma<br>cyfr utworzonej sumy wylosowanych liczb musi być podzielna przez 3, ale<br>w przedstawionym<br>rozwiązaniu<br>nie<br>można<br>zidentyfikować<br>żadnego<br>zdarzenia<br>elementarnego, które zdający powinien rozważać, to otrzymuje 2 punkty, nawet jeśli<br>w rozwiązaniu występuje poprawny wynik końcowy.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający w swoim rozwiązaniu wypisze 16 zdarzeń elementarnych sprzyjających</li></ol>\n<p>zdarzeniu A, w tym 15 poprawnych i jedno niewłaściwe i konsekwentnie rozwiąże<br>zadanie do końca, to otrzymuje 2 punkty.</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B</h4>\n<p>Prawdopodobieństwo wynosi \\(\\frac{1}{8}\\).</p>\n<h4>Sposób 1 - Analiza warunków i zliczanie par (a, b)</h4>\n<p><strong>Przestrzeń zdarzeń elementarnych:</strong></p>\n<p>Losujemy niezależnie \\(a\\) z \\(A = \\{-3, -2, -1, 1, 2, 3\\}\\) i \\(b\\) z \\(B = \\{-1, 0, 1, 2\\}\\).</p>\n<p>Liczba wszystkich możliwych par \\((a, b)\\):<br>\\[|\\Omega| = |A| \\cdot |B| = 6 \\cdot 4 = 24\\]</p>\n<p><strong>Warunek 1 - funkcja jest rosnąca:</strong></p>\n<p>Funkcja liniowa \\(f(x) = ax + b\\) jest rosnąca \\(\\iff a &gt; 0\\).</p>\n<p>Z \\(A\\): wartości dodatnie to \\(\\{1, 2, 3\\}\\) - <strong>3 możliwe wartości</strong> \\(a\\).</p>\n<p><strong>Warunek 2 - funkcja ma dodatnie miejsce zerowe:</strong></p>\n<p>Miejsce zerowe: \\(f(x_0) = 0 \\implies ax_0 + b = 0 \\implies x_0 = -\\frac{b}{a}\\)</p>\n<p>Chcemy \\(x_0 &gt; 0\\), czyli:<br>\\[-\\frac{b}{a} &gt; 0\\]</p>\n<p>Skoro już wiemy, że \\(a &gt; 0\\) (warunek 1), wystarczy:<br>\\[-b &gt; 0 \\implies b &lt; 0\\]</p>\n<p>Z \\(B = \\{-1, 0, 1, 2\\}\\): wartości ujemne to wyłącznie \\(\\{-1\\}\\) - <strong>1 możliwa wartość</strong> \\(b\\).</p>\n<blockquote>Uwaga: gdy \\(b = 0\\), zero funkcji jest w \\(x_0 = 0\\) - nie jest dodatnie!</blockquote>\n<p><strong>Liczba sprzyjających par:</strong><br>\\[|A_{\\text{spr}}| = 3 \\cdot 1 = 3\\]</p>\n<p>Konkretne pary: \\((1, -1),\\ (2, -1),\\ (3, -1)\\).</p>\n<p><strong>Prawdopodobieństwo:</strong><br>\\[\\boxed{P = \\frac{3}{24} = \\frac{1}{8}}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez wypisanie wszystkich sprzyjających przypadków</h4>\n<p>Wypisujemy WSZYSTKIE pary \\((a, b)\\), które spełniają oba warunki:</p>\n<p>| Para \\((a, b)\\) | Funkcja | Rosnąca? | Zero \\(x_0 = -\\frac{b}{a}\\) | Dodatnie? |<br>| \\((1, -1)\\) | \\(f(x) = x - 1\\) | TAK | \\(x_0 = 1\\) | ✅ |<br>| \\((2, -1)\\) | \\(f(x) = 2x - 1\\) | TAK | \\(x_0 = \\frac{1}{2}\\) | ✅ |<br>| \\((3, -1)\\) | \\(f(x) = 3x - 1\\) | TAK | \\(x_0 = \\frac{1}{3}\\) | ✅ |</p>\n<p>Tylko <strong>3 pary</strong> spełniają oba warunki spośród 24.</p>\n<p>\\[P = \\frac{3}{24} = \\frac{1}{8}\\]</p>\n<p>Wynik zgodny ze Sposobem 1. ✅</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)</strong> - prawdopodobieństwo klasyczne:<br>\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]<br>Użyliśmy go do wyznaczenia \\(P = \\frac{3}{24}\\) - liczba zdarzeń sprzyjających podzielona przez liczbę wszystkich równie prawdopodobnych zdarzeń elementarnych.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |<br>| A | Zaliczono \\(b = 0\\) jako dające dodatnie zero (\\(x_0 = 0\\) nie jest dodatnie!) → \\(\\frac{6}{24} = \\frac{1}{4}\\) |<br>| C | Policzono tylko warunek rosnącości bez warunku na zero → \\(\\frac{12}{24} = \\frac{1}{2}\\) |<br>| D | Wzięto \\(|A| \\cdot |B| = 6 \\cdot 4 = 24\\) poprawnie, ale do sprzyjających doliczono ujemne \\(a\\) z ujemnym \\(b\\) (zapominając, że \\(a &lt; 0\\) daje funkcję malejącą) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\(x_0 = 0\\) to <strong>nie</strong> jest dodatnie miejsce zerowe! Wyraz wolny \\(b = 0\\) daje zero dokładnie w \\(x = 0\\), co nie spełnia warunku.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy \\(a &lt; 0\\) i \\(b &lt; 0\\) zero wynosi \\(x_0 = -\\frac{b}{a} = \\frac{|b|}{|a|} &gt; 0\\) - jest dodatnie! Ale funkcja jest wtedy <strong>malejąca</strong>, więc ten przypadek odpada.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Łatwo zapomnieć, że oba warunki muszą być spełnione <strong>jednocześnie</strong> - to iloczyn logiczny, nie suma. Nie dodajemy przypadków sprzyjających każdemu warunkowi osobno, tylko szukamy ich wspólnej części.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: \\(P(Z) = \\dfrac{1}{8}\\)</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Klasyczne zliczenie</h5>\n<p><strong>Przestrzeń zdarzeń.</strong> Para uporządkowana \\((a, b)\\), gdzie \\(a \\in A\\) i \\(b \\in B\\). Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych:<br>\\[|\\Omega| = |A|\\cdot|B| = 6\\cdot 4 = 24.\\]</p>\n<p><strong>Warunki na zdarzenie \\(Z\\):</strong></p>\n<ol><li>Funkcja \\(f(x) = ax + b\\) jest <strong>rosnąca</strong> \\(\\iff a &gt; 0\\). Z \\(A\\): \\(a \\in \\{1, 2, 3\\}\\).</li><li>Funkcja ma <strong>dodatnie miejsce zerowe</strong>. Miejsce zerowe: \\(x_0 = -\\tfrac{b}{a}\\). Warunek \\(x_0 &gt; 0\\) wymaga, by \\(-\\tfrac{b}{a} &gt; 0\\), a skoro \\(a &gt; 0\\), to \\(b &lt; 0\\). Z \\(B\\): \\(b = -1\\).</li></ol>\n<p>Zdarzenia sprzyjające: \\(Z = \\{(1,-1), (2,-1), (3,-1)\\}\\), \\(|Z| = 3\\).</p>\n<p><strong>Prawdopodobieństwo:</strong><br>\\[P(Z) = \\tfrac{|Z|}{|\\Omega|} = \\tfrac{3}{24} = \\tfrac{1}{8}.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Reguła mnożenia</h5>\n<p>\\(P(a &gt; 0) = \\tfrac{3}{6} = \\tfrac{1}{2}\\) (trzy z sześciu wartości \\(a\\)). \\(P(b = -1) = \\tfrac{1}{4}\\). Losowania są niezależne:<br>\\[P(Z) = \\tfrac{1}{2}\\cdot\\tfrac{1}{4} = \\tfrac{1}{8}.\\]</p>\n<h5>Uwagi o punktacji (wg schematu CKE)</h5>\n<ul><li><strong>1 pkt:</strong> obliczenie \\(|\\Omega| = 24\\), LUB zapisanie \\(a \\in \\{1,2,3\\}\\), LUB zapisanie \\(b = -1\\).</li><li><strong>2 pkt:</strong> obliczenie \\(|\\Omega| = 24\\) i zapisanie \\(a \\in \\{1,2,3\\}\\); LUB zapisanie \\(a \\in \\{1,2,3\\}\\) oraz \\(b = -1\\).</li><li><strong>3 pkt:</strong> wyznaczenie zbioru \\(Z = \\{(1,-1),(2,-1),(3,-1)\\}\\) i \\(|\\Omega| = 24\\); LUB zapisanie \\(|Z| = 3\\), \\(a \\in \\{1,2,3\\}, b=-1\\).</li><li><strong>4 pkt:</strong> pełne obliczenie: \\(P(Z) = \\tfrac{1}{8}\\).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> Warunek \\(-\\tfrac{b}{a} &gt; 0\\) przy \\(a &gt; 0\\) sprowadza się do \\(b &lt; 0\\). Warunki na \\(a\\) i \\(b\\) są niezależne.</p>"}]}