Zadanie 34. (4 pkt)
Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny (zobacz rysunek). Pole powierzchni całkowitej
tego graniastosłupa jest równe 45 3 . Pole podstawy graniastosłupa jest równe polu jednej
ściany bocznej. Oblicz objętość tego graniastosłupa.
Poziom podstawowy
MMA_1P
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
34.
Maks. liczba pkt
4
Uzyskana liczba pkt
Poziom podstawowy
MMA_1P
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)
Zadanie 34. (0-4)
IV. Użycie i tworzenie
strategii.
w wielościanach (9.b).
\ni nierówności kwadratowe (3.a).
Przykładowe rozwiązanie
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.
Rozważany graniastosłup ma 5 ścian, a każda z nich ma takie samo pole. Obliczamy pole
podstawy, a zarazem pole jednej ściany bocznej:
Podstawą graniastosłupa jest trójkąt równoboczny, więc jego pole jest równe
17
49
15
49
7 6
Ω = ⋅
7 7
Ω =
⋅
16
A =
( )
16
49
A
P A =
Ω
7 7
Ω =
⋅
16
A =
45 3 :5
9 3.
2 3
4
ABC
a
P
Obliczamy długość krawędzi podstawy:
Ściana boczna jest prostokątem o bokach długości a i h, więc pole każdej ściany bocznej jest
równe
Z warunków zadania wynika, że:
Znamy długość krawędzi podstawy a, zatem:
Obliczamy wysokość graniastosłupa
Objętość graniastosłupa jest równa
Schemat punktowania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania zadania 1 p.
Zdający
• zapisze zależność między wielkościami a i h wynikającą z równości pól podstawy
i ściany bocznej graniastosłupa:
albo
• obliczy pole jednej ściany graniastosłupa:
,
albo
• zapisze równanie:
albo
• zapisze równania:
i
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.
Zdający
• zapisze równanie z jedną niewiadomą, pozwalające na wyznaczenie długości krawędzi
podstawy lub wysokości graniastosłupa i na tym zakończy lub dalej popełni błędy
albo
• uzależni objętość bryły od jednej zmiennej
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
2 3
9 3,
4
a
6
a =
ABED
P
ah
9 3
ah =
6
9 3
h =
3
2
3
h =
3 3
81
9 3
2
2
ABC
V
P
h
⋅
⋅
2 3
4
a
ah
45 3 :5
9 3
2 3
2
3
45 3
4
a
ah
⋅
1
2
3
45 3
2
⋅
p
ah
ah
1
2
p
ah
ah
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.
Zdający
• obliczy długość krawędzi podstawy i wysokość graniastosłupa:
,
albo
• obliczy długość krawędzi podstawy graniastosłupa:
i uzależni objętość bryły
od jednej zmiennej a lub obliczy wysokość graniastosłupa
i uzależni
objętość bryły od jednej zmiennej h
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie pełne 4 p.
Zdający obliczy objętość graniastosłupa:
Uwagi
rozwiązaniu są błędy rachunkowe, to otrzymuje 3 punkty.
\ntrójkąta równobocznego albo wzoru na pole prostokąta, to otrzymuje 2 punkty, o ile nie
popełnia innych błędów i rozwiąże zadanie do końca.
polem podstawy a polem ściany bocznej i w efekcie rozważa jeden z trzech przypadków:
,
,
, albo błąd, polegający na przyjęciu, że graniastosłup ma
trzy ściany boczne i jedną podstawę, to otrzymuje 2 punkty, o ile nie popełnia innych
błędów i rozwiąże zadanie do końca.
błędy rachunkowe, ale poprawnie obliczy pole jednej ściany albo realizuje strategię
rozwiązania, to otrzymuje co najwyżej 1 punkt.
ścian bryły, ale poprawnie obliczy pole jednej ściany albo realizuje strategię rozwiązania,
to otrzymuje co najwyżej 1 punkt.
otrzymać co najwyżej 1 punkt.
6
a =
3
2
3
h =
6
a =
3
2
3
h =
81
2
V =
2
ś
p
b
P
P
3
ś
p
b
P
P
2
3
ś
p
b
P
P
Ustawiamy dane. Kąt prosty jest przy wierzchołku \\(C\\), więc:
\nKorzystamy ze wzoru na promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny:
\n\\[r = \\frac{a + b - c}{2}\\]
\nPodstawiamy \\(r = 2\\), \\(b = 5\\):
\n\\[2 = \\frac{a + 5 - c}{2}\\]
\n\\[4 = a + 5 - c\\]
\n\\[c = a + 1\\]
\nStosujemy twierdzenie Pitagorasa:
\n\\[c^2 = a^2 + b^2 = a^2 + 25\\]
\nPodstawiamy \\(c = a + 1\\):
\n\\[(a+1)^2 = a^2 + 25\\]
\n\\[a^2 + 2a + 1 = a^2 + 25\\]
\n\\[2a = 24\\]
\n\\[\\mathbf{a = 12}\\]
\nA zatem \\(BC = 12\\), \\(c = AB = 13\\).
\nObliczamy pole:
\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot b = \\frac{1}{2} \\cdot 12 \\cdot 5 = \\boxed{30}\\]
\nIstnieje elegancki wzór wiążący pole trójkąta, promień okręgu wpisanego i półobwód:
\n\\[P = r \\cdot p, \\quad \\text{gdzie } p = \\frac{a + b + c}{2}\\]
\nZ Metody 1 wiemy, że \\(a = 12\\), \\(b = 5\\), \\(c = 13\\).
\nObliczamy półobwód:
\n\\[p = \\frac{12 + 5 + 13}{2} = \\frac{30}{2} = 15\\]
\nPole:
\n\\[P = r \\cdot p = 2 \\cdot 15 = \\mathbf{30}\\]
\nWynik zgodny - pole trójkąta \\(ACB = 30\\).
\nDział 10 (Planimetria, s. 15-16) - dla trójkąta prostokątnego:
\\[r = \\frac{a + b - c}{2}\\]
Użyliśmy tego w Sposobie 1, by powiązać promień wpisanego okręgu z bokami trójkąta.
Dział 10 (Planimetria, s. 15) - wzór ogólny na pole przez promień okręgu wpisanego:
\\[P = p \\cdot r, \\quad p = \\frac{a+b+c}{2}\\]
Użyliśmy w Sposobie 2 do weryfikacji.
Dział 10 (Planimetria, s. 15) - twierdzenie Pitagorasa:
\\[a^2 + b^2 = c^2\\]
Użyliśmy do wyznaczenia długości drugiej przyprostokątnej.
| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| A | Pomylenie wzoru: wzięcie \\(r = \\frac{a - b + c}{2}\\) zamiast \\(\\frac{a+b-c}{2}\\) - błędny znak przy \\(c\\) |
| C | Przyjęcie \\(r = \\frac{a + b - c}{2}\\), ale podstawienie \\(r\\) po obu stronach bez przeniesienia - błąd algebraiczny przy rozwiązywaniu układu |
| D | Policzenie pola jako \\(\\frac{1}{2} \\cdot c \\cdot b\\) (z przeciwprostokątną zamiast drugą przyprostokątną) - \\(\\frac{1}{2} \\cdot 13 \\cdot 5 = 32{,}5\\), a potem zaokrąglenie do 35 |
⚠️ Uwaga: Wzór \\(r = \\frac{a+b-c}{2}\\) dotyczy tylko trójkąta prostokątnego - nie stosuj go do innych trójkątów! W ogólnym przypadku używaj \\(P = r \\cdot p\\).\n
⚠️ Uwaga: Łatwo pomylić, który bok jest przeciwprostokątną. Pamiętaj: kąt prosty jest przy \\(C\\), więc przeciwprostokątna to \\(AB\\), a \\(AC\\) i \\(BC\\) to przyprostokątne.\n
⚠️ Uwaga: Po wyznaczeniu \\(a = 12\\) sprawdź Pitagorasa: \\(5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2\\) ✓ - to słynna trójka pitagorejska \\((5, 12, 13)\\).\n
Poprawna odpowiedź: \\(P_{ACB} = 30\\)
\nOznaczenia: \\(|AC| = 5\\), \\(|CB| = a\\) (druga przyprostokątna), \\(|AB| = c\\) (przeciwprostokątna), \\(r = 2\\).
\nPole trójkąta na dwa sposoby:
\\[P_{ACB} = \\tfrac{1}{2}\\cdot |AC|\\cdot |CB| = \\tfrac{1}{2}\\cdot 5\\cdot a = \\tfrac{5a}{2}.\\]
\\[P_{ACB} = p\\cdot r = \\tfrac{|AC|+|CB|+|AB|}{2}\\cdot r = \\tfrac{5+a+c}{2}\\cdot 2 = 5+a+c.\\]
Stąd równanie:
\\[\\tfrac{5a}{2} = 5 + a + c \\;\\Longrightarrow\\; c = \\tfrac{5a}{2} - a - 5 = \\tfrac{3a}{2} - 5.\\]
Z Pitagorasa: \\(5^2 + a^2 = c^2\\):
\\[25 + a^2 = \\left(\\tfrac{3a}{2} - 5\\right)^2 = \\tfrac{9a^2}{4} - 15a + 25\\]
\\[a^2 = \\tfrac{9a^2}{4} - 15a\\]
\\[\\tfrac{5a^2}{4} = 15a\\]
\\[a = 12 \\quad (a \\neq 0).\\]
Pole: \\(P_{ACB} = \\tfrac{5\\cdot 12}{2} = 30.\\)
\nDla trójkąta prostokątnego: \\(r = \\tfrac{|AC|+|CB|-|AB|}{2}\\) (promień okręgu wpisanego). Stąd:
\\[2 = \\tfrac{5 + a - c}{2} \\Rightarrow c = a + 1.\\]
Pitagoras: \\(25 + a^2 = (a+1)^2 = a^2 + 2a + 1\\), więc \\(2a = 24\\), \\(a = 12\\). Pole = \\(\\tfrac{1}{2}\\cdot 5\\cdot 12 = 30.\\)
Trik: Dla trójkąta prostokątnego \\(r = \\tfrac{a+b-c}{2}\\) (przyprostokątne \\(a, b\\), przeciwprostokątna \\(c\\)) - prościej niż liczenie półobwodu.
"}]}