{"id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (1 pkt)\nCena roweru po obniżce o 15% była równa 850 zł. Przed tą obniżką rower ten kosztował\nA. 865,00 zł\nB. 850,15 zł\nC. 1000,00 zł\nD. 977,50 zł","answer":"C","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający stosuje pojęcie\nprocentu i punktu procentowego w\nobliczeniach (1.d).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\nLiczba \\(\\log_{4} 96 - \\log_{4} 6 = 2\\)\n\n## Sposób 1 - własność logarytmu ilorazu\n\nKorzystamy z wzoru \\(\\log_a x - \\log_a y = \\log_a \\frac{x}{y}\\):\n\n\\[\\log_{4} 96 - \\log_{4} 6 = \\log_{4} \\frac{96}{6} = \\log_{4} 16\\]\n\nTeraz obliczamy \\(\\log_{4} 16\\). Pytamy: **do jakiej potęgi podnieść 4, żeby dostać 16?**\n\n\\[4^x = 16 \\implies 4^x = 4^2 \\implies x = 2\\]\n\nZatem:\n\n\\[\\log_{4} 16 = 2\\]\n\n**Wynik: \\(2\\)**\n\n## Sposób 2 - zamiana na potęgi dwójki\n\nZapiszmy wszystko w postaci potęg liczby 2:\n\\[96 = 2^5 \\cdot 3, \\quad 6 = 2 \\cdot 3, \\quad 4 = 2^2\\]\n\n\\[\\log_{4} 96 - \\log_{4} 6 = \\log_{2^2}(2^5 \\cdot 3) - \\log_{2^2}(2 \\cdot 3)\\]\n\nKorzystamy ze wzoru na zmianę podstawy: \\(\\log_{a^k} b = \\frac{1}{k}\\log_a b\\):\n\n\\[= \\frac{1}{2}\\log_2(2^5 \\cdot 3) - \\frac{1}{2}\\log_2(2 \\cdot 3)\\]\n\n\\[= \\frac{1}{2}\\bigl(\\log_2(2^5 \\cdot 3) - \\log_2(2 \\cdot 3)\\bigr)\\]\n\n\\[= \\frac{1}{2} \\cdot \\log_2 \\frac{2^5 \\cdot 3}{2 \\cdot 3} = \\frac{1}{2} \\cdot \\log_2 \\frac{2^5}{2}\\]\n\n\\[= \\frac{1}{2} \\cdot \\log_2 2^4 = \\frac{1}{2} \\cdot 4 = 2\\]\n\n**Wynik: \\(2\\)**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)** - własność różnicy logarytmów:\n\\[\\log_a\\left(\\frac{x}{y}\\right) = \\log_a x - \\log_a y\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1, by zamienić \\(\\log_4 96 - \\log_4 6\\) na \\(\\log_4 \\frac{96}{6}\\).\n\n**Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)** - definicja logarytmu:\n\\[\\log_a b = c \\iff a^c = b\\]\nUżyliśmy tego do obliczenia \\(\\log_4 16 = 2\\), bo \\(4^2 = 16\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Odjęto argumenty zamiast podzielić: \\(\\log_4 96 - \\log_4 6 \\neq \\log_4(96 - 6) = \\log_4 90\\). To klasyczna pomyłka - przy odejmowaniu logarytmów **dzielimy** argumenty, nie odejmujemy! |\n| B | Pomylono podstawę logarytmu - wynik to liczba 2, ale ktoś mógł wziąć \\(\\log_6 96\\) myśląc o stosunku liczb |\n| C | Błąd o 2 w górę - np. policzono \\(\\log_4 96 - \\log_4 6 = \\log_4(96 \\cdot 6)\\) (dodawanie zamiast odejmowania) i wyszło \\(\\log_4 576 = \\log_4 4^4 \\approx \\ldots\\) - albo po prostu zgadywano |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Różnica logarytmów to logarytm **ilorazu**, NIE różnicy: \\(\\log_a x - \\log_a y = \\log_a \\frac{x}{y}\\). Odruch \"odejmuję liczby pod logiem\" to najczęstszy błąd na maturze!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Żeby skorzystać ze wzoru \\(\\log_a x - \\log_a y\\), obie podstawy muszą być **takie same**. Tu obie to \\(4\\) - wszystko gra. Gdyby podstawy były różne, trzeba by najpierw zmienić podstawę.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\(\\log_4 16\\) warto sprawdzić: \\(4^1 = 4\\), \\(4^2 = 16\\), \\(4^3 = 64\\). Nie trzeba żadnych wzorów - to szybki rachunek pamięciowy.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Różnica logarytmów\nZe wzoru \\(\\log_a x - \\log_a y = \\log_a \\tfrac{x}{y}\\) (karta wzorów, Dział 1):\n\\[\\log_4 96 - \\log_4 6 = \\log_4 \\tfrac{96}{6} = \\log_4 16 = \\log_4 4^2 = 2.\\]\n\n### Sposób 2 - Rozbicie logarytmu\n\\(\\log_4 96 = \\log_4(16\\cdot 6) = \\log_4 16 + \\log_4 6 = 2 + \\log_4 6\\). Wtedy:\n\\[\\log_4 96 - \\log_4 6 = 2 + \\log_4 6 - \\log_4 6 = 2.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\log_4 90\\)** - ktoś odjął liczby \\(96 - 6 = 90\\) zamiast użyć własności logarytmu.\n- **B. \\(\\log_6 96\\)** - pomylenie zasad: podstawy nie zmieniamy przy odejmowaniu.\n- **C. 4** - ktoś obliczył \\(\\log_4 4^4\\) = 4 (błąd rachunkowy na \\(\\log_4 16\\)).\n\n**Trik:** Różnica logarytmów o tej samej podstawie = logarytm ilorazu.","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 4. (1 pkt)<br>Cena roweru po obniżce o 15% była równa 850 zł. Przed tą obniżką rower ten kosztował<br>A. 865,00 zł<br>B. 850,15 zł<br>C. 1000,00 zł<br>D. 977,50 zł</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 4. (0-1)<br>III. Modelowanie<br>matematyczne.</p>\n<ol><li>Liczby rzeczywiste. Zdający stosuje pojęcie</li></ol>\n<p>procentu i punktu procentowego w<br>obliczeniach (1.d).<br>Wersja<br>I<br>Wersja<br>II<br>C<br>A</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D</h4>\n<p>Liczba \\(\\log_{4} 96 - \\log_{4} 6 = 2\\)</p>\n<h4>Sposób 1 - własność logarytmu ilorazu</h4>\n<p>Korzystamy z wzoru \\(\\log_a x - \\log_a y = \\log_a \\frac{x}{y}\\):</p>\n<p>\\[\\log_{4} 96 - \\log_{4} 6 = \\log_{4} \\frac{96}{6} = \\log_{4} 16\\]</p>\n<p>Teraz obliczamy \\(\\log_{4} 16\\). Pytamy: <strong>do jakiej potęgi podnieść 4, żeby dostać 16?</strong></p>\n<p>\\[4^x = 16 \\implies 4^x = 4^2 \\implies x = 2\\]</p>\n<p>Zatem:</p>\n<p>\\[\\log_{4} 16 = 2\\]</p>\n<p><strong>Wynik: \\(2\\)</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - zamiana na potęgi dwójki</h4>\n<p>Zapiszmy wszystko w postaci potęg liczby 2:<br>\\[96 = 2^5 \\cdot 3, \\quad 6 = 2 \\cdot 3, \\quad 4 = 2^2\\]</p>\n<p>\\[\\log_{4} 96 - \\log_{4} 6 = \\log_{2^2}(2^5 \\cdot 3) - \\log_{2^2}(2 \\cdot 3)\\]</p>\n<p>Korzystamy ze wzoru na zmianę podstawy: \\(\\log_{a^k} b = \\frac{1}{k}\\log_a b\\):</p>\n<p>\\[= \\frac{1}{2}\\log_2(2^5 \\cdot 3) - \\frac{1}{2}\\log_2(2 \\cdot 3)\\]</p>\n<p>\\[= \\frac{1}{2}\\bigl(\\log_2(2^5 \\cdot 3) - \\log_2(2 \\cdot 3)\\bigr)\\]</p>\n<p>\\[= \\frac{1}{2} \\cdot \\log_2 \\frac{2^5 \\cdot 3}{2 \\cdot 3} = \\frac{1}{2} \\cdot \\log_2 \\frac{2^5}{2}\\]</p>\n<p>\\[= \\frac{1}{2} \\cdot \\log_2 2^4 = \\frac{1}{2} \\cdot 4 = 2\\]</p>\n<p><strong>Wynik: \\(2\\)</strong></p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)</strong> - własność różnicy logarytmów:<br>\\[\\log_a\\left(\\frac{x}{y}\\right) = \\log_a x - \\log_a y\\]<br>Użyliśmy tego w Sposobie 1, by zamienić \\(\\log_4 96 - \\log_4 6\\) na \\(\\log_4 \\frac{96}{6}\\).</p>\n<p><strong>Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)</strong> - definicja logarytmu:<br>\\[\\log_a b = c \\iff a^c = b\\]<br>Użyliśmy tego do obliczenia \\(\\log_4 16 = 2\\), bo \\(4^2 = 16\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A | Odjęto argumenty zamiast podzielić: \\(\\log_4 96 - \\log_4 6 \\neq \\log_4(96 - 6) = \\log_4 90\\). To klasyczna pomyłka - przy odejmowaniu logarytmów <strong>dzielimy</strong> argumenty, nie odejmujemy! |<br>| B | Pomylono podstawę logarytmu - wynik to liczba 2, ale ktoś mógł wziąć \\(\\log_6 96\\) myśląc o stosunku liczb |<br>| C | Błąd o 2 w górę - np. policzono \\(\\log_4 96 - \\log_4 6 = \\log_4(96 \\cdot 6)\\) (dodawanie zamiast odejmowania) i wyszło \\(\\log_4 576 = \\log_4 4^4 \\approx \\ldots\\) - albo po prostu zgadywano |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Różnica logarytmów to logarytm <strong>ilorazu</strong>, NIE różnicy: \\(\\log_a x - \\log_a y = \\log_a \\frac{x}{y}\\). Odruch &quot;odejmuję liczby pod logiem&quot; to najczęstszy błąd na maturze!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Żeby skorzystać ze wzoru \\(\\log_a x - \\log_a y\\), obie podstawy muszą być <strong>takie same</strong>. Tu obie to \\(4\\) - wszystko gra. Gdyby podstawy były różne, trzeba by najpierw zmienić podstawę.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy obliczaniu \\(\\log_4 16\\) warto sprawdzić: \\(4^1 = 4\\), \\(4^2 = 16\\), \\(4^3 = 64\\). Nie trzeba żadnych wzorów - to szybki rachunek pamięciowy.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Różnica logarytmów</h5>\n<p>Ze wzoru \\(\\log_a x - \\log_a y = \\log_a \\tfrac{x}{y}\\) (karta wzorów, Dział 1):<br>\\[\\log_4 96 - \\log_4 6 = \\log_4 \\tfrac{96}{6} = \\log_4 16 = \\log_4 4^2 = 2.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Rozbicie logarytmu</h5>\n<p>\\(\\log_4 96 = \\log_4(16\\cdot 6) = \\log_4 16 + \\log_4 6 = 2 + \\log_4 6\\). Wtedy:<br>\\[\\log_4 96 - \\log_4 6 = 2 + \\log_4 6 - \\log_4 6 = 2.\\]</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(\\log_4 90\\)</strong> - ktoś odjął liczby \\(96 - 6 = 90\\) zamiast użyć własności logarytmu.</li><li><strong>B. \\(\\log_6 96\\)</strong> - pomylenie zasad: podstawy nie zmieniamy przy odejmowaniu.</li><li><strong>C. 4</strong> - ktoś obliczył \\(\\log_4 4^4\\) = 4 (błąd rachunkowy na \\(\\log_4 16\\)).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> Różnica logarytmów o tej samej podstawie = logarytm ilorazu.</p>"}]}