{"id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (1 pkt)\nZbiorem wszystkich rozwiązań nierówności 1 2\n1\n2\n3\nx\n>\njest przedział\nA.\n1\n, 6\n\n\n-∞\n\n\n\n\nB.\n2\n, 3\n\n\n-∞\n\n\n\n\nC.\n1 ,\n6\n\n\n+ ∞\n\n\n\n\nD.\n2 ,\n3\n\n\n+∞\n\n\n\n","answer":"A","answer_text":"Zadanie 5. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji\n2. Wyrażenia algebraiczne. Zdający dodaje,\nodejmuje, mnoży i dzieli wyrażenia wymierne\n(2.f).\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający posługuje się\npojęciem osi liczbowej i przedziału\nliczbowego; zaznacza przedziały na osi\nliczbowej (1.e).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(a = 1\\)\n\n## Sposób 1 - Rozwinięcie lewej strony i porównanie\n\nRozwijamy lewą stronę korzystając ze wzoru \\((x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\\):\n\n\\[(a + 2\\sqrt{3})^2 = a^2 + 2 \\cdot a \\cdot 2\\sqrt{3} + (2\\sqrt{3})^2\\]\n\n\\[= a^2 + 4a\\sqrt{3} + 4 \\cdot 3\\]\n\n\\[= a^2 + 12 + 4a\\sqrt{3}\\]\n\nPrawa strona to \\(13 + 4\\sqrt{3}\\). Przyrównujemy obie strony:\n\n\\[a^2 + 12 + 4a\\sqrt{3} = 13 + 4\\sqrt{3}\\]\n\n**Porównujemy wyrazy \"racjonalne\" i \"przy \\(\\sqrt{3}\\)\" osobno** (lewa i prawa strona muszą zgadzać się w obu składnikach):\n\n**Wyraz przy \\(\\sqrt{3}\\):**\n\\[4a\\sqrt{3} = 4\\sqrt{3} \\implies a = 1\\]\n\n**Wyraz wolny (sprawdzenie):**\n\\[a^2 + 12 = 13 \\implies a^2 = 1 \\implies a = \\pm 1\\]\n\nOba warunki spełnia \\(\\boxed{a = 1}\\) (dla \\(a = -1\\) wyraz przy \\(\\sqrt{3}\\) daje \\(-4\\sqrt{3} \\neq 4\\sqrt{3}\\)).\n\n## Sposób 2 - Podstawienie i weryfikacja\n\nPodstawiamy każdą odpowiedź i sprawdzamy, czy równość zachodzi.\n\n**Sprawdzamy \\(a = 1\\):**\n\\[(1 + 2\\sqrt{3})^2 = 1 + 4\\sqrt{3} + 12 = 13 + 4\\sqrt{3} \\checkmark\\]\n\nLewa strona równa prawej - odpowiedź B jest poprawna.\n\nDla pewności sprawdzamy \\(a = 0\\) (odpowiedź C):\n\\[(0 + 2\\sqrt{3})^2 = 12 \\neq 13 + 4\\sqrt{3}\\]\n\nNierówne - eliminujemy.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)** - wzór na kwadrat sumy:\n\\[(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\]\nUżyliśmy tego wzoru w Sposobie 1 do rozwinięcia \\((a + 2\\sqrt{3})^2\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A | Uczeń \"widzi\" \\(13\\) pod pierwiastkiem i pisze \\(a = \\sqrt{13}\\), nie rozwijając kwadratu |\n| C | Uczeń ignoruje wyraz wolny i sprawdza tylko, czy \\((2\\sqrt{3})^2 = 12\\), \"blisko 13\" - błąd szacowania |\n| D | Uczeń sumuje \\(\\sqrt{13} + 1\\) myśląc, że da to efekt sumy pod kwadratem - błędna intuicja |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy rozwijaniu \\((a + 2\\sqrt{3})^2\\) pamiętaj, że \\((2\\sqrt{3})^2 = 4 \\cdot 3 = 12\\), a **nie** \\(2 \\cdot 3 = 6\\). Potęgowanie dotyczy całego wyrażenia \\(2\\sqrt{3}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Porównując wyrazy po obu stronach, traktuj część \"bez \\(\\sqrt{3}\\)\" i część \"z \\(\\sqrt{3}\\)\" jako niezależne - to tak jak porównywanie części rzeczywistej i urojonej. Oba warunki muszą być spełnione jednocześnie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź \\(a = -1\\) spełnia warunek na wyraz wolny (\\((-1)^2 + 12 = 13\\)), ale już **nie** spełnia warunku na wyraz przy \\(\\sqrt{3}\\) - to klasyczna pułapka, gdy sprawdzamy tylko jeden warunek.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Wzór skróconego mnożenia\nZe wzoru \\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\) (karta wzorów, Dział 1):\n\\[(a + 2\\sqrt{3})^2 = a^2 + 2\\cdot a\\cdot 2\\sqrt{3} + (2\\sqrt{3})^2 = a^2 + 4a\\sqrt{3} + 12.\\]\nPorównując z \\(13 + 4\\sqrt{3}\\):\n- część wymierna: \\(a^2 + 12 = 13 \\Rightarrow a^2 = 1\\)\n- część niewymierna: \\(4a\\sqrt{3} = 4\\sqrt{3} \\Rightarrow a = 1\\).\nOba warunki spełnia \\(a = 1\\).\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie odpowiedzi\nDla \\(a = 1\\): \\((1 + 2\\sqrt{3})^2 = 1 + 4\\sqrt{3} + 12 = 13 + 4\\sqrt{3}\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(a = \\sqrt{13}\\)** - ktoś wziął pierwiastek z części wymiernej 13, zapominając o 12 z \\((2\\sqrt{3})^2\\).\n- **C. \\(a = 0\\)** - daje \\((2\\sqrt{3})^2 = 12 \\neq 13 + 4\\sqrt{3}\\).\n- **D. \\(a = \\sqrt{13} + 1\\)** - daje kwadrat z członem \\(2\\sqrt{13}\\), który nie pasuje.\n\n**Trik:** Porównujemy osobno części wymierne i niewymierne.","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 5. (1 pkt)
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności 1 2
1
2
3
x

\n
\n

jest przedział
A.
1
, 6


-∞




B.
2
, 3


-∞




C.
1 ,
6

\n\n





D.
2 ,
3


+∞



","answer_text_html":"

Zadanie 5. (0-1)
I. Wykorzystanie
i tworzenie informacji

\n
  1. Wyrażenia algebraiczne. Zdający dodaje,
\n

odejmuje, mnoży i dzieli wyrażenia wymierne
(2.f).

\n
  1. Liczby rzeczywiste. Zdający posługuje się
\n

pojęciem osi liczbowej i przedziału
liczbowego; zaznacza przedziały na osi
liczbowej (1.e).
Wersja
I
Wersja
II
A
C

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: B - \\(a = 1\\)

\n

Sposób 1 - Rozwinięcie lewej strony i porównanie

\n

Rozwijamy lewą stronę korzystając ze wzoru \\((x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\\):

\n

\\[(a + 2\\sqrt{3})^2 = a^2 + 2 \\cdot a \\cdot 2\\sqrt{3} + (2\\sqrt{3})^2\\]

\n

\\[= a^2 + 4a\\sqrt{3} + 4 \\cdot 3\\]

\n

\\[= a^2 + 12 + 4a\\sqrt{3}\\]

\n

Prawa strona to \\(13 + 4\\sqrt{3}\\). Przyrównujemy obie strony:

\n

\\[a^2 + 12 + 4a\\sqrt{3} = 13 + 4\\sqrt{3}\\]

\n

Porównujemy wyrazy "racjonalne" i "przy \\(\\sqrt{3}\\)" osobno (lewa i prawa strona muszą zgadzać się w obu składnikach):

\n

Wyraz przy \\(\\sqrt{3}\\):
\\[4a\\sqrt{3} = 4\\sqrt{3} \\implies a = 1\\]

\n

Wyraz wolny (sprawdzenie):
\\[a^2 + 12 = 13 \\implies a^2 = 1 \\implies a = \\pm 1\\]

\n

Oba warunki spełnia \\(\\boxed{a = 1}\\) (dla \\(a = -1\\) wyraz przy \\(\\sqrt{3}\\) daje \\(-4\\sqrt{3} \\neq 4\\sqrt{3}\\)).

\n

Sposób 2 - Podstawienie i weryfikacja

\n

Podstawiamy każdą odpowiedź i sprawdzamy, czy równość zachodzi.

\n

Sprawdzamy \\(a = 1\\):
\\[(1 + 2\\sqrt{3})^2 = 1 + 4\\sqrt{3} + 12 = 13 + 4\\sqrt{3} \\checkmark\\]

\n

Lewa strona równa prawej - odpowiedź B jest poprawna.

\n

Dla pewności sprawdzamy \\(a = 0\\) (odpowiedź C):
\\[(0 + 2\\sqrt{3})^2 = 12 \\neq 13 + 4\\sqrt{3}\\]

\n

Nierówne - eliminujemy.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7) - wzór na kwadrat sumy:
\\[(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\]
Użyliśmy tego wzoru w Sposobie 1 do rozwinięcia \\((a + 2\\sqrt{3})^2\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| A | Uczeń "widzi" \\(13\\) pod pierwiastkiem i pisze \\(a = \\sqrt{13}\\), nie rozwijając kwadratu |
| C | Uczeń ignoruje wyraz wolny i sprawdza tylko, czy \\((2\\sqrt{3})^2 = 12\\), "blisko 13" - błąd szacowania |
| D | Uczeń sumuje \\(\\sqrt{13} + 1\\) myśląc, że da to efekt sumy pod kwadratem - błędna intuicja |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Przy rozwijaniu \\((a + 2\\sqrt{3})^2\\) pamiętaj, że \\((2\\sqrt{3})^2 = 4 \\cdot 3 = 12\\), a nie \\(2 \\cdot 3 = 6\\). Potęgowanie dotyczy całego wyrażenia \\(2\\sqrt{3}\\).
\n
⚠️ Uwaga: Porównując wyrazy po obu stronach, traktuj część "bez \\(\\sqrt{3}\\)" i część "z \\(\\sqrt{3}\\)" jako niezależne - to tak jak porównywanie części rzeczywistej i urojonej. Oba warunki muszą być spełnione jednocześnie.
\n
⚠️ Uwaga: Odpowiedź \\(a = -1\\) spełnia warunek na wyraz wolny (\\((-1)^2 + 12 = 13\\)), ale już nie spełnia warunku na wyraz przy \\(\\sqrt{3}\\) - to klasyczna pułapka, gdy sprawdzamy tylko jeden warunek.
\n

Poprawna odpowiedź: B

\n
Sposób 1 - Wzór skróconego mnożenia
\n

Ze wzoru \\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\) (karta wzorów, Dział 1):
\\[(a + 2\\sqrt{3})^2 = a^2 + 2\\cdot a\\cdot 2\\sqrt{3} + (2\\sqrt{3})^2 = a^2 + 4a\\sqrt{3} + 12.\\]
Porównując z \\(13 + 4\\sqrt{3}\\):

\n\n

Oba warunki spełnia \\(a = 1\\).

\n
Sposób 2 - Sprawdzenie odpowiedzi
\n

Dla \\(a = 1\\): \\((1 + 2\\sqrt{3})^2 = 1 + 4\\sqrt{3} + 12 = 13 + 4\\sqrt{3}\\) ✓.

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: Porównujemy osobno części wymierne i niewymierne.

"}]}