{"id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (1 pkt)\nFunkcja kwadratowa określona jest wzorem\n. Liczby\n1x ,\n2\nx są\nróżnymi miejscami zerowymi funkcji f. Zatem\nA.\n8\n2\n1\n+ x\nx\nB.\n2\n2\n1\n+ x\nx\nC.\n2\n2\n1\n+ x\nx\nD.\n8\n2\n1\n+ x\nx\n( )\n(\n)(\n)\n2\n3\n5\nf x\nx\nx\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":"C","answer_text":"Zadanie 6. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji\n4. Funkcje. Zdający wyznacza miejsca zerowe\nfunkcji kwadratowej (4.j).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\n\\[\\begin{cases} y = 2x - 4 \\\\ y = -\\tfrac{1}{2}x + \\tfrac{7}{2} \\end{cases}\\]\n\n## Sposób 1 - Odczyt z wykresu: punkt przecięcia + nachylenie prostych\n\n**Krok 1: Znajdź punkt przecięcia prostych z wykresu.**\n\nZ rysunku odczytujemy, że obie proste przecinają się w punkcie \\((3, 2)\\).\n\nSprawdzamy, które układy mają rozwiązanie \\(x = 3, y = 2\\):\n\n**Układ A:**\n\\[y = -2 \\cdot 3 + 8 = 2 \\checkmark \\quad \\text{i} \\quad y = -\\tfrac{3}{2}\\cdot 3 + \\tfrac{13}{2} = -\\tfrac{9}{2}+\\tfrac{13}{2} = 2 \\checkmark\\]\n\n**Układ B:**\n\\[y = 2 \\cdot 3 - 4 = 2 \\checkmark \\quad \\text{i} \\quad y = -\\tfrac{1}{2}\\cdot 3 + \\tfrac{7}{2} = -\\tfrac{3}{2}+\\tfrac{7}{2} = 2 \\checkmark\\]\n\n**Układ C:**\n\\[y = 3 - 1 = 2 \\checkmark \\quad \\text{i} \\quad y = \\tfrac{1}{2}\\cdot 3 + \\tfrac{1}{2} = 2 \\checkmark\\]\n\n**Układ D:**\n\\[y = 3 \\cdot 3 - 7 = 2 \\checkmark \\quad \\text{i} \\quad y = -\\tfrac{2}{3}\\cdot 3 + 4 = 2 \\checkmark\\]\n\n**Wniosek:** Wszystkie cztery układy mają ten sam punkt przecięcia \\((3, 2)\\). Punkt przecięcia nie rozstrzyga - musimy przeanalizować nachylenie i położenie prostych.\n\n**Krok 2: Odczytaj znaki współczynników kierunkowych (nachylenie prostych).**\n\nZ wykresu widać, że:\n- **jedna prosta biegnie w górę** (z lewej dolnej do prawej górnej) → dodatni współczynnik kierunkowy\n- **druga prosta biegnie w dół** (z lewej górnej do prawej dolnej) → ujemny współczynnik kierunkowy\n\nEliminujemy układy, w których **obie** proste mają ten sam znak nachylenia:\n\n| Układ | Współczynniki kierunkowe | Ocena |\n| A | \\(-2\\) i \\(-\\tfrac{3}{2}\\) | Obie proste opadają - **niezgodne z wykresem** ❌ |\n| B | \\(2\\) i \\(-\\tfrac{1}{2}\\) | Jedna rośnie, druga opada ✓ |\n| C | \\(1\\) i \\(\\tfrac{1}{2}\\) | Obie proste rosną - **niezgodne z wykresem** ❌ |\n| D | \\(3\\) i \\(-\\tfrac{2}{3}\\) | Jedna rośnie, druga opada ✓ |\n\n**Pozostały układy B i D.**\n\n**Krok 3: Porównaj kąt między prostymi (prostopadłość).**\n\nSprawdzamy iloczyn współczynników kierunkowych:\n\n**Układ B:**\n\\[2 \\cdot \\left(-\\tfrac{1}{2}\\right) = -1\\]\nIloczyn równy \\(-1\\) oznacza, że proste są **prostopadłe** - kąt między nimi wynosi \\(90°\\).\n\n**Układ D:**\n\\[3 \\cdot \\left(-\\tfrac{2}{3}\\right) = -2 \\neq -1\\]\nProste **nie są prostopadłe**.\n\nZ wykresu widać, że proste przecinają się pod kątem prostym (lub bardzo bliskim \\(90°\\)).\n\n**Zatem poprawna odpowiedź to B.**\n\n## Sposób 2 - Odczyt miejsc przecięcia z osiami\n\nSkoro wiemy, że mamy sprawdzić tylko układy B i D, odczytujemy z wykresu, gdzie proste przecinają oś \\(OX\\) i \\(OY\\).\n\n**Układ B:**\n- Prosta \\(y = 2x - 4\\): przecina \\(OX\\) w \\(x = 2\\) (bo \\(2x - 4 = 0 \\Rightarrow x = 2\\)), przecina \\(OY\\) w \\(y = -4\\)\n- Prosta \\(y = -\\tfrac{1}{2}x + \\tfrac{7}{2}\\): przecina \\(OX\\) w \\(x = 7\\), przecina \\(OY\\) w \\(y = 3{,}5\\)\n\n**Układ D:**\n- Prosta \\(y = 3x - 7\\): przecina \\(OX\\) w \\(x = \\tfrac{7}{3} \\approx 2{,}33\\), przecina \\(OY\\) w \\(y = -7\\)\n- Prosta \\(y = -\\tfrac{2}{3}x + 4\\): przecina \\(OX\\) w \\(x = 6\\), przecina \\(OY\\) w \\(y = 4\\)\n\nZ wykresu odczytujemy:\n- Prosta rosnąca przecina \\(OY\\) gdzieś około \\(y = -4\\) (a nie \\(y = -7\\))\n- Prosta rosnąca przecina \\(OX\\) w \\(x = 2\\) (a nie w \\(x \\approx 2{,}33\\))\n\nOba odczyty wskazują na **układ B**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - równanie kierunkowe prostej:\n\\[y = ax + b\\]\ngdzie \\(a\\) to współczynnik kierunkowy (tangens kąta nachylenia prostej do osi \\(OX\\)).\n\nKryterium prostopadłości prostych:\n\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]\nUżyliśmy go w Kroku 3 do rozróżnienia układów B i D.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A | Uczeń sprawdza tylko punkt przecięcia \\((3,2)\\) - układ A go spełnia, ale **obie proste mają ujemne nachylenie**, co jest niezgodne z wykresem |\n| C | Podobnie - punkt \\((3,2)\\) się zgadza, ale **obie proste rosną** (nachylenie dodatnie), wykres pokazuje proste o różnych znakach nachylenia |\n| D | Najtrudniejszy błąd: proste mają właściwe znaki nachylenia, ale uczeń nie sprawdza dokładniej ani kąta, ani przecięć z osiami |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Samo sprawdzenie punktu przecięcia nie wystarczy - w tym zadaniu **wszystkie cztery układy** mają rozwiązanie \\(x=3, y=2\\). Musisz przeanalizować kształt wykresu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy odczytywaniu nachylenia prostej z wykresu zwracaj uwagę na **znaki** (rośnie/maleje) i przybliżoną **stromość** - prosta o współczynniku \\(a = 2\\) jest wyraźnie mniej stroma niż \\(a = 3\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Prostopadłość prostych (\\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\)) to bardzo przydatny test - jeśli na wykresie proste wyraźnie przecinają się pod kątem prostym, szukaj układu spełniającego ten warunek.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Odczyt współczynników z wykresu\nNa wykresie jedna prosta rosnąca (stromo) przechodzi przez \\((2,0)\\) i \\((3,2)\\) - to daje \\(a = 2\\) i punkt przecięcia osi \\(Oy\\) w \\(-4\\). Czyli: \\(y = 2x - 4\\). Druga prosta maleje i przecina oś \\(Oy\\) w \\(\\tfrac{7}{2}\\), ma współczynnik \\(-\\tfrac{1}{2}\\). Odpowiedź: B.\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie punktu przecięcia\nZ wykresu widzimy, że proste przecinają się w okolicy punktu \\((3, 2)\\). Sprawdzamy B: \\(y = 2\\cdot 3 - 4 = 2\\) ✓, \\(y = -\\tfrac{1}{2}\\cdot 3 + \\tfrac{7}{2} = -\\tfrac{3}{2}+\\tfrac{7}{2} = 2\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A.** Obie proste malejące, ale na wykresie jedna rosnąca.\n- **C.** Obie proste rosnące, niezgodne z wykresem.\n- **D.** Sprawdzenie: proste przecinają się w punkcie \\((3, 2)\\): \\(3\\cdot 3 - 7 = 2\\) ✓, \\(-\\tfrac{2}{3}\\cdot 3 + 4 = 2\\) ✓ - punkt pasuje, ale współczynnik kierunkowy \\(3\\) jest zbyt stromy wobec obrazu.\n\n**Trik:** Identyfikuj po znaku współczynnika kierunkowego (monotoniczność) i punkcie przecięcia z osią Oy.","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 6. (1 pkt)<br>Funkcja kwadratowa określona jest wzorem<br>. Liczby<br>1x ,<br>2<br>x są<br>różnymi miejscami zerowymi funkcji f. Zatem<br>A.<br>8<br>2<br>1</p>\n<ul><li>x</li></ul>\n<p>x<br>B.<br>2<br>2<br>1</p>\n<ul><li>x</li></ul>\n<p>x<br>C.<br>2<br>2<br>1</p>\n<ul><li>x</li></ul>\n<p>x<br>D.<br>8<br>2<br>1</p>\n<ul><li>x</li></ul>\n<p>x<br>( )<br>(<br>)(<br>)<br>2<br>3<br>5<br>f x<br>x<br>x</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>MMA_1P<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>MMA_1P</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 6. (0-1)<br>I. Wykorzystanie<br>i tworzenie informacji</p>\n<ol><li>Funkcje. Zdający wyznacza miejsca zerowe</li></ol>\n<p>funkcji kwadratowej (4.j).<br>Wersja<br>I<br>Wersja<br>II<br>C<br>D</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B</h4>\n<p>\\[\\begin{cases} y = 2x - 4 \\\\ y = -\\tfrac{1}{2}x + \\tfrac{7}{2} \\end{cases}\\]</p>\n<h4>Sposób 1 - Odczyt z wykresu: punkt przecięcia + nachylenie prostych</h4>\n<p><strong>Krok 1: Znajdź punkt przecięcia prostych z wykresu.</strong></p>\n<p>Z rysunku odczytujemy, że obie proste przecinają się w punkcie \\((3, 2)\\).</p>\n<p>Sprawdzamy, które układy mają rozwiązanie \\(x = 3, y = 2\\):</p>\n<p><strong>Układ A:</strong><br>\\[y = -2 \\cdot 3 + 8 = 2 \\checkmark \\quad \\text{i} \\quad y = -\\tfrac{3}{2}\\cdot 3 + \\tfrac{13}{2} = -\\tfrac{9}{2}+\\tfrac{13}{2} = 2 \\checkmark\\]</p>\n<p><strong>Układ B:</strong><br>\\[y = 2 \\cdot 3 - 4 = 2 \\checkmark \\quad \\text{i} \\quad y = -\\tfrac{1}{2}\\cdot 3 + \\tfrac{7}{2} = -\\tfrac{3}{2}+\\tfrac{7}{2} = 2 \\checkmark\\]</p>\n<p><strong>Układ C:</strong><br>\\[y = 3 - 1 = 2 \\checkmark \\quad \\text{i} \\quad y = \\tfrac{1}{2}\\cdot 3 + \\tfrac{1}{2} = 2 \\checkmark\\]</p>\n<p><strong>Układ D:</strong><br>\\[y = 3 \\cdot 3 - 7 = 2 \\checkmark \\quad \\text{i} \\quad y = -\\tfrac{2}{3}\\cdot 3 + 4 = 2 \\checkmark\\]</p>\n<p><strong>Wniosek:</strong> Wszystkie cztery układy mają ten sam punkt przecięcia \\((3, 2)\\). Punkt przecięcia nie rozstrzyga - musimy przeanalizować nachylenie i położenie prostych.</p>\n<p><strong>Krok 2: Odczytaj znaki współczynników kierunkowych (nachylenie prostych).</strong></p>\n<p>Z wykresu widać, że:</p>\n<ul><li><strong>jedna prosta biegnie w górę</strong> (z lewej dolnej do prawej górnej) → dodatni współczynnik kierunkowy</li><li><strong>druga prosta biegnie w dół</strong> (z lewej górnej do prawej dolnej) → ujemny współczynnik kierunkowy</li></ul>\n<p>Eliminujemy układy, w których <strong>obie</strong> proste mają ten sam znak nachylenia:</p>\n<p>| Układ | Współczynniki kierunkowe | Ocena |<br>| A | \\(-2\\) i \\(-\\tfrac{3}{2}\\) | Obie proste opadają - <strong>niezgodne z wykresem</strong> ❌ |<br>| B | \\(2\\) i \\(-\\tfrac{1}{2}\\) | Jedna rośnie, druga opada ✓ |<br>| C | \\(1\\) i \\(\\tfrac{1}{2}\\) | Obie proste rosną - <strong>niezgodne z wykresem</strong> ❌ |<br>| D | \\(3\\) i \\(-\\tfrac{2}{3}\\) | Jedna rośnie, druga opada ✓ |</p>\n<p><strong>Pozostały układy B i D.</strong></p>\n<p><strong>Krok 3: Porównaj kąt między prostymi (prostopadłość).</strong></p>\n<p>Sprawdzamy iloczyn współczynników kierunkowych:</p>\n<p><strong>Układ B:</strong><br>\\[2 \\cdot \\left(-\\tfrac{1}{2}\\right) = -1\\]<br>Iloczyn równy \\(-1\\) oznacza, że proste są <strong>prostopadłe</strong> - kąt między nimi wynosi \\(90°\\).</p>\n<p><strong>Układ D:</strong><br>\\[3 \\cdot \\left(-\\tfrac{2}{3}\\right) = -2 \\neq -1\\]<br>Proste <strong>nie są prostopadłe</strong>.</p>\n<p>Z wykresu widać, że proste przecinają się pod kątem prostym (lub bardzo bliskim \\(90°\\)).</p>\n<p><strong>Zatem poprawna odpowiedź to B.</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Odczyt miejsc przecięcia z osiami</h4>\n<p>Skoro wiemy, że mamy sprawdzić tylko układy B i D, odczytujemy z wykresu, gdzie proste przecinają oś \\(OX\\) i \\(OY\\).</p>\n<p><strong>Układ B:</strong></p>\n<ul><li>Prosta \\(y = 2x - 4\\): przecina \\(OX\\) w \\(x = 2\\) (bo \\(2x - 4 = 0 \\Rightarrow x = 2\\)), przecina \\(OY\\) w \\(y = -4\\)</li><li>Prosta \\(y = -\\tfrac{1}{2}x + \\tfrac{7}{2}\\): przecina \\(OX\\) w \\(x = 7\\), przecina \\(OY\\) w \\(y = 3{,}5\\)</li></ul>\n<p><strong>Układ D:</strong></p>\n<ul><li>Prosta \\(y = 3x - 7\\): przecina \\(OX\\) w \\(x = \\tfrac{7}{3} \\approx 2{,}33\\), przecina \\(OY\\) w \\(y = -7\\)</li><li>Prosta \\(y = -\\tfrac{2}{3}x + 4\\): przecina \\(OX\\) w \\(x = 6\\), przecina \\(OY\\) w \\(y = 4\\)</li></ul>\n<p>Z wykresu odczytujemy:</p>\n<ul><li>Prosta rosnąca przecina \\(OY\\) gdzieś około \\(y = -4\\) (a nie \\(y = -7\\))</li><li>Prosta rosnąca przecina \\(OX\\) w \\(x = 2\\) (a nie w \\(x \\approx 2{,}33\\))</li></ul>\n<p>Oba odczyty wskazują na <strong>układ B</strong>.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)</strong> - równanie kierunkowe prostej:<br>\\[y = ax + b\\]<br>gdzie \\(a\\) to współczynnik kierunkowy (tangens kąta nachylenia prostej do osi \\(OX\\)).</p>\n<p>Kryterium prostopadłości prostych:<br>\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]<br>Użyliśmy go w Kroku 3 do rozróżnienia układów B i D.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |<br>| A | Uczeń sprawdza tylko punkt przecięcia \\((3,2)\\) - układ A go spełnia, ale <strong>obie proste mają ujemne nachylenie</strong>, co jest niezgodne z wykresem |<br>| C | Podobnie - punkt \\((3,2)\\) się zgadza, ale <strong>obie proste rosną</strong> (nachylenie dodatnie), wykres pokazuje proste o różnych znakach nachylenia |<br>| D | Najtrudniejszy błąd: proste mają właściwe znaki nachylenia, ale uczeń nie sprawdza dokładniej ani kąta, ani przecięć z osiami |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Samo sprawdzenie punktu przecięcia nie wystarczy - w tym zadaniu <strong>wszystkie cztery układy</strong> mają rozwiązanie \\(x=3, y=2\\). Musisz przeanalizować kształt wykresu.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy odczytywaniu nachylenia prostej z wykresu zwracaj uwagę na <strong>znaki</strong> (rośnie/maleje) i przybliżoną <strong>stromość</strong> - prosta o współczynniku \\(a = 2\\) jest wyraźnie mniej stroma niż \\(a = 3\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Prostopadłość prostych (\\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\)) to bardzo przydatny test - jeśli na wykresie proste wyraźnie przecinają się pod kątem prostym, szukaj układu spełniającego ten warunek.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Odczyt współczynników z wykresu</h5>\n<p>Na wykresie jedna prosta rosnąca (stromo) przechodzi przez \\((2,0)\\) i \\((3,2)\\) - to daje \\(a = 2\\) i punkt przecięcia osi \\(Oy\\) w \\(-4\\). Czyli: \\(y = 2x - 4\\). Druga prosta maleje i przecina oś \\(Oy\\) w \\(\\tfrac{7}{2}\\), ma współczynnik \\(-\\tfrac{1}{2}\\). Odpowiedź: B.</p>\n<h5>Sposób 2 - Sprawdzenie punktu przecięcia</h5>\n<p>Z wykresu widzimy, że proste przecinają się w okolicy punktu \\((3, 2)\\). Sprawdzamy B: \\(y = 2\\cdot 3 - 4 = 2\\) ✓, \\(y = -\\tfrac{1}{2}\\cdot 3 + \\tfrac{7}{2} = -\\tfrac{3}{2}+\\tfrac{7}{2} = 2\\) ✓.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A.</strong> Obie proste malejące, ale na wykresie jedna rosnąca.</li><li><strong>C.</strong> Obie proste rosnące, niezgodne z wykresem.</li><li><strong>D.</strong> Sprawdzenie: proste przecinają się w punkcie \\((3, 2)\\): \\(3\\cdot 3 - 7 = 2\\) ✓, \\(-\\tfrac{2}{3}\\cdot 3 + 4 = 2\\) ✓ - punkt pasuje, ale współczynnik kierunkowy \\(3\\) jest zbyt stromy wobec obrazu.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> Identyfikuj po znaku współczynnika kierunkowego (monotoniczność) i punkcie przecięcia z osią Oy.</p>"}]}