{"id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (1 pkt)\nFunkcja liniowa\nf określona jest wzorem\n1\n3\n1\n)\n(\nx\nx\nf\n, dla wszystkich liczb\nrzeczywistych x. Wskaż zdanie prawdziwe.\nA. Funkcja f jest malejąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie\n\n\n\n\n\n\n3\n1\n,0\nP\nB. Funkcja f jest malejąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie\n(\n)1\n,0 -\nP\nC. Funkcja f jest rosnąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie\n\n\n\n\n\n\n3\n1\n,0\nP\nD. Funkcja f jest rosnąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie\n(\n)1\n,0 -\nP","answer":"D","answer_text":"Zadanie 8. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n4. Funkcje. Zdający sporządza wykresy\nfunkcji liniowych (4.e).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - punkt wspólny ma współrzędne \\((0, 1)\\)\n\n## Sposób 1 - algebraiczne wyznaczenie punktu wspólnego\n\nPunkt wspólny wykresów \\(f\\) i \\(g\\) spełnia równanie \\(f(x) = g(x)\\).\n\n**Krok 1: Wyznacz wzór funkcji \\(g\\).**\n\n\\[g(x) = f(-x) = 3^{-x}\\]\n\n**Krok 2: Przyrównaj funkcje.**\n\n\\[f(x) = g(x)\\]\n\\[3^x = 3^{-x}\\]\n\n**Krok 3: Rozwiąż równanie wykładnicze.**\n\nPodstawy są jednakowe (\\(3\\)), więc wykładniki muszą być równe:\n\\[x = -x\\]\n\\[2x = 0\\]\n\\[x = 0\\]\n\n**Krok 4: Wyznacz współrzędną \\(y\\).**\n\n\\[y = f(0) = 3^0 = 1\\]\n\n**Punkt wspólny to \\((0, 1)\\).**\n\n## Sposób 2 - rozumowanie z definicji funkcji symetrycznej\n\nFunkcja \\(g(x) = f(-x)\\) to **odbicie wykresu \\(f\\) symetrycznie względem osi \\(OY\\)**.\n\nJeśli wykres funkcji \\(f\\) przecina się z jej lustrzanym odbiciem, to punkt wspólny musi leżeć **dokładnie na osi symetrii** - czyli na osi \\(OY\\), gdzie \\(x = 0\\).\n\nSprawdzamy wartość obu funkcji dla \\(x = 0\\):\n\\[f(0) = 3^0 = 1\\]\n\\[g(0) = 3^{-0} = 3^0 = 1\\]\n\nObie funkcje przechodzą przez punkt \\((0, 1)\\). **Punkt wspólny to \\((0, 1)\\)** - co potwierdza odpowiedź C.\n\n> Wniosek ogólny: **każda funkcja wykładnicza \\(a^x\\)** (dla \\(a > 0\\)), niezależnie od podstawy, przecina swoje lustrzane odbicie \\(a^{-x}\\) zawsze w punkcie \\((0, 1)\\), bo \\(a^0 = 1\\) dla każdego \\(a > 0\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - własność:\n\\[a^0 = 1\\]\nUżyliśmy tego, obliczając \\(3^0 = 1\\) - czyli współrzędną \\(y\\) punktu wspólnego.\n\n**Dział 3 (Logarytmy / funkcje wykładnicze, s. 5-6)** - zasada:\n\\[a^x = a^y \\iff x = y \\quad (\\text{dla } a > 0,\\ a \\neq 1)\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1, by z równania \\(3^x = 3^{-x}\\) wyciągnąć \\(x = -x\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Uczeń może myśleć, że funkcje wykładnicza i jej odbicie nigdy się nie przecinają. Tymczasem przecinają się zawsze - w punkcie \\((0,1)\\). |\n| B | Współrzędne \\((1, 0)\\) to błąd - funkcja \\(3^x\\) nigdy nie przyjmuje wartości \\(0\\) (wykładnicza zawsze \\(> 0\\)), więc żaden punkt wykresu nie leży na osi \\(OX\\). |\n| D | Punkt \\((0, 0)\\) oznaczałby \\(3^0 = 0\\), co jest fałszywe (\\(3^0 = 1\\)). Być może uczeń myli z funkcją liniową przechodzącą przez początek układu. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(g(x) = f(-x)\\) to **nie** to samo co \\(g(x) = -f(x)\\)! Zapis \\(f(-x)\\) oznacza podstawienie \\(-x\\) w miejsce \\(x\\) (symetria względem \\(OY\\)), a nie zmianę znaku wartości funkcji (symetria względem \\(OX\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Funkcja wykładnicza \\(a^x\\) (dla \\(a > 0\\)) **nigdy nie osiąga wartości \\(0\\) ani ujemnych** - jej dziedzina to wszystkie liczby rzeczywiste, ale zbiór wartości to \\((0, +\\infty)\\). Punkt przecięcia z osią \\(OX\\) nie istnieje!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(a^0 = 1\\) dla każdej dopuszczalnej podstawy \\(a > 0,\\ a \\neq 1\\). To sprawia, że wszystkie funkcje postaci \\(a^x\\) przecinają oś \\(OY\\) w tym samym punkcie \\((0, 1)\\) - niezależnie od \\(a\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Rozwiązanie równania \\(f(x) = g(x)\\)\n\\(g(x) = f(-x) = 3^{-x}\\). Szukamy \\(x\\) takiego, że \\(3^x = 3^{-x}\\):\n\\[x = -x \\;\\Longrightarrow\\; 2x = 0 \\;\\Longrightarrow\\; x = 0.\\]\nWartość: \\(f(0) = 3^0 = 1\\). Punkt wspólny: \\((0, 1)\\).\n\n### Sposób 2 - Symetria wykresów\nWykresy \\(y = 3^x\\) i \\(y = 3^{-x} = \\left(\\tfrac{1}{3}\\right)^x\\) są symetryczne względem osi \\(Oy\\). Przecinają się dokładnie na osi \\(Oy\\), w punkcie \\((0, 1)\\) - bo każda funkcja wykładnicza \\(a^x\\) z \\(a>0\\) przechodzi przez \\((0,1)\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A.** Wykresy przecinają się (na osi Oy), więc punkt wspólny istnieje.\n- **B. \\((1,0)\\)** - \\(3^1 = 3 \\neq 0\\). Funkcja wykładnicza nie przyjmuje zera.\n- **D. \\((0,0)\\)** - \\(3^0 = 1 \\neq 0\\).\n\n**Trik:** Każda funkcja wykładnicza \\(a^x\\) (z \\(a>0,\\ a\\neq 1\\)) przechodzi przez \\((0, 1)\\).","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 8. (1 pkt)<br>Funkcja liniowa<br>f określona jest wzorem<br>1<br>3<br>1<br>)<br>(<br>x<br>x<br>f<br>, dla wszystkich liczb<br>rzeczywistych x. Wskaż zdanie prawdziwe.<br>A. Funkcja f jest malejąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie<br><br><br><br><br><br><br>3<br>1<br>,0<br>P<br>B. Funkcja f jest malejąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie<br>(<br>)1<br>,0 -<br>P<br>C. Funkcja f jest rosnąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie<br><br><br><br><br><br><br>3<br>1<br>,0<br>P<br>D. Funkcja f jest rosnąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie<br>(<br>)1<br>,0 -<br>P</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 8. (0-1)<br>I. Wykorzystanie<br>i tworzenie informacji.</p>\n<ol><li>Funkcje. Zdający sporządza wykresy</li></ol>\n<p>funkcji liniowych (4.e).<br>Wersja<br>I<br>Wersja<br>II<br>D<br>B</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C - punkt wspólny ma współrzędne \\((0, 1)\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - algebraiczne wyznaczenie punktu wspólnego</h4>\n<p>Punkt wspólny wykresów \\(f\\) i \\(g\\) spełnia równanie \\(f(x) = g(x)\\).</p>\n<p><strong>Krok 1: Wyznacz wzór funkcji \\(g\\).</strong></p>\n<p>\\[g(x) = f(-x) = 3^{-x}\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Przyrównaj funkcje.</strong></p>\n<p>\\[f(x) = g(x)\\]<br>\\[3^x = 3^{-x}\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Rozwiąż równanie wykładnicze.</strong></p>\n<p>Podstawy są jednakowe (\\(3\\)), więc wykładniki muszą być równe:<br>\\[x = -x\\]<br>\\[2x = 0\\]<br>\\[x = 0\\]</p>\n<p><strong>Krok 4: Wyznacz współrzędną \\(y\\).</strong></p>\n<p>\\[y = f(0) = 3^0 = 1\\]</p>\n<p><strong>Punkt wspólny to \\((0, 1)\\).</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - rozumowanie z definicji funkcji symetrycznej</h4>\n<p>Funkcja \\(g(x) = f(-x)\\) to <strong>odbicie wykresu \\(f\\) symetrycznie względem osi \\(OY\\)</strong>.</p>\n<p>Jeśli wykres funkcji \\(f\\) przecina się z jej lustrzanym odbiciem, to punkt wspólny musi leżeć <strong>dokładnie na osi symetrii</strong> - czyli na osi \\(OY\\), gdzie \\(x = 0\\).</p>\n<p>Sprawdzamy wartość obu funkcji dla \\(x = 0\\):<br>\\[f(0) = 3^0 = 1\\]<br>\\[g(0) = 3^{-0} = 3^0 = 1\\]</p>\n<p>Obie funkcje przechodzą przez punkt \\((0, 1)\\). <strong>Punkt wspólny to \\((0, 1)\\)</strong> - co potwierdza odpowiedź C.</p>\n<blockquote>Wniosek ogólny: <strong>każda funkcja wykładnicza \\(a^x\\)</strong> (dla \\(a &gt; 0\\)), niezależnie od podstawy, przecina swoje lustrzane odbicie \\(a^{-x}\\) zawsze w punkcie \\((0, 1)\\), bo \\(a^0 = 1\\) dla każdego \\(a &gt; 0\\).</blockquote>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)</strong> - własność:<br>\\[a^0 = 1\\]<br>Użyliśmy tego, obliczając \\(3^0 = 1\\) - czyli współrzędną \\(y\\) punktu wspólnego.</p>\n<p><strong>Dział 3 (Logarytmy / funkcje wykładnicze, s. 5-6)</strong> - zasada:<br>\\[a^x = a^y \\iff x = y \\quad (\\text{dla } a &gt; 0,\\ a \\neq 1)\\]<br>Użyliśmy tego w Sposobie 1, by z równania \\(3^x = 3^{-x}\\) wyciągnąć \\(x = -x\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A | Uczeń może myśleć, że funkcje wykładnicza i jej odbicie nigdy się nie przecinają. Tymczasem przecinają się zawsze - w punkcie \\((0,1)\\). |<br>| B | Współrzędne \\((1, 0)\\) to błąd - funkcja \\(3^x\\) nigdy nie przyjmuje wartości \\(0\\) (wykładnicza zawsze \\(&gt; 0\\)), więc żaden punkt wykresu nie leży na osi \\(OX\\). |<br>| D | Punkt \\((0, 0)\\) oznaczałby \\(3^0 = 0\\), co jest fałszywe (\\(3^0 = 1\\)). Być może uczeń myli z funkcją liniową przechodzącą przez początek układu. |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\(g(x) = f(-x)\\) to <strong>nie</strong> to samo co \\(g(x) = -f(x)\\)! Zapis \\(f(-x)\\) oznacza podstawienie \\(-x\\) w miejsce \\(x\\) (symetria względem \\(OY\\)), a nie zmianę znaku wartości funkcji (symetria względem \\(OX\\)).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Funkcja wykładnicza \\(a^x\\) (dla \\(a &gt; 0\\)) <strong>nigdy nie osiąga wartości \\(0\\) ani ujemnych</strong> - jej dziedzina to wszystkie liczby rzeczywiste, ale zbiór wartości to \\((0, +\\infty)\\). Punkt przecięcia z osią \\(OX\\) nie istnieje!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\(a^0 = 1\\) dla każdej dopuszczalnej podstawy \\(a &gt; 0,\\ a \\neq 1\\). To sprawia, że wszystkie funkcje postaci \\(a^x\\) przecinają oś \\(OY\\) w tym samym punkcie \\((0, 1)\\) - niezależnie od \\(a\\).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Rozwiązanie równania \\(f(x) = g(x)\\)</h5>\n<p>\\(g(x) = f(-x) = 3^{-x}\\). Szukamy \\(x\\) takiego, że \\(3^x = 3^{-x}\\):<br>\\[x = -x \\;\\Longrightarrow\\; 2x = 0 \\;\\Longrightarrow\\; x = 0.\\]<br>Wartość: \\(f(0) = 3^0 = 1\\). Punkt wspólny: \\((0, 1)\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Symetria wykresów</h5>\n<p>Wykresy \\(y = 3^x\\) i \\(y = 3^{-x} = \\left(\\tfrac{1}{3}\\right)^x\\) są symetryczne względem osi \\(Oy\\). Przecinają się dokładnie na osi \\(Oy\\), w punkcie \\((0, 1)\\) - bo każda funkcja wykładnicza \\(a^x\\) z \\(a&gt;0\\) przechodzi przez \\((0,1)\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A.</strong> Wykresy przecinają się (na osi Oy), więc punkt wspólny istnieje.</li><li><strong>B. \\((1,0)\\)</strong> - \\(3^1 = 3 \\neq 0\\). Funkcja wykładnicza nie przyjmuje zera.</li><li><strong>D. \\((0,0)\\)</strong> - \\(3^0 = 1 \\neq 0\\).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> Każda funkcja wykładnicza \\(a^x\\) (z \\(a&gt;0,\\ a\\neq 1\\)) przechodzi przez \\((0, 1)\\).</p>"}]}