{"id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (1 pkt)\nWykresem funkcji kwadratowej\n( )\n2\n6\n3\nf\nx\nx\nx\njest parabola, której wierzchołkiem jest\npunkt o współrzędnych\nA. (\n)\n6,\n3\nB. (\n)\n6, 69\nC. (\n)\n3,\n12\nD. (\n)\n6,\n3","answer":"C","answer_text":"Zadanie 9. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n4. Funkcje. Zdający sporządza wykresy\nfunkcji kwadratowych (4.h).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(b = -\\sqrt{3}\\)\n\n## Sposób 1 - podstawienie punktu do równania prostej\n\nPunkt \\((1, \\sqrt{3})\\) leży na wykresie funkcji, więc jego współrzędne **spełniają równanie** \\(y = 2\\sqrt{3}\\,x + b\\).\n\nPodstawiamy \\(x = 1\\) i \\(y = \\sqrt{3}\\):\n\n\\[\\sqrt{3} = 2\\sqrt{3} \\cdot 1 + b\\]\n\n\\[\\sqrt{3} = 2\\sqrt{3} + b\\]\n\nPrzenosimy \\(2\\sqrt{3}\\) na lewą stronę:\n\n\\[b = \\sqrt{3} - 2\\sqrt{3}\\]\n\n\\[\\boxed{b = -\\sqrt{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - weryfikacja (podstawienie do gotowego wzoru)\n\nSprawdzamy, czy przy \\(b = -\\sqrt{3}\\) punkt \\((1, \\sqrt{3})\\) rzeczywiście leży na prostej \\(y = 2\\sqrt{3}\\,x - \\sqrt{3}\\).\n\nDla \\(x = 1\\):\n\n\\[y = 2\\sqrt{3} \\cdot 1 - \\sqrt{3} = 2\\sqrt{3} - \\sqrt{3} = \\sqrt{3} \\checkmark\\]\n\nWynik zgadza się z podaną współrzędną - **potwierdzamy, że \\(b = -\\sqrt{3}\\)**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja równania kierunkowego prostej \\(y = ax + b\\) i podstawowe działania na liczbach.\n\nPomocniczo można sięgnąć do:\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - równanie kierunkowe prostej:\n\\[y = ax + b\\]\nJeśli punkt \\((x_0, y_0)\\) leży na prostej, to \\(y_0 = ax_0 + b\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A (\\(b = 7\\)) | Dodanie \\(2\\sqrt{3} + \\sqrt{3} = 3\\sqrt{3}\\) zamiast odejmowania, a potem błędne policzenie \\(3\\sqrt{3} \\approx 5.2\\) i zaokrąglenie do 7 - podwójny błąd |\n| B (\\(b = 3\\sqrt{3}\\)) | Dodanie zamiast odejmowania: \\(b = \\sqrt{3} + 2\\sqrt{3} = 3\\sqrt{3}\\) - pomylenie znaku przy przenoszeniu |\n| C (\\(b = -5\\)) | Błędne policzenie \\(\\sqrt{3} - 2\\sqrt{3} \\approx 1.73 - 3.46 \\approx -1.73\\) i zamiana na \"okrągłe\" \\(-5\\) - niedbałe przybliżenie |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to pomylenie znaku przy przenoszeniu wyrazu na drugą stronę. Zamiast \\(b = \\sqrt{3} - 2\\sqrt{3}\\) uczniowie piszą \\(b = \\sqrt{3} + 2\\sqrt{3}\\) - i wychodzi odpowiedź B.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sqrt{3} - 2\\sqrt{3} = (1-2)\\sqrt{3} = -1 \\cdot \\sqrt{3} = -\\sqrt{3}\\). Warto wyciągać \\(\\sqrt{3}\\) przed nawias - unikasz błędów na surowych ułamkach.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zamieniaj \\(\\sqrt{3} \\approx 1{,}73\\) na wartość dziesiętną przed końcem - obliczenia na surowych wyrażeniach z \\(\\sqrt{3}\\) są dokładniejsze i szybsze.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Podstawienie współrzędnych\nSkoro punkt \\((1, \\sqrt{3})\\) leży na wykresie \\(y = 2\\sqrt{3}\\,x + b\\):\n\\[\\sqrt{3} = 2\\sqrt{3}\\cdot 1 + b \\;\\Longrightarrow\\; b = \\sqrt{3} - 2\\sqrt{3} = -\\sqrt{3}.\\]\n\n### Sposób 2 - Różnica\nWspółczynnik przy \\(x\\) równa się \\(2\\sqrt{3}\\), dla \\(x=1\\) iloczyn = \\(2\\sqrt{3}\\). Aby \\(y = \\sqrt{3}\\), od \\(2\\sqrt{3}\\) odejmujemy \\(\\sqrt{3}\\), co daje \\(b = -\\sqrt{3}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. 7** - nie spełnia równania: \\(2\\sqrt{3} + 7 \\neq \\sqrt{3}\\).\n- **B. \\(3\\sqrt{3}\\)** - daje \\(2\\sqrt{3} + 3\\sqrt{3} = 5\\sqrt{3} \\neq \\sqrt{3}\\).\n- **C. \\(-5\\)** - daje \\(2\\sqrt{3} - 5 \\neq \\sqrt{3}\\) (niewspółmierne).\n\n**Trik:** Zawsze podstaw współrzędne punktu i rozwiąż względem nieznanej.","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 9. (1 pkt)<br>Wykresem funkcji kwadratowej<br>( )<br>2<br>6<br>3<br>f<br>x<br>x<br>x<br>jest parabola, której wierzchołkiem jest<br>punkt o współrzędnych<br>A. (<br>)<br>6,<br>3<br>B. (<br>)<br>6, 69<br>C. (<br>)<br>3,<br>12<br>D. (<br>)<br>6,<br>3</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 9. (0-1)<br>II. Wykorzystanie<br>i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Funkcje. Zdający sporządza wykresy</li></ol>\n<p>funkcji kwadratowych (4.h).<br>Wersja<br>I<br>Wersja<br>II<br>C<br>D</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D - \\(b = -\\sqrt{3}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - podstawienie punktu do równania prostej</h4>\n<p>Punkt \\((1, \\sqrt{3})\\) leży na wykresie funkcji, więc jego współrzędne <strong>spełniają równanie</strong> \\(y = 2\\sqrt{3}\\,x + b\\).</p>\n<p>Podstawiamy \\(x = 1\\) i \\(y = \\sqrt{3}\\):</p>\n<p>\\[\\sqrt{3} = 2\\sqrt{3} \\cdot 1 + b\\]</p>\n<p>\\[\\sqrt{3} = 2\\sqrt{3} + b\\]</p>\n<p>Przenosimy \\(2\\sqrt{3}\\) na lewą stronę:</p>\n<p>\\[b = \\sqrt{3} - 2\\sqrt{3}\\]</p>\n<p>\\[\\boxed{b = -\\sqrt{3}}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - weryfikacja (podstawienie do gotowego wzoru)</h4>\n<p>Sprawdzamy, czy przy \\(b = -\\sqrt{3}\\) punkt \\((1, \\sqrt{3})\\) rzeczywiście leży na prostej \\(y = 2\\sqrt{3}\\,x - \\sqrt{3}\\).</p>\n<p>Dla \\(x = 1\\):</p>\n<p>\\[y = 2\\sqrt{3} \\cdot 1 - \\sqrt{3} = 2\\sqrt{3} - \\sqrt{3} = \\sqrt{3} \\checkmark\\]</p>\n<p>Wynik zgadza się z podaną współrzędną - <strong>potwierdzamy, że \\(b = -\\sqrt{3}\\)</strong>.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja równania kierunkowego prostej \\(y = ax + b\\) i podstawowe działania na liczbach.</p>\n<p>Pomocniczo można sięgnąć do:</p>\n<p><strong>Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)</strong> - równanie kierunkowe prostej:<br>\\[y = ax + b\\]<br>Jeśli punkt \\((x_0, y_0)\\) leży na prostej, to \\(y_0 = ax_0 + b\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A (\\(b = 7\\)) | Dodanie \\(2\\sqrt{3} + \\sqrt{3} = 3\\sqrt{3}\\) zamiast odejmowania, a potem błędne policzenie \\(3\\sqrt{3} \\approx 5.2\\) i zaokrąglenie do 7 - podwójny błąd |<br>| B (\\(b = 3\\sqrt{3}\\)) | Dodanie zamiast odejmowania: \\(b = \\sqrt{3} + 2\\sqrt{3} = 3\\sqrt{3}\\) - pomylenie znaku przy przenoszeniu |<br>| C (\\(b = -5\\)) | Błędne policzenie \\(\\sqrt{3} - 2\\sqrt{3} \\approx 1.73 - 3.46 \\approx -1.73\\) i zamiana na &quot;okrągłe&quot; \\(-5\\) - niedbałe przybliżenie |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Najczęstszy błąd to pomylenie znaku przy przenoszeniu wyrazu na drugą stronę. Zamiast \\(b = \\sqrt{3} - 2\\sqrt{3}\\) uczniowie piszą \\(b = \\sqrt{3} + 2\\sqrt{3}\\) - i wychodzi odpowiedź B.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\(\\sqrt{3} - 2\\sqrt{3} = (1-2)\\sqrt{3} = -1 \\cdot \\sqrt{3} = -\\sqrt{3}\\). Warto wyciągać \\(\\sqrt{3}\\) przed nawias - unikasz błędów na surowych ułamkach.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie zamieniaj \\(\\sqrt{3} \\approx 1{,}73\\) na wartość dziesiętną przed końcem - obliczenia na surowych wyrażeniach z \\(\\sqrt{3}\\) są dokładniejsze i szybsze.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Podstawienie współrzędnych</h5>\n<p>Skoro punkt \\((1, \\sqrt{3})\\) leży na wykresie \\(y = 2\\sqrt{3}\\,x + b\\):<br>\\[\\sqrt{3} = 2\\sqrt{3}\\cdot 1 + b \\;\\Longrightarrow\\; b = \\sqrt{3} - 2\\sqrt{3} = -\\sqrt{3}.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Różnica</h5>\n<p>Współczynnik przy \\(x\\) równa się \\(2\\sqrt{3}\\), dla \\(x=1\\) iloczyn = \\(2\\sqrt{3}\\). Aby \\(y = \\sqrt{3}\\), od \\(2\\sqrt{3}\\) odejmujemy \\(\\sqrt{3}\\), co daje \\(b = -\\sqrt{3}\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. 7</strong> - nie spełnia równania: \\(2\\sqrt{3} + 7 \\neq \\sqrt{3}\\).</li><li><strong>B. \\(3\\sqrt{3}\\)</strong> - daje \\(2\\sqrt{3} + 3\\sqrt{3} = 5\\sqrt{3} \\neq \\sqrt{3}\\).</li><li><strong>C. \\(-5\\)</strong> - daje \\(2\\sqrt{3} - 5 \\neq \\sqrt{3}\\) (niewspółmierne).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> Zawsze podstaw współrzędne punktu i rozwiąż względem nieznanej.</p>"}]}