{"id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"10","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (6 pkt)\nPunkt\n(\n)\n7,\n1\nA =\njest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego ABC, w którym AC\nBC\nObie współrzędne wierzchołka C są liczbami ujemnymi. Okrąg wpisany w trójkąt ABC ma\nrównanie\n. Oblicz współrzędne wierzchołków B i C tego trójkąta.\n2\n2\n10\nx\ny\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n10.\nMaks. liczba pkt\n6\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R","answer":null,"answer_text":"10. Elementy statystyki opisowej. Teoria\nprawdopodobieństwa i kombinatoryka. Zdający\nwykorzystuje wzory na liczbę permutacji i wariacji do\nzliczania obiektów w sytuacjach kombinatorycznych\n(R10). Zdający wykorzystuje własności\nprawdopodobieństwa i stosuje twierdzenie znane jako\nklasyczna definicja prawdopodobieństwa do obliczania\nprawdopodobieństw zdarzeń (10.d).\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nZdarzeniami elementarnymi są permutacje (bez powtórzeń) zbioru ośmioelementowego\n{\n}\n1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 9 .\nLiczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa\n8!\nΩ =\nNiech A będzie zdarzeniem, polegającym na tym, że żadne dwie liczby parzyste nie są\nsąsiednimi wyrazami utworzonego ciągu. Ustalmy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych\nsprzyjających zdarzeniu A.\nI metoda\nW zbiorze Z jest 5 liczb nieparzystych, więc możemy je ustawić w ciąg na 5! sposobów.\nOtrzymamy wtedy sytuację:\n_(1)_ n _(2)_ n _(3)_ n _(4)_ n _(5)_ n_(6)_\nPierwszą z pozostałych liczb (parzystych) zbioru Z możemy ustawić na jednym z sześciu\nmiejsc _(1)_ - _(6)_, drugą na jednym z pozostałych pięciu, a trzecią na jednym z pozostałych\nczterech.\nZatem\n5! 6 5 4\nA =\n⋅⋅⋅.\nII metoda\nW zbiorze Z jest 5 liczb nieparzystych, więc możemy je ustawić w ciąg na 5! sposobów.\nOtrzymamy wtedy sytuację:\n_(1)_ n _(2)_ n _(3)_ n _(4)_ n _(5)_ n_(6)_\nTrzy pozostałe liczby (parzyste) ze zbioru Z musimy ustawić na wybranych trzech miejscach\nspośród sześciu miejsc _(1)_ - _(6) Te trzy miejsca możemy wybrać na ( )\n6\n3 sposobów. Na\ntych trzech ustalonych miejscach możemy trzy liczby parzyste ze zbioru Z ustawić na 3!\nsposobów.\nZatem\n( )\n6\n3\n5!\n3!\nA =\n⋅\n⋅\nIII metoda (ustalenie kolejności parzystych, a następnie ustalenie pozycji parzystych)\nW zbiorze Z mamy 3 liczby parzyste: 2, 4, 6. Możemy ustawić je w kolejności na 3!\n6\nsposobów. Jedną z takich możliwości jest kolejność: 2, 4, 6.\nWypiszmy wszystkie przypadki ustawienia tych trzech liczb w kolejności 2, 4, 6 w ciągu\n8-wyrazowym:\n(a) 2 na pierwszym miejscu\n2 - 4 - 6 - - -, 2 - 4 - - 6 - -, 2 - 4 - - - 6 -, 2 - 4 - - - - 6, 2 - - 4 - 6 - -,\n2 - - 4 - - 6 -, 2 - - 4 - - - 6, 2 - - - 4 - 6 -, 2 - - - 4 - - 6, 2 - - - - 4 - 6,\n(b) 2 na drugim miejscu\n- 2 - 4 - 6 - -, - 2 - 4 - - 6 -, - 2 - 4 - - - 6, - 2 - - 4 - 6 -, - 2 - - 4 - - 6,\n- 2 - - - 4 - 6,\n(c) 2 na trzecim miejscu\n- - 2 - 4 - 6 -, - - 2 - 4 - - 6, - - 2 - - 4 - 6,\n(d) 2 na czwartym miejscu\n- - - 2 - 4 - 6.\nŁącznie mamy 20 przypadków ustawienia w ciągu 8-wyrazowym trzech liczb parzystych\n- 2, 4, 6 - w kolejności 2, 4, 6.\nPonieważ mamy 6 możliwości ustalenia kolejności dla trzech liczb 2, 4, 6, więc liczby\nparzyste ze zbioru Z możemy ustawić na 6 20\n⋅\nsposobów.\nDo ustawionych liczb parzystych na wolne miejsca ustawiamy liczby nieparzyste, a możemy\nto zrobić na 5! sposobów.\nZatem\n6 20 5!\nA =\n⋅\n⋅\nIV metoda (ustalenie pozycji parzystych)\nWypiszmy wszystkie przypadki wyboru trzech miejsc, spośród ośmiu, dla liczb parzystych,\nz uwzględnieniem warunku, że żadne dwie parzyste nie sąsiadują ze sobą.\n(a) pierwsza liczba parzysta na pierwszym miejscu\np - p - p - - -, p - p - - p - -, p - p - - - p -, p - p - - - - p, p - - p - p - -,\np - - p - - p -, p - - p - - - p, p - - - p - p -, p - - - p - - p, p - - - - p - p,\n(b) pierwsza liczba parzysta na drugim miejscu\n- p - p - p - -, - p - p - - p -, - p - p - - - p, - p - - p - p -, - p - - p - - p,\n- p - - - p - p,\n(c) pierwsza liczba parzysta na trzecim miejscu\n- - p - p - p -, - - p - p - - p, - - p - - p - p,\n(d) pierwsza liczba parzysta na czwartym miejscu\n- - - p - p - p.\nŁącznie mamy 20 przypadków ustalenia w ciągu 8-wyrazowym pozycji liczb parzystych.\nZatem","solution":null,"image":"img/matematyka-2018-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 10. (6 pkt)<br>Punkt<br>(<br>)<br>7,<br>1<br>A =<br>jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego ABC, w którym AC<br>BC<br>Obie współrzędne wierzchołka C są liczbami ujemnymi. Okrąg wpisany w trójkąt ABC ma<br>równanie<br>. Oblicz współrzędne wierzchołków B i C tego trójkąta.<br>2<br>2<br>10<br>x<br>y</p>\n<p>Poziom rozszerzony<br>MMA_1R<br>Odpowiedź:<br>Wypełnia<br>egzaminator<br>Nr zadania<br>10.<br>Maks. liczba pkt<br>6<br>Uzyskana liczba pkt</p>\n<p>Poziom rozszerzony<br>MMA_1R</p>","answer_text_html":"<ol><li>Elementy statystyki opisowej. Teoria</li></ol>\n<p>prawdopodobieństwa i kombinatoryka. Zdający<br>wykorzystuje wzory na liczbę permutacji i wariacji do<br>zliczania obiektów w sytuacjach kombinatorycznych<br>(R10). Zdający wykorzystuje własności<br>prawdopodobieństwa i stosuje twierdzenie znane jako<br>klasyczna definicja prawdopodobieństwa do obliczania<br>prawdopodobieństw zdarzeń (10.d).<br>Przykładowe rozwiązania<br>I sposób<br>Zdarzeniami elementarnymi są permutacje (bez powtórzeń) zbioru ośmioelementowego<br>{<br>}<br>1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 9 .<br>Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa<br>8!<br>Ω =<br>Niech A będzie zdarzeniem, polegającym na tym, że żadne dwie liczby parzyste nie są<br>sąsiednimi wyrazami utworzonego ciągu. Ustalmy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych<br>sprzyjających zdarzeniu A.<br>I metoda<br>W zbiorze Z jest 5 liczb nieparzystych, więc możemy je ustawić w ciąg na 5! sposobów.<br>Otrzymamy wtedy sytuację:<br><em>(1)</em> n <em>(2)</em> n <em>(3)</em> n <em>(4)</em> n <em>(5)</em> n_(6)_<br>Pierwszą z pozostałych liczb (parzystych) zbioru Z możemy ustawić na jednym z sześciu<br>miejsc <em>(1)</em> - <em>(6)</em>, drugą na jednym z pozostałych pięciu, a trzecią na jednym z pozostałych<br>czterech.<br>Zatem<br>5! 6 5 4<br>A =<br>⋅⋅⋅.<br>II metoda<br>W zbiorze Z jest 5 liczb nieparzystych, więc możemy je ustawić w ciąg na 5! sposobów.<br>Otrzymamy wtedy sytuację:<br><em>(1)</em> n <em>(2)</em> n <em>(3)</em> n <em>(4)</em> n <em>(5)</em> n_(6)_<br>Trzy pozostałe liczby (parzyste) ze zbioru Z musimy ustawić na wybranych trzech miejscach<br>spośród sześciu miejsc <em>(1)</em> - _(6) Te trzy miejsca możemy wybrać na ( )<br>6<br>3 sposobów. Na<br>tych trzech ustalonych miejscach możemy trzy liczby parzyste ze zbioru Z ustawić na 3!<br>sposobów.<br>Zatem<br>( )<br>6<br>3<br>5!<br>3!<br>A =<br>⋅<br>⋅<br>III metoda (ustalenie kolejności parzystych, a następnie ustalenie pozycji parzystych)<br>W zbiorze Z mamy 3 liczby parzyste: 2, 4, 6. Możemy ustawić je w kolejności na 3!<br>6<br>sposobów. Jedną z takich możliwości jest kolejność: 2, 4, 6.<br>Wypiszmy wszystkie przypadki ustawienia tych trzech liczb w kolejności 2, 4, 6 w ciągu<br>8-wyrazowym:<br>(a) 2 na pierwszym miejscu<br>2 - 4 - 6 - - -, 2 - 4 - - 6 - -, 2 - 4 - - - 6 -, 2 - 4 - - - - 6, 2 - - 4 - 6 - -,<br>2 - - 4 - - 6 -, 2 - - 4 - - - 6, 2 - - - 4 - 6 -, 2 - - - 4 - - 6, 2 - - - - 4 - 6,<br>(b) 2 na drugim miejscu</p>\n<ul><li>2 - 4 - 6 - -, - 2 - 4 - - 6 -, - 2 - 4 - - - 6, - 2 - - 4 - 6 -, - 2 - - 4 - - 6,</li><li>2 - - - 4 - 6,</li></ul>\n<p>(c) 2 na trzecim miejscu</p>\n<ul><li>- 2 - 4 - 6 -, - - 2 - 4 - - 6, - - 2 - - 4 - 6,</li></ul>\n<p>(d) 2 na czwartym miejscu</p>\n<ul><li>- - 2 - 4 - 6.</li></ul>\n<p>Łącznie mamy 20 przypadków ustawienia w ciągu 8-wyrazowym trzech liczb parzystych</p>\n<ul><li>2, 4, 6 - w kolejności 2, 4, 6.</li></ul>\n<p>Ponieważ mamy 6 możliwości ustalenia kolejności dla trzech liczb 2, 4, 6, więc liczby<br>parzyste ze zbioru Z możemy ustawić na 6 20<br>⋅<br>sposobów.<br>Do ustawionych liczb parzystych na wolne miejsca ustawiamy liczby nieparzyste, a możemy<br>to zrobić na 5! sposobów.<br>Zatem<br>6 20 5!<br>A =<br>⋅<br>⋅<br>IV metoda (ustalenie pozycji parzystych)<br>Wypiszmy wszystkie przypadki wyboru trzech miejsc, spośród ośmiu, dla liczb parzystych,<br>z uwzględnieniem warunku, że żadne dwie parzyste nie sąsiadują ze sobą.<br>(a) pierwsza liczba parzysta na pierwszym miejscu<br>p - p - p - - -, p - p - - p - -, p - p - - - p -, p - p - - - - p, p - - p - p - -,<br>p - - p - - p -, p - - p - - - p, p - - - p - p -, p - - - p - - p, p - - - - p - p,<br>(b) pierwsza liczba parzysta na drugim miejscu</p>\n<ul><li>p - p - p - -, - p - p - - p -, - p - p - - - p, - p - - p - p -, - p - - p - - p,</li><li>p - - - p - p,</li></ul>\n<p>(c) pierwsza liczba parzysta na trzecim miejscu</p>\n<ul><li>- p - p - p -, - - p - p - - p, - - p - - p - p,</li></ul>\n<p>(d) pierwsza liczba parzysta na czwartym miejscu</p>\n<ul><li>- - p - p - p.</li></ul>\n<p>Łącznie mamy 20 przypadków ustalenia w ciągu 8-wyrazowym pozycji liczb parzystych.<br>Zatem</p>","solutions":[]}