{"id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/2","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"2","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2. (5 pkt)\nLiczby a, b, c, spełniające warunek 3\n3\n77\na\nb\nc\n, są odpowiednio pierwszym, drugim\ni trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Ciąg (\n)\n,\n1, 2\na b\nc\njest geometryczny. Wyznacz\nliczby a, b, c oraz podaj wyrazy ciągu geometrycznego.\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n2.\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R","answer":null,"answer_text":"2 75\n30\nCBD\nBCD\n°-⋅\n°-⋅\n° =\n°\n\n\nPole czworokąta ABCD jest równe\n2\n2\n2\n3\n1\n3\n1\n1\n3\n1\nsin30\n4\n2\n4\n2\n2\n4\nABCD\nABD\nBCD\na\na\nP\nP\nP\na a\na a\na\n⋅⋅\n° =\n⋅⋅\nII sposób - dwa trójkąty: równoboczny oraz trójkąt o podstawie a i wysokości 2\na\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. Trójkąt BAD jest równoramienny, gdyż\nAD\nAB\na\n. Jego kąt przy wierzchołku A jest równy\n, więc ten trójkąt jest\nrównoboczny. Zatem BD\na\noraz\n60\nADB =\n°\n\nWobec tego\n135\n60\n75\nBDC\nADC\nADB\n°-\n° =\n°\n\n\n\nPonieważ BD\na\ni BC\na\n, więc trójkąt BCD jest równoramienny. Zatem\n75\nBCD\nBDC\n°\n\n\n,\nwięc\n180\n2\n180\n2 75\n30\nCBD\nBCD\n°-⋅\n°-⋅\n° =\n°\n\n\noraz\n60\n30\n90\nABC\nABD\nDBC\n°+\n° =\n°\n\n\n\nPole czworokąta ABCD jest równe\n2\n2\n3\n1\n3\n1\n4\n2\n2\n4\nABCD\nABD\nBCD\na\na\nP\nP\nP\na\na\n⋅\n60\nBAD =\n°\n\nA\nB\nC\nD\na\na\nE\nF\nIII sposób - trójkąt prostokątny AED i trapez prostokątny EBCD\nTrójkąt BAD jest równoramienny, gdyż AD\nAB\na\n. Jego kąt przy wierzchołku A jest\nrówny\n, więc ten trójkąt jest równoboczny. Zatem BD\na\noraz\n60\nADB =\n°\n\nWobec tego\n135\n60\n75\nBDC\nADC\nADB\n°-\n° =\n°\n\n\n\nPonieważ BD\na\ni BC\na\n, więc trójkąt BCD jest równoramienny. Zatem\n75\nBCD\nBDC\n°\n\n\n,\nwięc\n180\n2\n180\n2 75\n30\nCBD\nBCD\n°-⋅\n°-⋅\n° =\n°\n\n\noraz\n60\n30\n90\nABC\nABD\nDBC\n°+\n° =\n°\n\n\n\nPole czworokąta ABCD jest równe\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n3\n1\n3\n1\n3\n3\n3\n2\n2 2\n2\n2\n2\n8\n4\n8\n4\nABCD\nAED\nEBCD\na\na\na\na a\na\na\na\na\nP\nP\nP\n⋅\n⋅\n⋅\nSchemat punktowania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania zadania 1 p.\nZdający zapisze, że trójkąt ABD jest równoboczny.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający\n• wywnioskuje, że trójkąt BCD jest równoramienny\nalbo\n• obliczy miarę kąta BDC:\n75\nBDC =\n°\n\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający wywnioskuje, że trójkąt BCD jest równoramienny i obliczy miarę kąta CBD:\n30\nCBD =\n°\n\n60\nBAD =\n°\n\nA\nB\nC\nD\na\na\nE\nF\nRozwiązanie prawie pełne 4 p.\nZdający\n• zapisze, że pole czworokąta ABCD jest równe sumie pól trójkątów ABD i BCD\ni obliczy pole trójkąta BCD:\n2\n1\nsin30\n2\n4\nBCD\na\nP\na a\n⋅⋅\n° =\nalbo\n• albo zapisze, że pole czworokąta ABCD jest równe sumie pól trójkątów ABD i BCD,\nobliczy miarę kąta ABC :\n90\nABC =\n°\n\ni obliczy pole trójkąta BCD:\n2\n1\n2\n2\n4\nBCD\na\na\nP\na\n⋅\nalbo\n• albo zapisze, że pole czworokąta ABCD jest równe sumie pól trójkątów AED i\ntrapezu, obliczy miarę kąta ABC :\n90\nABC =\n°\n\ni obliczy pole trapezu\n(\n)\n2\n2\n2\n3\n2\n3\n3\n2\n2\n2\n4\n8\n8\nEBCD\na\na\na\na\na\na\nP\n⋅\nalbo\n• wyznaczy pole czworokąta ABCD, popełniając błędy rachunkowe.\nRozwiązanie pełne 5 p.\nZdający obliczy pole czworokąta ABCD:\n2\n3\n1\n4\nABCD\nP\na\nZadanie 4. (0-4)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.","solution":null,"image":"img/matematyka-2018-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-2.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 2. (5 pkt)
Liczby a, b, c, spełniające warunek 3
3
77
a
b
c
, są odpowiednio pierwszym, drugim
i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Ciąg (
)
,
1, 2
a b
c
jest geometryczny. Wyznacz
liczby a, b, c oraz podaj wyrazy ciągu geometrycznego.

\n

Poziom rozszerzony
MMA_1R
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
2.
Maks. liczba pkt
5
Uzyskana liczba pkt

\n

Poziom rozszerzony
MMA_1R

","answer_text_html":"

2 75
30
CBD
BCD
°-⋅
°-⋅
° =
°


Pole czworokąta ABCD jest równe
2
2
2
3
1
3
1
1
3
1
sin30
4
2
4
2
2
4
ABCD
ABD
BCD
a
a
P
P
P
a a
a a
a
⋅⋅
° =
⋅⋅
II sposób - dwa trójkąty: równoboczny oraz trójkąt o podstawie a i wysokości 2
a
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. Trójkąt BAD jest równoramienny, gdyż
AD
AB
a
. Jego kąt przy wierzchołku A jest równy
, więc ten trójkąt jest
równoboczny. Zatem BD
a
oraz
60
ADB =
°

Wobec tego
135
60
75
BDC
ADC
ADB
°-
° =
°



Ponieważ BD
a
i BC
a
, więc trójkąt BCD jest równoramienny. Zatem
75
BCD
BDC
°


,
więc
180
2
180
2 75
30
CBD
BCD
°-⋅
°-⋅
° =
°


oraz
60
30
90
ABC
ABD
DBC
°+
° =
°



Pole czworokąta ABCD jest równe
2
2
3
1
3
1
4
2
2
4
ABCD
ABD
BCD
a
a
P
P
P
a
a
⋅
60
BAD =
°

A
B
C
D
a
a
E
F
III sposób - trójkąt prostokątny AED i trapez prostokątny EBCD
Trójkąt BAD jest równoramienny, gdyż AD
AB
a
. Jego kąt przy wierzchołku A jest
równy
, więc ten trójkąt jest równoboczny. Zatem BD
a
oraz
60
ADB =
°

Wobec tego
135
60
75
BDC
ADC
ADB
°-
° =
°



Ponieważ BD
a
i BC
a
, więc trójkąt BCD jest równoramienny. Zatem
75
BCD
BDC
°


,
więc
180
2
180
2 75
30
CBD
BCD
°-⋅
°-⋅
° =
°


oraz
60
30
90
ABC
ABD
DBC
°+
° =
°



Pole czworokąta ABCD jest równe
(
)
2
2
2
2
3
1
3
1
3
3
3
2
2 2
2
2
2
8
4
8
4
ABCD
AED
EBCD
a
a
a
a a
a
a
a
a
P
P
P
⋅
⋅
⋅
Schemat punktowania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania zadania 1 p.
Zdający zapisze, że trójkąt ABD jest równoboczny.
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.
Zdający
• wywnioskuje, że trójkąt BCD jest równoramienny
albo
• obliczy miarę kąta BDC:
75
BDC =
°

Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.
Zdający wywnioskuje, że trójkąt BCD jest równoramienny i obliczy miarę kąta CBD:
30
CBD =
°

60
BAD =
°

A
B
C
D
a
a
E
F
Rozwiązanie prawie pełne 4 p.
Zdający
• zapisze, że pole czworokąta ABCD jest równe sumie pól trójkątów ABD i BCD
i obliczy pole trójkąta BCD:
2
1
sin30
2
4
BCD
a
P
a a
⋅⋅
° =
albo
• albo zapisze, że pole czworokąta ABCD jest równe sumie pól trójkątów ABD i BCD,
obliczy miarę kąta ABC :
90
ABC =
°

i obliczy pole trójkąta BCD:
2
1
2
2
4
BCD
a
a
P
a
⋅
albo
• albo zapisze, że pole czworokąta ABCD jest równe sumie pól trójkątów AED i
trapezu, obliczy miarę kąta ABC :
90
ABC =
°

i obliczy pole trapezu
(
)
2
2
2
3
2
3
3
2
2
2
4
8
8
EBCD
a
a
a
a
a
a
P
⋅
albo
• wyznaczy pole czworokąta ABCD, popełniając błędy rachunkowe.
Rozwiązanie pełne 5 p.
Zdający obliczy pole czworokąta ABCD:
2
3
1
4
ABCD
P
a
Zadanie 4. (0-4)
III. Modelowanie
matematyczne.

","solutions":[]}