{"id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/3","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"3","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3. (5 pkt)\nDany jest czworokąt wypukły ABCD, w którym\n,\ni\n. Oblicz pole czworokąta ABCD.\nAD\nAB\nBC\na\n60\nBAD =\n°\n\n135\nADC =\n°\n\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n3.\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R","answer":null,"answer_text":"3. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje proste\nrównania i nierówności z wartością bezwzględną\n(R3.e).\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nWyróżniamy na osi liczbowej trzy przedziały: (\n)\n, 2\n-∞-\n,\n2,3\n, (\n)\n3,∞. Rozwiązujemy\nrównanie w tych przedziałach, sprawdzając czy otrzymane rozwiązanie należy do niego.\nDla\n(\n)\n, 2\nx∈-∞-\notrzymujemy równanie 3\n6\n3 11\nx\nx\n, a stąd\n10\nx = -\n. Liczba 10\nspełnia założenia\n(\n)\n, 2\nx∈-∞-\n, więc jest rozwiązaniem podanego w zadaniu równania.\nDla\n2,3\nx∈-\notrzymujemy równanie 3\n6\n3 11\nx\nx\n, a stąd\n2\nx =\n. Liczba 2 spełnia\nzałożenia\n2,3\nx∈-\n, więc jest rozwiązaniem podanego w zadaniu równania.\nDla\n(\n)\n3,\nx∈\n∞ otrzymujemy równanie 3\n6\n3 11\nx\nx\n, a stąd\n1\nx = . Liczba 1 nie należy do\nprzedziału (\n)\n3,∞, więc nie jest rozwiązaniem podanego równania.\nPodane równanie ma zatem dwa rozwiązania\n10\nx = -\ni\n2\nx =\nII sposób\nRozważamy cztery przypadki\n2\n0\n3\n0\nx\nx\n≥\n\n-\n≥\n\n,\n2\n0\n3\n0\nx\nx\n≥\n\n-\n<\n\n,\n2\n0\n3\n0\nx\nx\n<\n\n-\n≥\n\n,.\nW pierwszym przypadku:\n2\n0\n3\n0\nx\nx\n≥\n\n-\n≥\n\notrzymujemy równanie 3\n6\n3 11\nx\nx\n, a stąd\n1\nx = .\nLiczba ta nie spełnia drugiej nierówności układu, więc nie jest rozwiązaniem podanego\nrównania.\nW drugim przypadku:\n2\n0\n3\n0\nx\nx\n≥\n\n-\n<\n\notrzymujemy równanie 3\n6\n3 11\nx\nx\n, a stąd\n2\nx =\nLiczba ta spełnia obie nierówności układu, więc jest rozwiązaniem podanego równania.\nW trzecim przypadku:\n2\n0\n3\n0\nx\nx\n<\n\n-\n≥\n\notrzymujemy sprzeczność, ponieważ żadna liczba nie\nspełnia jednocześnie dwóch warunków:\n2\nx < - i\n3\nx ≥\nW czwartym przypadku:\n2\n0\n3\n0\nx\nx\n<\n\n-\n<\n\notrzymujemy równanie 3\n6\n3 11\nx\nx\n, a stąd\n10\nx = -\n. Liczba ta spełnia obie nierówności ostatniego układu, więc jest rozwiązaniem\nrównania.\nPodane równanie ma zatem dwa rozwiązania\n10\nx = -\ni\n2\nx =\nSchemat punktowania\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 1 p.\nZdający\n• poprawnie wyróżni na osi liczbowej trzy przedziały, np.: (\n)\n, 2\n-∞-\n,\n2,3\n, (\n)\n3,∞.\nalbo\n• zapisze cztery przypadki np.:\n2\n0\n3\n0\nx\nx\n≥\n\n-\n≥\n\n,\n2\n0\n3\n0\nx\nx\n≥\n\n-\n<\n\n,\n2\n0\n3\n0\nx\nx\n<\n\n-\n≥\n\n,\n2\n0\n3\n0\nx\nx\n<\n\n-\n<\n\nUwaga\nJeżeli zdający popełni błędy w wyznaczaniu przedziałów, ale nie są one konsekwencją błędu\nrachunkowego popełnionego przy przekształcaniu nierówności, to przyznajemy 0 punktów.\nPodobnie 0 punktów otrzymuje zdający, który błędnie zapisał cztery przypadki.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2 p.\nZdający\n• zapisze równanie w poszczególnych przedziałach, np.:\ndla\n(\n)\n, 2\nx∈-∞-\notrzymujemy równanie 3\n6\n3 11\nx\nx\n,\ndla\n2,3\nx∈-\notrzymujemy równanie 3\n6\n3 11\nx\nx\n,\ndla\n(\n)\n3,\nx∈\n∞ otrzymujemy równanie 3\n6\n3 11\nx\nx\n,\nalbo\n• zapisze równanie w poszczególnych przypadkach, np.:\ngdy\n2\n0\n3\n0\nx\nx\n≥\n\n-\n≥\n\n, to wtedy 3\n6\n3 11\nx\nx\n,\ngdy\n2\n0\n3\n0\nx\nx\n≥\n\n-\n<\n\n, to wtedy 3\n6\n3 11\nx\nx\n,\ngdy\n2\n0\n3\n0\nx\nx\n<\n\n-\n≥\n\n, to wtedy 3\n6\n3 11\nx\nx\n, (lub stwierdzi, że ten przypadek jest\nniemożliwy),\ngdy\n2\n0\n3\n0\nx\nx\n<\n\n-\n<\n\n, to wtedy 3\n6\n3 11\nx\nx\nRozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają\npoprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) 3 p.\nZdający poprawnie rozwiąże równania, sprawdzi czy otrzymane liczby spełniają założenia\ni popełni błąd w jednym z przypadków.\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający podaje rozwiązania:\n10\nx = -\ni\n2\nx =\nUwaga\nJeżeli zdający trzykrotnie poprawnie zapisuje poszczególne przedziały, w każdym z tych\nprzedziałów poprawnie zapisuje i rozwiązuje równanie i w odpowiedzi do zadania podaje:\n-10, 2, 1, to otrzymuje 3 punkty.\nZadanie 2. (0-5)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.","solution":null,"image":"img/matematyka-2018-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 3. (5 pkt)
Dany jest czworokąt wypukły ABCD, w którym
,
i
. Oblicz pole czworokąta ABCD.
AD
AB
BC
a
60
BAD =
°

135
ADC =
°

\n

Poziom rozszerzony
MMA_1R
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
3.
Maks. liczba pkt
5
Uzyskana liczba pkt

\n

Poziom rozszerzony
MMA_1R

","answer_text_html":"
  1. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje proste
\n

równania i nierówności z wartością bezwzględną
(R3.e).
Przykładowe rozwiązania
I sposób
Wyróżniamy na osi liczbowej trzy przedziały: (
)
, 2
-∞-
,
2,3
, (
)
3,∞. Rozwiązujemy
równanie w tych przedziałach, sprawdzając czy otrzymane rozwiązanie należy do niego.
Dla
(
)
, 2
x∈-∞-
otrzymujemy równanie 3
6
3 11
x
x
, a stąd
10
x = -
. Liczba 10
spełnia założenia
(
)
, 2
x∈-∞-
, więc jest rozwiązaniem podanego w zadaniu równania.
Dla
2,3
x∈-
otrzymujemy równanie 3
6
3 11
x
x
, a stąd
2
x =
. Liczba 2 spełnia
założenia
2,3
x∈-
, więc jest rozwiązaniem podanego w zadaniu równania.
Dla
(
)
3,
x∈
∞ otrzymujemy równanie 3
6
3 11
x
x
, a stąd
1
x = . Liczba 1 nie należy do
przedziału (
)
3,∞, więc nie jest rozwiązaniem podanego równania.
Podane równanie ma zatem dwa rozwiązania
10
x = -
i
2
x =
II sposób
Rozważamy cztery przypadki
2
0
3
0
x
x
≥

-
≥

,
2
0
3
0
x
x
≥

-
<

,
2
0
3
0
x
x
<

-
≥

,.
W pierwszym przypadku:
2
0
3
0
x
x
≥

-
≥

otrzymujemy równanie 3
6
3 11
x
x
, a stąd
1
x = .
Liczba ta nie spełnia drugiej nierówności układu, więc nie jest rozwiązaniem podanego
równania.
W drugim przypadku:
2
0
3
0
x
x
≥

-
<

otrzymujemy równanie 3
6
3 11
x
x
, a stąd
2
x =
Liczba ta spełnia obie nierówności układu, więc jest rozwiązaniem podanego równania.
W trzecim przypadku:
2
0
3
0
x
x
<

-
≥

otrzymujemy sprzeczność, ponieważ żadna liczba nie
spełnia jednocześnie dwóch warunków:
2
x < - i
3
x ≥
W czwartym przypadku:
2
0
3
0
x
x
<

-
<

otrzymujemy równanie 3
6
3 11
x
x
, a stąd
10
x = -
. Liczba ta spełnia obie nierówności ostatniego układu, więc jest rozwiązaniem
równania.
Podane równanie ma zatem dwa rozwiązania
10
x = -
i
2
x =
Schemat punktowania
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 1 p.
Zdający
• poprawnie wyróżni na osi liczbowej trzy przedziały, np.: (
)
, 2
-∞-
,
2,3
, (
)
3,∞.
albo
• zapisze cztery przypadki np.:
2
0
3
0
x
x
≥

-
≥

,
2
0
3
0
x
x
≥

-
<

,
2
0
3
0
x
x
<

-
≥

,
2
0
3
0
x
x
<

-
<

Uwaga
Jeżeli zdający popełni błędy w wyznaczaniu przedziałów, ale nie są one konsekwencją błędu
rachunkowego popełnionego przy przekształcaniu nierówności, to przyznajemy 0 punktów.
Podobnie 0 punktów otrzymuje zdający, który błędnie zapisał cztery przypadki.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 2 p.
Zdający
• zapisze równanie w poszczególnych przedziałach, np.:
dla
(
)
, 2
x∈-∞-
otrzymujemy równanie 3
6
3 11
x
x
,
dla
2,3
x∈-
otrzymujemy równanie 3
6
3 11
x
x
,
dla
(
)
3,
x∈
∞ otrzymujemy równanie 3
6
3 11
x
x
,
albo
• zapisze równanie w poszczególnych przypadkach, np.:
gdy
2
0
3
0
x
x
≥

-
≥

, to wtedy 3
6
3 11
x
x
,
gdy
2
0
3
0
x
x
≥

-
<

, to wtedy 3
6
3 11
x
x
,
gdy
2
0
3
0
x
x
<

-
≥

, to wtedy 3
6
3 11
x
x
, (lub stwierdzi, że ten przypadek jest
niemożliwy),
gdy
2
0
3
0
x
x
<

-
<

, to wtedy 3
6
3 11
x
x
Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają
poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) 3 p.
Zdający poprawnie rozwiąże równania, sprawdzi czy otrzymane liczby spełniają założenia
i popełni błąd w jednym z przypadków.
Rozwiązanie pełne 4 p.
Zdający podaje rozwiązania:
10
x = -
i
2
x =
Uwaga
Jeżeli zdający trzykrotnie poprawnie zapisuje poszczególne przedziały, w każdym z tych
przedziałów poprawnie zapisuje i rozwiązuje równanie i w odpowiedzi do zadania podaje:
-10, 2, 1, to otrzymuje 3 punkty.
Zadanie 2. (0-5)
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
III. Modelowanie
matematyczne.

","solutions":[]}