{"id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/5","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"5","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5. (3 pkt)\nTrójkąt ABC jest ostrokątny oraz AC\nBC\n>\n. Dwusieczna\nC\nd kąta ACB przecina bok AB\nw punkcie K. Punkt L jest obrazem punktu K w symetrii osiowej względem dwusiecznej\nA\nd\nkąta BAC, punkt M jest obrazem punktu L w symetrii osiowej względem dwusiecznej\nC\nd kąta\nACB, a punkt N jest obrazem punktu M w symetrii osiowej względem dwusiecznej\nB\nd kąta\nABC (zobacz rysunek).\nUdowodnij, że na czworokącie KNML można opisać okrąg.\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R","answer":null,"answer_text":"5. Ciągi liczbowe. Zdający stosuje wzory na n-ty wyraz\ni sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego\ni ciągu geometrycznego, również umieszczone\nw kontekście praktycznym (5.c).\nPrzykładowe rozwiązanie\nOznaczmy przez r różnicę ciągu arytmetycznego. Z równania 3\n3\n77\na\nb\nc\notrzymujemy\n3\n3\n3\n3\n77\nb\nr\nb\nb\nr\n, a stąd\n11\nb =\nCiąg geometryczny (\n)\n11\n,12,22\n2\nr\nr\nspełnia warunek\n(\n) (\n)\n144\n2 11\n11\nr\nr\n⋅\n. Równanie\nto ma dwa rozwiązania\n7\nr =\ni\n7\nr = -.\nW pierwszym przypadku otrzymujemy ciąg arytmetyczny (\n)\n4,11,18 i ciąg geometryczny\n(\n)\n4,12,36 , a w drugim przypadku otrzymujemy ciąg arytmetyczny (\n)\n18,11,4 i ciąg\ngeometryczny (\n)\n18,12,8 .\nSchemat punktowania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania zadania 1 p.\nZdający wykorzystuje definicję ciągu arytmetycznego, np. poprzez wprowadzenie oznaczeń:\na\nb\nr\n,\n10\nb\nr\n+ i c\nb\nr\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający zapisuje warunki wystarczające do wyznaczenia wartości b np. równanie z jedną\nniewiadomą, wynikające z warunku o sumie wyrazów ciągu arytmetycznego:\n3\n3\n3\n3\n77\nb\nr\nb\nb\nr\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający ułoży równanie z jedną niewiadomą, np.\n(\n) (\n)\n144\n2 11\n11\nr\nr\n⋅\nRozwiązanie prawie pełne 4 p.\nZdający\n• wyznaczy wartości liczb a, b, c w obu przypadkach i nie poda wyrazów ciągu\ngeometrycznego\nalbo\n• wyznaczy wartości liczb a, b, c oraz poda wyrazy ciągu geometrycznego tylko\nw jednym przypadku.\nRozwiązanie pełne 5 p.\nZdający wyznaczy wartości liczb a, b, c oraz wyrazy ciągu geometrycznego:\n4,\n11,\n18\na\nb\nc\ni ciąg geometryczny (\n)\n4,12,36 lub\n18,\n11,\n4\na\nb\nc\ni ciąg\ngeometryczny (\n)\n18,12,8 .\nUwaga\nZapisanie układu równań wynikającego z warunku o sumie wyrazów ciągu arytmetycznego,\nktóry wystarcza do wyznaczenia wyrazu b np.\n(\n)\n7\n77\n,\na\nr\nb\na\nr\n=\n\nuznajemy za istotny postęp\ni przyznajemy w takim przypadku 2 punkty.\nZadanie 3. (0-5)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji.","solution":null,"image":"img/matematyka-2018-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 5. (3 pkt)
Trójkąt ABC jest ostrokątny oraz AC
BC

\n
\n

. Dwusieczna
C
d kąta ACB przecina bok AB
w punkcie K. Punkt L jest obrazem punktu K w symetrii osiowej względem dwusiecznej
A
d
kąta BAC, punkt M jest obrazem punktu L w symetrii osiowej względem dwusiecznej
C
d kąta
ACB, a punkt N jest obrazem punktu M w symetrii osiowej względem dwusiecznej
B
d kąta
ABC (zobacz rysunek).
Udowodnij, że na czworokącie KNML można opisać okrąg.

\n

Poziom rozszerzony
MMA_1R

","answer_text_html":"
  1. Ciągi liczbowe. Zdający stosuje wzory na n-ty wyraz
\n

i sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego
i ciągu geometrycznego, również umieszczone
w kontekście praktycznym (5.c).
Przykładowe rozwiązanie
Oznaczmy przez r różnicę ciągu arytmetycznego. Z równania 3
3
77
a
b
c
otrzymujemy
3
3
3
3
77
b
r
b
b
r
, a stąd
11
b =
Ciąg geometryczny (
)
11
,12,22
2
r
r
spełnia warunek
(
) (
)
144
2 11
11
r
r
⋅
. Równanie
to ma dwa rozwiązania
7
r =
i
7
r = -.
W pierwszym przypadku otrzymujemy ciąg arytmetyczny (
)
4,11,18 i ciąg geometryczny
(
)
4,12,36 , a w drugim przypadku otrzymujemy ciąg arytmetyczny (
)
18,11,4 i ciąg
geometryczny (
)
18,12,8 .
Schemat punktowania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania zadania 1 p.
Zdający wykorzystuje definicję ciągu arytmetycznego, np. poprzez wprowadzenie oznaczeń:
a
b
r
,
10
b
r

\n\n

b
r
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.
Zdający zapisuje warunki wystarczające do wyznaczenia wartości b np. równanie z jedną
niewiadomą, wynikające z warunku o sumie wyrazów ciągu arytmetycznego:
3
3
3
3
77
b
r
b
b
r
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.
Zdający ułoży równanie z jedną niewiadomą, np.
(
) (
)
144
2 11
11
r
r
⋅
Rozwiązanie prawie pełne 4 p.
Zdający
• wyznaczy wartości liczb a, b, c w obu przypadkach i nie poda wyrazów ciągu
geometrycznego
albo
• wyznaczy wartości liczb a, b, c oraz poda wyrazy ciągu geometrycznego tylko
w jednym przypadku.
Rozwiązanie pełne 5 p.
Zdający wyznaczy wartości liczb a, b, c oraz wyrazy ciągu geometrycznego:
4,
11,
18
a
b
c
i ciąg geometryczny (
)
4,12,36 lub
18,
11,
4
a
b
c
i ciąg
geometryczny (
)
18,12,8 .
Uwaga
Zapisanie układu równań wynikającego z warunku o sumie wyrazów ciągu arytmetycznego,
który wystarcza do wyznaczenia wyrazu b np.
(
)
7
77
,
a
r
b
a
r
=

uznajemy za istotny postęp
i przyznajemy w takim przypadku 2 punkty.
Zadanie 3. (0-5)
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
II. Wykorzystanie
i interpretowanie reprezentacji.

","solutions":[]}