{"id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/6","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"6","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6. (3 pkt)\nUdowodnij, że dla każdej liczby całkowitej k i dla każdej liczby całkowitej m liczba\n3\n3\nkm\nm\nk\njest podzielna przez 6.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n5.\n6.\nMaks. liczba pkt\n3\n3\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R","answer":null,"answer_text":"6 3! 5! 2 5 3! 5! 5 4 3! 5!\n⋅\n⋅\n⋅⋅\n⋅\n+ ⋅⋅\n⋅\nObliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A:\n( )\n(\n)\n36 3! 5!\n36 6\n36\n20\n5\n1\n1\n1\n1\n8!\n6 7 8\n56\n56\n14\nP A\nP A\n⋅⋅\n⋅\n′\n⋅⋅\nUwaga! Zdający może wypisywać przypadki, w których wystąpią zdarzenia elementarne\nsprzyjające zdarzeniu\n, stosując metody analogiczne do metod III, IV, V z I sposobu\nrozwiązania, i uwzględnić 36 rozłącznych przypadków.\nSchemat punktowania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 p.\nZdający\n• zapisze\n8!\nΩ =\nalbo\n• wypisze przynajmniej 11 różnych przypadków spośród 20, gdy rozpatruje zdarzenie A\nalbo\n• wypisze przynajmniej 19 różnych przypadków spośród 36, gdy rozpatruje zdarzenie A′,\nalbo\n• zapisze, że jest ( )\n6\n3 lub 6 5 4\n⋅⋅\nprzypadków, gdy rozpatruje zdarzenie A (lub\n6\n2 5\n5 4\n⋅+ ⋅ przypadków, gdy rozpatruje zdarzenie A′),\nalbo\n• zapisze iloczyn 3! 5!\n⋅\nlub w inny sposób zaznaczy uwzględnienie iloczynu 3! 5!\n⋅\n,\nwynikającego z permutacji liczb parzystych i liczb nieparzystych na wybranych dla nich\nmiejscach,\nalbo\n• narysuje drzewo z wyróżnionymi co najmniej 11 różnymi istotnymi gałęziami\nodpowiadającymi zdarzeniu A (albo z wyróżnionymi co najmniej 19 różnymi istotnymi\ngałęziami odpowiadającymi zdarzeniu\n),\nalbo\n• narysuje niepełne drzewo (może wystąpić brak istotnych gałęzi odpowiadających\nzdarzeniu A lub\n), ale na wszystkich odcinkach co najmniej jednej gałęzi zapisze\nprawdopodobieństwa, przy czym gałąź ta musi uwzględniać jeden z przypadków:\nwylosowano 3 parzyste liczby lub wylosowano 7 liczb\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający\n• zapisze\n8!\nΩ =\ni wypisze przynajmniej 11 różnych przypadków spośród 20, gdy\nrozpatruje zdarzenie A,\nalbo\n• zapisze\n8!\nΩ =\ni wypisze przynajmniej 19 różnych przypadków spośród 36, gdy\nrozpatruje zdarzenie A′,\nA′\nA′\nA′\nA′\nalbo\n• zapisze\n8!\nΩ =\ni zapisze, że jest ( )\n6\n3 lub 6 5 4\n⋅⋅\nprzypadków, gdy rozpatruje zdarzenie A\n(lub 6\n2 5\n5 4\n⋅+\n⋅ przypadków, gdy rozpatruje zdarzenie A′),\nalbo\n• zapisze\n( )\n6\n3\n3! 5!\nA =\n⋅⋅\nlub\n6 5 4 5!\nA =\n⋅⋅⋅\nlub\n20 3! 5!\nA =\n⋅\n⋅\nlub\n(\n)\n6\n2 5\n5 4\n3! 5!\nA′ =\n⋅+ ⋅\n⋅\n⋅\nlub\n36 3! 5!\n′ =\n⋅\n⋅\nA\n,\nalbo\n• narysuje drzewo z wyróżnionymi co najmniej 11 różnymi istotnymi gałęziami\nodpowiadającymi zdarzeniu A (albo z wyróżnionymi co najmniej 19 różnymi istotnymi\ngałęziami odpowiadającymi zdarzeniu\n) i na wszystkich odcinkach co najmniej jednej\ngałęzi zapisze prawdopodobieństwa, przy czym gałąź ta musi uwzględniać jeden\nz przypadków: wylosowano 3 parzyste liczby lub wylosowano 7 liczb\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający\n• zapisze\n8!\nΩ =\ni zapisze\n( )\n6\n3\n3! 5!\nA =\n⋅⋅\nlub\n6 5 4 5!\nA =\n⋅⋅⋅\nlub\n20 3! 5!\nA =\n⋅\n⋅\nlub\n(\n)\n6\n2 5\n5 4\n3! 5!\nA′ =\n⋅+ ⋅\n⋅\n⋅\nlub\n36 3! 5!\n′ =\n⋅\n⋅\nA\nalbo\n• zapisze prawdopodobieństwo zdarzenia A (albo\n) zgodnie z „metodą drzewkową”.\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający obliczy prawdopodobieństwo:\n( )\n5\n14\nP A =\nUwagi","solution":null,"image":"img/matematyka-2018-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 6. (3 pkt)
Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej k i dla każdej liczby całkowitej m liczba
3
3
km
m
k
jest podzielna przez 6.
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
5.
6.
Maks. liczba pkt
3
3
Uzyskana liczba pkt

\n

Poziom rozszerzony
MMA_1R

","answer_text_html":"

6 3! 5! 2 5 3! 5! 5 4 3! 5!
⋅
⋅
⋅⋅
⋅

\n\n

⋅
Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A:
( )
(
)
36 3! 5!
36 6
36
20
5
1
1
1
1
8!
6 7 8
56
56
14
P A
P A
⋅⋅
⋅
′
⋅⋅
Uwaga! Zdający może wypisywać przypadki, w których wystąpią zdarzenia elementarne
sprzyjające zdarzeniu
, stosując metody analogiczne do metod III, IV, V z I sposobu
rozwiązania, i uwzględnić 36 rozłącznych przypadków.
Schemat punktowania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania 1 p.
Zdający
• zapisze
8!
Ω =
albo
• wypisze przynajmniej 11 różnych przypadków spośród 20, gdy rozpatruje zdarzenie A
albo
• wypisze przynajmniej 19 różnych przypadków spośród 36, gdy rozpatruje zdarzenie A′,
albo
• zapisze, że jest ( )
6
3 lub 6 5 4
⋅⋅
przypadków, gdy rozpatruje zdarzenie A (lub
6
2 5
5 4
⋅+ ⋅ przypadków, gdy rozpatruje zdarzenie A′),
albo
• zapisze iloczyn 3! 5!
⋅
lub w inny sposób zaznaczy uwzględnienie iloczynu 3! 5!
⋅
,
wynikającego z permutacji liczb parzystych i liczb nieparzystych na wybranych dla nich
miejscach,
albo
• narysuje drzewo z wyróżnionymi co najmniej 11 różnymi istotnymi gałęziami
odpowiadającymi zdarzeniu A (albo z wyróżnionymi co najmniej 19 różnymi istotnymi
gałęziami odpowiadającymi zdarzeniu
),
albo
• narysuje niepełne drzewo (może wystąpić brak istotnych gałęzi odpowiadających
zdarzeniu A lub
), ale na wszystkich odcinkach co najmniej jednej gałęzi zapisze
prawdopodobieństwa, przy czym gałąź ta musi uwzględniać jeden z przypadków:
wylosowano 3 parzyste liczby lub wylosowano 7 liczb
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.
Zdający
• zapisze
8!
Ω =
i wypisze przynajmniej 11 różnych przypadków spośród 20, gdy
rozpatruje zdarzenie A,
albo
• zapisze
8!
Ω =
i wypisze przynajmniej 19 różnych przypadków spośród 36, gdy
rozpatruje zdarzenie A′,
A′
A′
A′
A′
albo
• zapisze
8!
Ω =
i zapisze, że jest ( )
6
3 lub 6 5 4
⋅⋅
przypadków, gdy rozpatruje zdarzenie A
(lub 6
2 5
5 4
⋅+
⋅ przypadków, gdy rozpatruje zdarzenie A′),
albo
• zapisze
( )
6
3
3! 5!
A =
⋅⋅
lub
6 5 4 5!
A =
⋅⋅⋅
lub
20 3! 5!
A =
⋅
⋅
lub
(
)
6
2 5
5 4
3! 5!
A′ =
⋅+ ⋅
⋅
⋅
lub
36 3! 5!
′ =
⋅
⋅
A
,
albo
• narysuje drzewo z wyróżnionymi co najmniej 11 różnymi istotnymi gałęziami
odpowiadającymi zdarzeniu A (albo z wyróżnionymi co najmniej 19 różnymi istotnymi
gałęziami odpowiadającymi zdarzeniu
) i na wszystkich odcinkach co najmniej jednej
gałęzi zapisze prawdopodobieństwa, przy czym gałąź ta musi uwzględniać jeden
z przypadków: wylosowano 3 parzyste liczby lub wylosowano 7 liczb
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.
Zdający
• zapisze
8!
Ω =
i zapisze
( )
6
3
3! 5!
A =
⋅⋅
lub
6 5 4 5!
A =
⋅⋅⋅
lub
20 3! 5!
A =
⋅
⋅
lub
(
)
6
2 5
5 4
3! 5!
A′ =
⋅+ ⋅
⋅
⋅
lub
36 3! 5!
′ =
⋅
⋅
A
albo
• zapisze prawdopodobieństwo zdarzenia A (albo
) zgodnie z „metodą drzewkową”.
Rozwiązanie pełne 4 p.
Zdający obliczy prawdopodobieństwo:
( )
5
14
P A =
Uwagi

","solutions":[]}