{"id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/9","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"9","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9. (6 pkt)\nWyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie\n(\n)\n2\n2\n1\n1\n0\nx\nm\nx\nm\nma\ndwa rozwiązania rzeczywiste\n1x i\n2x (\n1\n2\nx\nx\n≠\n), spełniające warunek\n3\n3\n1\n2\n1\n2\n7\nx\nx\nx x\n> -\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n9.\nMaks. liczba pkt\n6\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R","answer":null,"answer_text":"9. Stereometria. Zdający wyznacza przekroje\nwielościanów płaszczyzną (R9.a).\nPrzykładowe rozwiązanie\nNiech SO będzie wysokością ostrosłupa ABCS, niech BE będzie wysokością podstawy ABC,\nniech ponadto SE oraz SF będą wysokościami odpowiednich ścian tego ostrosłupa.\nZgodnie z warunkami zadania mamy, że trójkąt EFS jest trójkątem równobocznym, przy\nczym EF\na\nPunkt E jest środkiem krawędzi AC, punkt F jest środkiem krawędzi BC, zatem długość\nkrawędzi podstawy ostrosłupa jest równa 2a , stąd AE\na\nRozpatrujemy trójkąt prostokątny AES, w którym\n90\nAES =\n°\n\n,\n4 3\n3\nAS =\nZ twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy równanie\n2\n2\n4 3\n2\n3\na\n\n=\n\n\n\n\n\n\n, stąd\n2 6\n3\na =\nPonieważ\n2\nAB\na\nwięc otrzymujemy\n4 6\n3\nAB =\nObliczamy długość odcinka OE:\n1\n3\nOE\nEB\n⋅\nczyli\n3\n1\n3\n2\nAB\nOE =\n⋅\n,\nskąd po podstawieniu długości krawędzi AB mamy\n4 6\n3\n1\n2 2\n3\n3\n2\n3\nOE\n⋅\n⋅\nZ trójkąta prostokątnego EOS wyznaczamy wysokość SO ostrosłupa;\n2\n2\n2\nSO\nSE\nEO\n,\n2\n2\n2\n2 6\n2 2\n16\n3\n2\n9\nSO\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nStąd\n4\n3\nSO =\nObliczamy objętość V ostrosłupa:\n2\n4 6\n3\n3\n1\n4\n32 3\n3\n4\n3\n27\nV\n\n\n\n\n\n\n⋅\n⋅\nSchemat punktowania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 pkt\nZdający zapisze długość krawędzi podstawy ostrosłupa w zależności od a , np.:\n2\nAB\na\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nZdający\n• zapisze równanie\n2\n2\n4 3\n2\n3\na\n\n=\n\n\n\n\n\n\n,\nalbo\n• zapisze zależność\n3\n1\n3\n3\n2\n3\nAB\na\nOE =\n⋅\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nZdający obliczy długość odcinka AB:\n4 6\n3\nAB =\nRozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają\npoprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) 4 pkt\nZdający\n• obliczy wysokość ostrosłupa, np.\n2\n2\n2\n2 6\n2 2\n3\n2\nSO\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n, stąd\n4\n3\nSO =\nalbo\n• obliczy objętość ostrosłupa z błędem rachunkowym.\nRozwiązanie pełne 5 pkt\nZdający obliczy objętość ostrosłupa:\n32 3\n27\nV =","solution":null,"image":"img/matematyka-2018-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 9. (6 pkt)
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie
(
)
2
2
1
1
0
x
m
x
m
ma
dwa rozwiązania rzeczywiste
1x i
2x (
1
2
x
x
≠
), spełniające warunek
3
3
1
2
1
2
7
x
x
x x

\n
-
\n

Poziom rozszerzony
MMA_1R
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
9.
Maks. liczba pkt
6
Uzyskana liczba pkt

\n

Poziom rozszerzony
MMA_1R

","answer_text_html":"
  1. Stereometria. Zdający wyznacza przekroje
\n

wielościanów płaszczyzną (R9.a).
Przykładowe rozwiązanie
Niech SO będzie wysokością ostrosłupa ABCS, niech BE będzie wysokością podstawy ABC,
niech ponadto SE oraz SF będą wysokościami odpowiednich ścian tego ostrosłupa.
Zgodnie z warunkami zadania mamy, że trójkąt EFS jest trójkątem równobocznym, przy
czym EF
a
Punkt E jest środkiem krawędzi AC, punkt F jest środkiem krawędzi BC, zatem długość
krawędzi podstawy ostrosłupa jest równa 2a , stąd AE
a
Rozpatrujemy trójkąt prostokątny AES, w którym
90
AES =
°

,
4 3
3
AS =
Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy równanie
2
2
4 3
2
3
a

=






, stąd
2 6
3
a =
Ponieważ
2
AB
a
więc otrzymujemy
4 6
3
AB =
Obliczamy długość odcinka OE:
1
3
OE
EB
⋅
czyli
3
1
3
2
AB
OE =
⋅
,
skąd po podstawieniu długości krawędzi AB mamy
4 6
3
1
2 2
3
3
2
3
OE
⋅
⋅
Z trójkąta prostokątnego EOS wyznaczamy wysokość SO ostrosłupa;
2
2
2
SO
SE
EO
,
2
2
2
2 6
2 2
16
3
2
9
SO
















Stąd
4
3
SO =
Obliczamy objętość V ostrosłupa:
2
4 6
3
3
1
4
32 3
3
4
3
27
V






⋅
⋅
Schemat punktowania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania 1 pkt
Zdający zapisze długość krawędzi podstawy ostrosłupa w zależności od a , np.:
2
AB
a
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt
Zdający
• zapisze równanie
2
2
4 3
2
3
a

=






,
albo
• zapisze zależność
3
1
3
3
2
3
AB
a
OE =
⋅
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt
Zdający obliczy długość odcinka AB:
4 6
3
AB =
Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają
poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) 4 pkt
Zdający
• obliczy wysokość ostrosłupa, np.
2
2
2
2 6
2 2
3
2
SO
















, stąd
4
3
SO =
albo
• obliczy objętość ostrosłupa z błędem rachunkowym.
Rozwiązanie pełne 5 pkt
Zdający obliczy objętość ostrosłupa:
32 3
27
V =

","solutions":[]}