{"id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa","number":"26","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2018,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (0-2)\nRozwiąż nierówność: x x\nx\nx\n4\n2\n1\n4\nG\nh\nh\nh.\nOdpowiedź:\n\n11 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy","answer":null,"answer_text":"Zadanie 26. (0-2)\nRozwiąż nierówność: x x\nx\nx\n4\n2\n1\n4\nG\nh\nh\nh.\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n3.5. Równania i nierówności.\nZdający rozwiązuje nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą.\nPrzykładowe rozwiązania\nRozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów. Pierwszy polega na ustaleniu\npierwiastków trójmianu kwadratowego, drugi - na ustaleniu zbioru rozwiązań nierówności.\nRealizacja pierwszego etapu\nSposób I\nPrzenosimy składniki na jedną stronę nierówności\nx\nx\nx x\n2\n1\n4\n4\n0\nH\nh\nh\nh\ni wyłączamy wspólny czynnik poza nawias, zapisując nierówność w postaci iloczynowej.\nx\nx\nx\n4\n2\n1\n0\nH\n^h\nh\nx\nx\n4\n1\n0\nH\n^h\nh\nPierwiastkami trójmianu kwadratowego x\nx\n4\n1\n^h\nh są liczby\n1\nx1 =- , x\n4\n2 = .\nSposób II\nWymnażamy obie strony nierówności:\nx\nx\nx\nx\nx\n4\n2\n8\n4\n2\n2\nG\ni redukujemy wyrazy podobne, zapisując nierówność w postaci równoważnej:\nx\nx\n3\n4\n0\n2\nH\nZnajdujemy pierwiastki trójmianu kwadratowego x\nx\n3\n4\n2 -\nObliczamy wyróżnik tego trójmianu kwadratowego:\n3\n4 1\n4\n25\n2\n$\n$\nT =\nh\nh\n, stąd\n1\nx\n2\n3\n5\n1 =\n=- , x\n2\n3\n5\n4\n2 =\nalbo\nstosujemy wzory Viète’a:\nx\nx\n4\n1\n2\n$\n=- oraz x\nx\n3\n1\n2\n= , stąd x\n1\n1 =- oraz x\n4\n2 = ,\nalbo\npodajemy je bezpośrednio, zapisując pierwiastki trójmianu\n1\nx1 =- , x\n4\n2 = (podajemy uzasadnienie, np. f\nf\n1\n4\n0\nh\nh\n)\nlub zaznaczając je na wykresie.\nx\ny\n0\n1\n2\n3\n4 5\n-2-1\n2\n1\n-1\n-2\n-3\n-5\n-4\n-6\n7 z 19\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy\nRealizacja drugiego etapu\nPodajemy zbiór rozwiązań nierówności:\n1\nx G- lub x\n4\nH .\nAlternatywnie:\n,\n,\nx\n1\n4\n,\n3\n3\n!\nh\nh.\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje\n1 pkt\ngdy:\nprawidłowo wyznaczy pierwiastki trójmianu kwadratowego:\n1\nx1 =- , x\n4\n2 = i na tym poprzestanie\nlub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności\nalbo\nrealizując pierwszy etap, popełni błąd, ale otrzyma dwa różne pierwiastki i konsekwentnie\nrozwiąże nierówność.\nZdający otrzymuje\n2 pkt\ngdy:\npoda zbiór rozwiązań nierówności:\n,\n,\nx\n1\n4\n,\n3\n3\n! -\nh\nh albo w postaci:\n1\nx G- lub x\n4\nH\nalbo\nsporządzi poprawną ilustrację geometryczną (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiązań\nnierówności w postaci:\n1\nx G- lub x\n4\nH ,\nalbo\npoda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami\nprzedziałów.\nUwagi\n1. Jeżeli zdający podzieli obie strony nierówności przez x\n4\n- bez stosownego założenia lub rozważy\ntylko jedno założenie: x\n4\n2 albo x\n4\n1 , to otrzymuje 0 punktów.\n2. Jeżeli zdający podzieli obie strony nierówności przez x\n4\n- i rozważy jedno z założeń: x\n4\n2 ,\nx\n4\n1 oraz sprawdzi warunek x\n4\n= , rozwiąże nierówność w każdym z dwóch przypadków oraz\nkonsekwentnie wyznaczy zbiór rozwiązań nierówności, to otrzymuje 1 punkt.\n3. Jeżeli zdający podzieli obie strony nierówności przez x\n4\n- i rozważy dwa założenia: x\n4\n2 , x\n4\n1\noraz sprawdzi warunek x\n4\n= , rozwiąże nierówność w każdym z trzech przypadków i poprawnie\nwyznaczy zbiór rozwiązań nierówności, to otrzymuje 2 punkty.","solution":"$x \\in (-\\infty, -1\\rangle \\cup \\langle 4, \\infty)$","image":"img/matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":null,"topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 26. (0-2)
Rozwiąż nierówność: x x
x
x
4
2
1
4
G
h
h
h.
Odpowiedź:

\n

11 z 22
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom podstawowy

","answer_text_html":"

Zadanie 26. (0-2)
Rozwiąż nierówność: x x
x
x
4
2
1
4
G
h
h
h.
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
II. Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji.
3.5. Równania i nierówności.
Zdający rozwiązuje nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą.
Przykładowe rozwiązania
Rozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów. Pierwszy polega na ustaleniu
pierwiastków trójmianu kwadratowego, drugi - na ustaleniu zbioru rozwiązań nierówności.
Realizacja pierwszego etapu
Sposób I
Przenosimy składniki na jedną stronę nierówności
x
x
x x
2
1
4
4
0
H
h
h
h
i wyłączamy wspólny czynnik poza nawias, zapisując nierówność w postaci iloczynowej.
x
x
x
4
2
1
0
H
^h
h
x
x
4
1
0
H
^h
h
Pierwiastkami trójmianu kwadratowego x
x
4
1
^h
h są liczby
1
x1 =- , x
4
2 = .
Sposób II
Wymnażamy obie strony nierówności:
x
x
x
x
x
4
2
8
4
2
2
G
i redukujemy wyrazy podobne, zapisując nierówność w postaci równoważnej:
x
x
3
4
0
2
H
Znajdujemy pierwiastki trójmianu kwadratowego x
x
3
4
2 -
Obliczamy wyróżnik tego trójmianu kwadratowego:
3
4 1
4
25
2
$
$
T =
h
h
, stąd
1
x
2
3
5
1 =
=- , x
2
3
5
4
2 =
albo
stosujemy wzory Viète’a:
x
x
4
1
2
$
=- oraz x
x
3
1
2
= , stąd x
1
1 =- oraz x
4
2 = ,
albo
podajemy je bezpośrednio, zapisując pierwiastki trójmianu
1
x1 =- , x
4
2 = (podajemy uzasadnienie, np. f
f
1
4
0
h
h
)
lub zaznaczając je na wykresie.
x
y
0
1
2
3
4 5
-2-1
2
1
-1
-2
-3
-5
-4
-6
7 z 19
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom podstawowy
Realizacja drugiego etapu
Podajemy zbiór rozwiązań nierówności:
1
x G- lub x
4
H .
Alternatywnie:
,
,
x
1
4
,
3
3
!
h
h.
Schemat oceniania
Zdający otrzymuje
1 pkt
gdy:
prawidłowo wyznaczy pierwiastki trójmianu kwadratowego:
1
x1 =- , x
4
2 = i na tym poprzestanie
lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności
albo
realizując pierwszy etap, popełni błąd, ale otrzyma dwa różne pierwiastki i konsekwentnie
rozwiąże nierówność.
Zdający otrzymuje
2 pkt
gdy:
poda zbiór rozwiązań nierówności:
,
,
x
1
4
,
3
3
! -
h
h albo w postaci:
1
x G- lub x
4
H
albo
sporządzi poprawną ilustrację geometryczną (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiązań
nierówności w postaci:
1
x G- lub x
4
H ,
albo
poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami
przedziałów.
Uwagi

\n
  1. Jeżeli zdający podzieli obie strony nierówności przez x
\n

4

\n\n

tylko jedno założenie: x
4
2 albo x
4
1 , to otrzymuje 0 punktów.

\n
  1. Jeżeli zdający podzieli obie strony nierówności przez x
\n

4

\n\n

4
2 ,
x
4
1 oraz sprawdzi warunek x
4
= , rozwiąże nierówność w każdym z dwóch przypadków oraz
konsekwentnie wyznaczy zbiór rozwiązań nierówności, to otrzymuje 1 punkt.

\n
  1. Jeżeli zdający podzieli obie strony nierówności przez x
\n

4

\n\n

4
2 , x
4
1
oraz sprawdzi warunek x
4
= , rozwiąże nierówność w każdym z trzech przypadków i poprawnie
wyznaczy zbiór rozwiązań nierówności, to otrzymuje 2 punkty.

","solutions":[{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$x \\in (-\\infty, -1\\rangle \\cup \\langle 4, \\infty)$

"}]}