{"id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa","number":"27","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2018,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (0-2)\nCiąg an\nh jest określony wzorem a\nn\nn\n2\n1\n4\n5\nn =\ndla n\n1\nH . Sprawdź, czy istnieje wyraz tego ciągu równy 2 2\n1.\nOdpowiedź:\nWypełnia\nsprawdzający\nNr zadania\n26\n27\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\n12 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy","answer":null,"answer_text":"Zadanie 27. (0-2)\nCiąg an\nh jest określony wzorem a\nn\nn\n2\n1\n4\n5\nn =\ndla n\n1\nH . Sprawdź, czy istnieje wyraz tego ciągu równy 2 2\n1 .\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nV. Rozumowanie\ni argumentacja.\n3.8. Równania i nierówności.\nZdający rozwiązuje proste równania wymierne, prowadzące do równań\nliniowych lub kwadratowych.\n5.1. Ciągi.\nZdający wyznacza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym.\n4\nx\n-1\n8 z 19\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy\nPrzykładowe rozwiązania\nSposób I\nCiąg an\nh ma wyraz a\n2 2\n1\nn =\nwtedy, gdy rozwiązaniem równania n\nn\n2\n1\n4\n5\n2 2\n1\njest liczba naturalna\ndodatnia.\nn\nn\n2\n1\n4\n5\n2\n5\nn\nn\n10\n5\n8\n10\nn\n2\n5\nLiczba n\n2\n5\nnie jest liczbą naturalną, więc w tym ciągu nie istnieje wyraz równy 2 2\n1 .\nSposób II\nObliczamy kolejne wyrazy ciągu an\nh: a\n3\n1 = , a\n5\n13\n2 5\n3\n2 2\n1\n2\n2\n, a\n7\n17\n2 7\n3\n2 2\n1\n3\n1\n. Wystarczy\nzatem uzasadnić, że ciąg an\nh jest malejący.\na\na\nn\nn\nn\nn\nn\nn\nn\nn\nn\nn\n2\n1\n1\n4\n1\n5\n2\n1\n4\n5\n2\n3\n2\n1\n4\n9\n2\n1\n4\n5\n2\n3\nn\nn\n1 -\nh\nh\nh\nh\nh\nh\nh\nh\nMnożymy wyrażenia w nawiasach, redukujemy wyrazy podobne i ostatecznie otrzymujemy\n6\na\na\nn\nn\n2\n3\n2\n1\n0\nn\nn\n1\n1\n^h\nh\ndla n\nN\n!\n+, więc ciąg an\nh jest malejący:\nCiąg an\nh jest malejący, a\n2 5\n3\n2 2\n1\n2\n2\n, a a\n2 7\n3\n2 2\n1\n3\n1\n, więc w tym ciągu nie istnieje wyraz równy 2 2\n1.\nSposób III\nWzór na wyraz ciągu można przekształcić w następujący sposób:\na\nn\nn\nn\nn\nn\nn\nn\n2\n1\n4\n5\n2\n1\n4\n2\n3\n2\n1\n2 2\n1\n3\n2\n2\n1\n3\nn =\nh\nh\nZ powyższego zapisu widać, że ciąg (an) jest ciągiem malejącym. I dalej jak wyżej.\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje\n1 pkt\ngdy:\npoprawnie wyznaczy rozwiązanie równania wymiernego: n\n2\n5\nalbo\nuzasadni, że ciąg an\nh jest malejący.\nZdający otrzymuje\n2 pkt\ngdy poprawnie uzasadni, że w ciągu an\nh nie istnieje wyraz równy 2 2\n1 .\nUwagi\n1. Jeżeli zdający jedynie wyznaczy wyrazy a\n3\n1 = , a\n2 5\n3\n2 2\n1\n2\n2\n, a\n2 7\n3\n2 2\n1\n3\n1\ni stąd wywnioskuje,\nże w ciągu an\nh nie istnieje wyraz równy 2 2\n1 , to otrzymuje 0 punktów.\n2. Jeżeli zdający wyznaczy wyrazy a\n3\n1 = , a\n2 5\n3\n2 2\n1\n2\n2\n, a\n2 7\n3\n2 2\n1\n3\n1\ni badając monotoniczność\nciągu popełni błędy rachunkowe, ale przeprowadzi poprawne rozumowanie prowadzące do wniosku,\nże wyraz równy 2 2\n1 nie istnieje, to otrzymuje 1 punkt.\n9 z 19\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy","solution":"W tym ciągu nie istnieje wyraz równy $2\\dfrac{1}{2}$.","image":"img/matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 27. (0-2)
Ciąg an
h jest określony wzorem a
n
n
2
1
4
5
n =
dla n
1
H . Sprawdź, czy istnieje wyraz tego ciągu równy 2 2
1.
Odpowiedź:
Wypełnia
sprawdzający
Nr zadania
26
27
Maks. liczba pkt
2
2
Uzyskana liczba pkt

\n

12 z 22
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom podstawowy

","answer_text_html":"

Zadanie 27. (0-2)
Ciąg an
h jest określony wzorem a
n
n
2
1
4
5
n =
dla n
1
H . Sprawdź, czy istnieje wyraz tego ciągu równy 2 2
1 .
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
V. Rozumowanie
i argumentacja.
3.8. Równania i nierówności.
Zdający rozwiązuje proste równania wymierne, prowadzące do równań
liniowych lub kwadratowych.
5.1. Ciągi.
Zdający wyznacza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym.
4
x
-1
8 z 19
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom podstawowy
Przykładowe rozwiązania
Sposób I
Ciąg an
h ma wyraz a
2 2
1
n =
wtedy, gdy rozwiązaniem równania n
n
2
1
4
5
2 2
1
jest liczba naturalna
dodatnia.
n
n
2
1
4
5
2
5
n
n
10
5
8
10
n
2
5
Liczba n
2
5
nie jest liczbą naturalną, więc w tym ciągu nie istnieje wyraz równy 2 2
1 .
Sposób II
Obliczamy kolejne wyrazy ciągu an
h: a
3
1 = , a
5
13
2 5
3
2 2
1
2
2
, a
7
17
2 7
3
2 2
1
3
1
. Wystarczy
zatem uzasadnić, że ciąg an
h jest malejący.
a
a
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
2
1
1
4
1
5
2
1
4
5
2
3
2
1
4
9
2
1
4
5
2
3
n
n
1 -
h
h
h
h
h
h
h
h
Mnożymy wyrażenia w nawiasach, redukujemy wyrazy podobne i ostatecznie otrzymujemy
6
a
a
n
n
2
3
2
1
0
n
n
1
1
^h
h
dla n
N
!
+, więc ciąg an
h jest malejący:
Ciąg an
h jest malejący, a
2 5
3
2 2
1
2
2
, a a
2 7
3
2 2
1
3
1
, więc w tym ciągu nie istnieje wyraz równy 2 2
1.
Sposób III
Wzór na wyraz ciągu można przekształcić w następujący sposób:
a
n
n
n
n
n
n
n
2
1
4
5
2
1
4
2
3
2
1
2 2
1
3
2
2
1
3
n =
h
h
Z powyższego zapisu widać, że ciąg (an) jest ciągiem malejącym. I dalej jak wyżej.
Schemat oceniania
Zdający otrzymuje
1 pkt
gdy:
poprawnie wyznaczy rozwiązanie równania wymiernego: n
2
5
albo
uzasadni, że ciąg an
h jest malejący.
Zdający otrzymuje
2 pkt
gdy poprawnie uzasadni, że w ciągu an
h nie istnieje wyraz równy 2 2
1 .
Uwagi

\n
  1. Jeżeli zdający jedynie wyznaczy wyrazy a
\n

3
1 = , a
2 5
3
2 2
1
2
2
, a
2 7
3
2 2
1
3
1
i stąd wywnioskuje,
że w ciągu an
h nie istnieje wyraz równy 2 2
1 , to otrzymuje 0 punktów.

\n
  1. Jeżeli zdający wyznaczy wyrazy a
\n

3
1 = , a
2 5
3
2 2
1
2
2
, a
2 7
3
2 2
1
3
1
i badając monotoniczność
ciągu popełni błędy rachunkowe, ale przeprowadzi poprawne rozumowanie prowadzące do wniosku,
że wyraz równy 2 2
1 nie istnieje, to otrzymuje 1 punkt.
9 z 19
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom podstawowy

","solutions":[{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

W tym ciągu nie istnieje wyraz równy $2\\dfrac{1}{2}$.

"}]}