{"id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa","number":"28","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2018,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (0-2)\nUdowodnij, że nierówność x\nx\n3\n4 2\n1\n2\n2\n4 H\nh\njest prawdziwa dla dowolnej liczby rzeczywistej.\n\n13 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy\nWypełnia\nsprawdzający\nNr zadania\n28\n29\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt","answer":null,"answer_text":"Zadanie 28. (0-2)\nUdowodnij, że nierówność x\nx\n3\n4 2\n1\n2\n2\n4 H\nh\njest prawdziwa dla dowolnej liczby rzeczywistej.\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nV. Rozumowanie\ni argumentacja.\n2.1. Wyrażenia algebraiczne.\nZdający używa wzorów skróconego mnożenia na a\nb\n2\n!\nh oraz a\nb\n2\n2\nPrzykładowe rozwiązanie\nSposób I\nNiech x będzie dowolną liczbą rzeczywistą. Chcemy wykazać, że x\nx\n3\n4 2\n1\n2\n2\n4 H\nh\nPrzekształcamy tezę do postaci równoważnej.\nx\nx\nx\n6\n9\n2\n9\n0\n4\n2\n4\nH\nx\nx\n2\n6\n2\n9\n0\n4\n2\nH\nx\nx\n4\n12\n9\n0\n4\n2\nH\nx\n2\n3\n0\n2\n2 H\nh\nOtrzymana nierówność jest prawdziwa dla dowolnej liczby rzeczywistej x, bo kwadrat każdej liczby\nrzeczywistej jest nieujemny. Zatem równoważna jej teza też jest prawdziwa. To kończy dowód.\nSposób II\nDo tezy podstawiamy t\nx2\ni otrzymujemy nierówność kwadratową\nt\nt\n3\n4 2\n1\n2\n2 H\nh\nt\nt\n4\n12\n9\n0\n2\nH\nTrójmian kwadratowy t\nt\n4\n12\n9\n2 -\n+ najmniejszą wartość przyjmuje dla t\na\nb\n2\n(a > 0).\nDla\n,5\nt\n8\n12\n1\nwartość trójmianu wynosi 0.\nPonieważ najmniejsza wartość trójmianu wynosi 0, zatem nierówność jest prawdziwa dla każdej liczby\nrzeczywistej x, a tym samym jest prawdziwa teza twierdzenia.\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje\n1 pkt\ngdy zapisze nierówność w postaci równoważnej\nx\n2\n3\n0\n2\n2 H\nh\ni na tym poprzestanie lub dalej\npopełni błędy\nalbo\nzapisze nierówność jako nierówność kwadratową (po podstawieniu t\nx2\n) i obliczy wyróżnik\ntrójmianu kwadratowego lub poda współrzędne wierzchołka paraboli.\nZdający otrzymuje\n2 pkt\ngdy przeprowadzi pełny dowód.\n10 z 19\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy","solution":"Dowód w pełnym rozwiązaniu.","image":"img/matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":null,"topics":"algebra","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 28. (0-2)
Udowodnij, że nierówność x
x
3
4 2
1
2
2
4 H
h
jest prawdziwa dla dowolnej liczby rzeczywistej.

\n

13 z 22
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom podstawowy
Wypełnia
sprawdzający
Nr zadania
28
29
Maks. liczba pkt
2
2
Uzyskana liczba pkt

","answer_text_html":"

Zadanie 28. (0-2)
Udowodnij, że nierówność x
x
3
4 2
1
2
2
4 H
h
jest prawdziwa dla dowolnej liczby rzeczywistej.
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
V. Rozumowanie
i argumentacja.
2.1. Wyrażenia algebraiczne.
Zdający używa wzorów skróconego mnożenia na a
b
2
!
h oraz a
b
2
2
Przykładowe rozwiązanie
Sposób I
Niech x będzie dowolną liczbą rzeczywistą. Chcemy wykazać, że x
x
3
4 2
1
2
2
4 H
h
Przekształcamy tezę do postaci równoważnej.
x
x
x
6
9
2
9
0
4
2
4
H
x
x
2
6
2
9
0
4
2
H
x
x
4
12
9
0
4
2
H
x
2
3
0
2
2 H
h
Otrzymana nierówność jest prawdziwa dla dowolnej liczby rzeczywistej x, bo kwadrat każdej liczby
rzeczywistej jest nieujemny. Zatem równoważna jej teza też jest prawdziwa. To kończy dowód.
Sposób II
Do tezy podstawiamy t
x2
i otrzymujemy nierówność kwadratową
t
t
3
4 2
1
2
2 H
h
t
t
4
12
9
0
2
H
Trójmian kwadratowy t
t
4
12
9
2 -

\n\n

a
b
2
(a > 0).
Dla
,5
t
8
12
1
wartość trójmianu wynosi 0.
Ponieważ najmniejsza wartość trójmianu wynosi 0, zatem nierówność jest prawdziwa dla każdej liczby
rzeczywistej x, a tym samym jest prawdziwa teza twierdzenia.
Schemat oceniania
Zdający otrzymuje
1 pkt
gdy zapisze nierówność w postaci równoważnej
x
2
3
0
2
2 H
h
i na tym poprzestanie lub dalej
popełni błędy
albo
zapisze nierówność jako nierówność kwadratową (po podstawieniu t
x2
) i obliczy wyróżnik
trójmianu kwadratowego lub poda współrzędne wierzchołka paraboli.
Zdający otrzymuje
2 pkt
gdy przeprowadzi pełny dowód.
10 z 19
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom podstawowy

","solutions":[{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

Dowód w pełnym rozwiązaniu.

"}]}