{"id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa","number":"30","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2018,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (0-2)\nOsią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f x\nax\nbx\n3\n2\n^ h\n, gdzie a\n0\n! , jest\nprosta o równaniu\n2\nx =- . Wierzchołek paraboli leży na prostej o równaniu y\nx\n2\n. Wyznacz\nwzór funkcji f w postaci ogólnej lub kanonicznej.\nOdpowiedź:\n\n15 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy\nWypełnia\nsprawdzający\nNr zadania\n30\n31\nMaks. liczba pkt\n2\n3\nUzyskana liczba pkt","answer":null,"answer_text":"Zadanie 30. (0-2)\nOsią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f x\nax\nbx\n3\n2\n^ h\n, gdzie a\n0\n! , jest\nprosta o równaniu\n2\nx =- . Wierzchołek paraboli leży na prostej o równaniu\nx\n2\ny =-\n. Wyznacz\nwzór funkcji f w postaci ogólnej bądź kanonicznej.\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n4. Funkcje. Zdający:\n9) wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie pewnych\ninformacji o tej funkcji lub o jej wykresie;\n10) interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji\nkwadratowej w postaci kanonicznej, w postaci ogólnej i w postaci\niloczynowej (o ile istnieje).\nPrzykładowe rozwiązania\nProsta o równaniu\n2\nx =- jest osią symetrii paraboli, więc pierwszą współrzędną jej wierzchołka\nW(p, q) jest\n2\np =- . Wierzchołek paraboli leży na prostej o równaniu y\nx\n2\n, więc drugą\nwspółrzędną wierzchołka jest q\n2\n2\n4\n= . Stąd wierzchołkiem paraboli jest punkt\n,\nW\n2 4\nh.\nSzukamy wzoru funkcji kwadratowej w postaci ogólnej:\nf x\nax\nbx\n3\n2\n^ h\nbądź w postaci kanonicznej:\nf x\na x\n2\n4\n2\nh\nh\nSposób I\nZauważmy, że f\na\nb\n0\n0\n0\n3\n3\n2\n$\n$\n^ h\n, więc do paraboli należy punkt P = (0, 3). Wstawiamy\nwspółrzędne punktu P do wzoru funkcji f.\na\n3\n0\n2\n4\n2\nh\n1\na\n4 =-\na\n4\n1\nWzór funkcji w postaci kanonicznej ma postać:\nf x\nx\n4\n1\n2\n4\n2\nh\nh\nSposób II\nTworzymy układ równań.\nb\n2\n2\n(\n)\na\nf\n2\n4\nb\na\na\nb\n4\n2\n2\n3\n4\n2\n$\n$\nh\nh\n(\nStąd:\na\na\n4\n8\n1\na\n4\n1\nb = 4a,\n1\nb =- .\nZatem\nf x\nx\nx\n4\n1\n3\n2\n^ h\n12 z 19\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy\nSposób III\nTworzymy układ równań.\nb\n2\nT\na\na\n2\n4\n4\nZ\n[\n]]]]\n]]]]\nb\na\na\nb\nac\n4\n4\n4\n4\n2\nStąd po podstawieniu otrzymujemy równanie:\na\na\na\n4\n16\n12\n4\n2 +\na\na\na\n4\n4\n4\n3\n4\nh\na\n4\n3\n4\na\n4\n1\nb = 4a,\n1\nb =- .\nZatem\nf x\nx\nx\n4\n1\n3\n2\n^ h\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje\n1 pkt\ngdy wyznaczy współrzędne wierzchołka paraboli\n2\np =- , q = 4 i na tym poprzestanie lub dalej\npopełnia błędy.\nZdający otrzymuje\n2 pkt\ngdy zapisze wzór funkcji w postaci kanonicznej f x\nx\n2\n4\n4\n1\n2\nh\nh\nlub ogólnej f x\nx\nx\n4\n1\n3\n2\n^ h","solution":"$f(x) = -\\dfrac{1}{4}(x + 2)^2 + 4$ lub $f(x) = -\\dfrac{1}{4}x^2 - x + 3$","image":"img/matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 30. (0-2)
Osią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f x
ax
bx
3
2
^ h
, gdzie a
0
! , jest
prosta o równaniu
2
x =- . Wierzchołek paraboli leży na prostej o równaniu y
x
2
. Wyznacz
wzór funkcji f w postaci ogólnej lub kanonicznej.
Odpowiedź:

\n

15 z 22
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom podstawowy
Wypełnia
sprawdzający
Nr zadania
30
31
Maks. liczba pkt
2
3
Uzyskana liczba pkt

","answer_text_html":"

Zadanie 30. (0-2)
Osią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f x
ax
bx
3
2
^ h
, gdzie a
0
! , jest
prosta o równaniu
2
x =- . Wierzchołek paraboli leży na prostej o równaniu
x
2
y =-
. Wyznacz
wzór funkcji f w postaci ogólnej bądź kanonicznej.
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
II. Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Funkcje. Zdający:
  2. wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie pewnych
\n

informacji o tej funkcji lub o jej wykresie;

\n
  1. interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji
\n

kwadratowej w postaci kanonicznej, w postaci ogólnej i w postaci
iloczynowej (o ile istnieje).
Przykładowe rozwiązania
Prosta o równaniu
2
x =- jest osią symetrii paraboli, więc pierwszą współrzędną jej wierzchołka
W(p, q) jest
2
p =- . Wierzchołek paraboli leży na prostej o równaniu y
x
2
, więc drugą
współrzędną wierzchołka jest q
2
2
4
= . Stąd wierzchołkiem paraboli jest punkt
,
W
2 4
h.
Szukamy wzoru funkcji kwadratowej w postaci ogólnej:
f x
ax
bx
3
2
^ h
bądź w postaci kanonicznej:
f x
a x
2
4
2
h
h
Sposób I
Zauważmy, że f
a
b
0
0
0
3
3
2
$
$
^ h
, więc do paraboli należy punkt P = (0, 3). Wstawiamy
współrzędne punktu P do wzoru funkcji f.
a
3
0
2
4
2
h
1
a
4 =-
a
4
1
Wzór funkcji w postaci kanonicznej ma postać:
f x
x
4
1
2
4
2
h
h
Sposób II
Tworzymy układ równań.
b
2
2
(
)
a
f
2
4
b
a
a
b
4
2
2
3
4
2
$
$
h
h
(
Stąd:
a
a
4
8
1
a
4
1
b = 4a,
1
b =- .
Zatem
f x
x
x
4
1
3
2
^ h
12 z 19
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom podstawowy
Sposób III
Tworzymy układ równań.
b
2
T
a
a
2
4
4
Z
[
]]]]
]]]]
b
a
a
b
ac
4
4
4
4
2
Stąd po podstawieniu otrzymujemy równanie:
a
a
a
4
16
12
4
2 +
a
a
a
4
4
4
3
4
h
a
4
3
4
a
4
1
b = 4a,
1
b =- .
Zatem
f x
x
x
4
1
3
2
^ h
Schemat oceniania
Zdający otrzymuje
1 pkt
gdy wyznaczy współrzędne wierzchołka paraboli
2
p =- , q = 4 i na tym poprzestanie lub dalej
popełnia błędy.
Zdający otrzymuje
2 pkt
gdy zapisze wzór funkcji w postaci kanonicznej f x
x
2
4
4
1
2
h
h
lub ogólnej f x
x
x
4
1
3
2
^ h

","solutions":[{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$f(x) = -\\dfrac{1}{4}(x + 2)^2 + 4$ lub $f(x) = -\\dfrac{1}{4}x^2 - x + 3$

"}]}