Zadanie 31. (0-3)
Na ściankach symetrycznej dwunastościennej kostki do gry zapisano liczby
1, 2, 3, …, 12 (jak na rysunku). Rzucamy tą kostką trzy razy i zapisujemy
wyrzucone liczby w kolejności otrzymywania, tworząc ciąg trójwyrazowy.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że utworzymy w ten sposób ciąg
geometryczny o ilorazie całkowitym.
Uwaga. Ciąg stały jest ciągiem geometrycznym.
Odpowiedź:
7
8
10
11
12
9
16 z 22
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom podstawowy
Zadanie 31. (0-3)
Na ściankach symetrycznej dwunastościennej kostki do gry zapisano liczby 1, 2, 3, …, 12 (jak na
rysunku). Rzucamy tą kostką trzy razy i zapisujemy wyrzucone liczby w kolejności otrzymywania,
tworząc ciąg trójwyrazowy. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że utworzymy w ten sposób ciąg
geometryczny o ilorazie całkowitym.
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Modelowanie
matematyczne
10.3. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa
i kombinatoryka.
Zdający oblicza prawdopodobieństwa w prostych sytuacjach stosując
klasyczną definicję prawdopodobieństwa.
Przykładowe rozwiązanie
Zdarzeniem elementarnym jest każdy trójwyrazowy ciąg o wyrazach ze zbioru {1, 2, 3, , 12}.
Wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne. Mamy więc do czynienia z modelem
klasycznym. Z reguły mnożenia wynika, że liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa
12
1728
3
X =
13 z 19
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom podstawowy
Niech A oznacza zdarzenie polegające na tym, że otrzymamy ciąg geometryczny o ilorazie
całkowitym. Zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A pogrupujmy w zależności od ilorazu
ciągu geometrycznego.
Iloraz ciągu
Ciągi
Liczba ciągów
q
1
(1, 1, 1), (2, 2, 2), , (12, 12, 12)
12
q
2
(1, 2, 4), (2, 4, 8), (3, 6, 12)
3
q
3
(1, 3, 9)
1
Stąd liczba zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A: A
16
Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest zatem równe P A
A
12 12 12
16
108
1
$
$
X
^ h
Schemat oceniania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania
1 pkt
Zdający:
zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych:
12
1728
3
X =
albo
wypisze zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A: (1, 1, 1), (2, 2, 2), (3, 3, 3), (4, 4, 4),
(5, 5, 5), (6, 6, 6), (7, 7, 7), (8, 8, 8), (9, 9, 9), (10, 10, 10), (11, 11, 11), (12, 12, 12), (1, 2, 4), (2, 4, 8),
(3, 6, 12) (1, 3, 9)
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania
2 pkt
Zdający obliczy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych:
12
1728
3
X =
oraz zapisze, że A
16
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie pełne
3 pkt
Zdający obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A i poda wynik w postaci ułamka nieskracalnego:
P A
108
1
^ h
Uwaga
Jeżeli zdający poprawnie wyznaczy moc zbioru wszystkich zdarzeń elementarnych, ale
przy wyznaczaniu liczby zdarzeń sprzyjających zdarzeniu A pominie jedno zdarzenie elementarne
lub popełni błąd przy zliczaniu poprawnie wypisanych zdarzeń elementarnych sprzyjających
zdarzeniu A i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje 2 punkty.
14 z 19
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom podstawowy
$P(A) = \\dfrac{1}{108}$
"}]}