{"id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa","number":"32","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2018,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (0-3)\nW ostrosłupie prawidłowym trójkątnym o wysokości 2 3 krawędź boczna tworzy z podstawą kąt 45°.\nOblicz objętość tego ostrosłupa.\n\n17 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy\nOdpowiedź:\nWypełnia\nsprawdzający\nNr zadania\n32\nMaks. liczba pkt\n3\nUzyskana liczba pkt\n\n18 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy","answer":null,"answer_text":"Zadanie 32. (0-3)\nW ostrosłupie prawidłowym trójkątnym o wysokości 2 3 krawędź boczna tworzy z podstawą kąt 45°.\nOblicz objętość tego ostrosłupa.\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n9.2. Stereometria.\nZdający rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąt między\nodcinkami i płaszczyznami (między krawędziami i ścianami,\nprzekątnymi i ścianami), oblicza miary tych kątów.\nGIMNAZJUM\n11.2. Bryły.\nZdający oblicza pole powierzchni i objętość\ngraniastosłupa prostego, ostrosłupa, walca, stożka, kuli.\nPrzykładowe rozwiązania\nWprowadzamy oznaczenia na rysunku.\nPodstawą ostrosłupa jest trójkąt równoboczny ABC, punkt S jest spodkiem wysokości tego ostrosłupa.\nKąt między krawędzią boczną i płaszczyzną podstawy jest równy 45°, zatem możemy zauważyć, że\ntrójkąty prostokątne SBD, SAD, SCD są równoramienne. Można też skorzystać z własności funkcji\ntrygonometrycznych w trójkącie prostokątnym i obliczyć długość odcinków AS\nBS\nCS\nx\n45\n2 3\ntg\nc =\nx\n1\n2 3\nAS\nBS\nCS\n2 3\nAby obliczyć pole podstawy, potrzebna jest długość boku trójkąta lub wysokość trójkąta ABC.\nWiadomo, że AS to 3\n2 wysokości trójkąta ABC. Obliczamy wysokość trójkąta ABC.\nh\n3\n2\n2 3\nh\n3 3\nWyznaczmy długość krawędzi podstawy ostrosłupa ABCD, korzystając ze wzoru na wysokość trójkąta\nrównobocznego ABC.\nh\na\n2\n3\na\n3 3\n2\n3\na = 6\nA\nB\nC\nS\nD\n45\n15 z 19\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy\nObliczamy pole podstawy ostrosłupa. Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta równobocznego.\nP\na\n4\n3\n2\nP\n4\n36 3\n9 3\nNa koniec obliczamy objętość ostrosłupa.\nV\nP\nH\n3\n1\n3\n1 9 3 2 3\n18\np $\n$\n$\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania\n1 pkt\nZdający obliczy długość odcinka AS lub BS lub CS i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania\n2 pkt\nZdający obliczy wysokość podstawy ostrosłupa 3 3\nh oraz długość boku tej podstawy (6).\nRozwiązanie pełne\n3 pkt\nZdający obliczy objętość ostrosłupa ABCD (18).","solution":"$V = 18$","image":"img/matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":null,"topics":"stereometria","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 32. (0-3)
W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym o wysokości 2 3 krawędź boczna tworzy z podstawą kąt 45°.
Oblicz objętość tego ostrosłupa.

\n

17 z 22
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom podstawowy
Odpowiedź:
Wypełnia
sprawdzający
Nr zadania
32
Maks. liczba pkt
3
Uzyskana liczba pkt

\n

18 z 22
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom podstawowy

","answer_text_html":"

Zadanie 32. (0-3)
W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym o wysokości 2 3 krawędź boczna tworzy z podstawą kąt 45°.
Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
I. Wykorzystanie
i tworzenie informacji.
9.2. Stereometria.
Zdający rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąt między
odcinkami i płaszczyznami (między krawędziami i ścianami,
przekątnymi i ścianami), oblicza miary tych kątów.
GIMNAZJUM
11.2. Bryły.
Zdający oblicza pole powierzchni i objętość
graniastosłupa prostego, ostrosłupa, walca, stożka, kuli.
Przykładowe rozwiązania
Wprowadzamy oznaczenia na rysunku.
Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoboczny ABC, punkt S jest spodkiem wysokości tego ostrosłupa.
Kąt między krawędzią boczną i płaszczyzną podstawy jest równy 45°, zatem możemy zauważyć, że
trójkąty prostokątne SBD, SAD, SCD są równoramienne. Można też skorzystać z własności funkcji
trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym i obliczyć długość odcinków AS
BS
CS
x
45
2 3
tg
c =
x
1
2 3
AS
BS
CS
2 3
Aby obliczyć pole podstawy, potrzebna jest długość boku trójkąta lub wysokość trójkąta ABC.
Wiadomo, że AS to 3
2 wysokości trójkąta ABC. Obliczamy wysokość trójkąta ABC.
h
3
2
2 3
h
3 3
Wyznaczmy długość krawędzi podstawy ostrosłupa ABCD, korzystając ze wzoru na wysokość trójkąta
równobocznego ABC.
h
a
2
3
a
3 3
2
3
a = 6
A
B
C
S
D
45
15 z 19
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom podstawowy
Obliczamy pole podstawy ostrosłupa. Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta równobocznego.
P
a
4
3
2
P
4
36 3
9 3
Na koniec obliczamy objętość ostrosłupa.
V
P
H
3
1
3
1 9 3 2 3
18
p $
$
$
Schemat oceniania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania
1 pkt
Zdający obliczy długość odcinka AS lub BS lub CS i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania
2 pkt
Zdający obliczy wysokość podstawy ostrosłupa 3 3
h oraz długość boku tej podstawy (6).
Rozwiązanie pełne
3 pkt
Zdający obliczy objętość ostrosłupa ABCD (18).

","solutions":[{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$V = 18$

"}]}