{"id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa","number":"33","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2018,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (0-4)\nW trapezie prostokątnym ABCD o podstawach AB i CD przekątna AC jest prostopadła do ramienia BC,\ndłuższa podstawa AB ma długość 9, a sinus kąta CAD jest równy 3\n3 . Oblicz pole tego trapezu.\nA\nB\nD\nC\n\n19 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy\nOdpowiedź:\nWypełnia\nsprawdzający\nNr zadania\n33\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\n20 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy","answer":null,"answer_text":"Zadanie 33. (0-4)\nW trapezie prostokątnym ABCD o podstawach AB i CD przekątna AC jest prostopadła do ramienia\nBC, dłuższa podstawa AB ma długość 9, a sinus kąta CAD jest równy 3\n3 . Oblicz pole tego trapezu.\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n7.4. Planimetria.\nZdający korzysta z własności funkcji trygonometrycznych w łatwych\nobliczeniach geometrycznych.\nGIMNAZJUM\n10. Figury płaskie. Zdający:\n7) stosuje twierdzenie Pitagorasa;\n9) oblicza pola i obwody trójkątów i czworokątów.\nPrzykładowe rozwiązanie\nWprowadzamy oznaczenia na rysunku.\nα\nβ\nα\nA\nB\nD\nC\n16 z 19\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy\nZauważmy, że\n90c\na\nb\n- , więc sin\nsin\ncos\n90c\na\nb\nb\nh\n. Stąd w trójkącie ABC:\ncos\nAB\nAC\nb =\nAC\n3\n3\n9\nAC\n3 3\nNastępnie w trójkącie ACD:\nsin\nAC\nCD\na =\nCD\n3\n3\n3 3\nCD\n3\nZ twierdzenia Pitagorasa w trójkącie ACD:\nAD\n3\n3 3\n2\n2\n2\nh\nAD\n3 2\nPole trapezu ABCD wynosi więc:\nP\n2\n1 9\n3\n3 2\n18 2\nABCD\n$\nh\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania\n1 pkt\nZdający:\nzapisze, że sin\ncos\na\nb\nalbo\nzauważy, że trójkąty ABC i ACD są podobne, więc\nABC\nB\nCAD\nB\na\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp\n2 pkt\nZdający obliczy długość przekątnej AC: AC\n3 3\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania\n3 pkt\nZdający wyznaczy długości przyprostokątnych w trójkącie ACD: CD\n3\n= , AD\n3 2\ni na tym\nzakończy lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie pełne\n4 pkt\nZdający obliczy pole trapezu: P\n18 2\nABCD =\n17 z 19\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy","solution":"$P_{ABCD} = 18\\sqrt{2}$","image":"img/matematyka-2018-nowa-era-probna-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 33. (0-4)
W trapezie prostokątnym ABCD o podstawach AB i CD przekątna AC jest prostopadła do ramienia BC,
dłuższa podstawa AB ma długość 9, a sinus kąta CAD jest równy 3
3 . Oblicz pole tego trapezu.
A
B
D
C

\n

19 z 22
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom podstawowy
Odpowiedź:
Wypełnia
sprawdzający
Nr zadania
33
Maks. liczba pkt
4
Uzyskana liczba pkt

\n

20 z 22
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom podstawowy

","answer_text_html":"

Zadanie 33. (0-4)
W trapezie prostokątnym ABCD o podstawach AB i CD przekątna AC jest prostopadła do ramienia
BC, dłuższa podstawa AB ma długość 9, a sinus kąta CAD jest równy 3
3 . Oblicz pole tego trapezu.
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Użycie i tworzenie
strategii.
7.4. Planimetria.
Zdający korzysta z własności funkcji trygonometrycznych w łatwych
obliczeniach geometrycznych.
GIMNAZJUM

\n
  1. Figury płaskie. Zdający:
  2. stosuje twierdzenie Pitagorasa;
  3. oblicza pola i obwody trójkątów i czworokątów.
\n

Przykładowe rozwiązanie
Wprowadzamy oznaczenia na rysunku.
α
β
α
A
B
D
C
16 z 19
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom podstawowy
Zauważmy, że
90c
a
b

\n\n

sin
cos
90c
a
b
b
h
. Stąd w trójkącie ABC:
cos
AB
AC
b =
AC
3
3
9
AC
3 3
Następnie w trójkącie ACD:
sin
AC
CD
a =
CD
3
3
3 3
CD
3
Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie ACD:
AD
3
3 3
2
2
2
h
AD
3 2
Pole trapezu ABCD wynosi więc:
P
2
1 9
3
3 2
18 2
ABCD
$
h
Schemat oceniania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania
1 pkt
Zdający:
zapisze, że sin
cos
a
b
albo
zauważy, że trójkąty ABC i ACD są podobne, więc
ABC
B
CAD
B
a
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp
2 pkt
Zdający obliczy długość przekątnej AC: AC
3 3
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania
3 pkt
Zdający wyznaczy długości przyprostokątnych w trójkącie ACD: CD
3
= , AD
3 2
i na tym
zakończy lub dalej popełnia błędy.
Rozwiązanie pełne
4 pkt
Zdający obliczy pole trapezu: P
18 2
ABCD =
17 z 19
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom podstawowy

","solutions":[{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$P_{ABCD} = 18\\sqrt{2}$

"}]}