Zadanie 34. (0-5)
W trójkącie ABC wierzchołek A ma współrzędne (1, 6), wierzchołek B leży na osi Oy, a
ACB
90
B
°.
Prosta o równaniu y
x
2
1
2
1
jest równoległa do boku BC i przecina każdy z boków AB i AC
w połowie. Wyznacz współrzędne wierzchołków B i C tego trójkąta.
21 z 22
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom podstawowy
Odpowiedź:
Wypełnia
sprawdzający
Nr zadania
34
Maks. liczba pkt
5
Uzyskana liczba pkt
22 z 22
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom podstawowy
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom podstawowy
Copyright by Nowa Era Sp. z o.o.
WYPEŁNIA SPRAWDZAJĄCY
Nr
zad.
Punkty
0
1
2
3
4
5
26
27
28
29
30
31
32
33
34
KOD
IMIĘ I NAZWISKO *
WPISUJE ZDAJĄCY
KARTA ODPOWIEDZI
WYPEŁNIA ZESPÓŁ NADZORUJĄCY
Uprawnienia ucznia do:
dostosowania kryteriów oceniania.
nieprzenoszenia zaznaczeń na kartę.
Nr
zad.
Odpowiedzi
1
A
B
C
D
2
A
B
C
D
3
A
B
C
D
4
A
B
C
D
5
A
B
C
D
6
A
B
C
D
7
A
B
C
C
8
A
B
C
D
9
A
B
C
D
10
A
B
C
D
11
A
B
C
D
12
A
B
C
D
13
A
B
C
D
14
A
B
C
D
15
A
B
C
D
16
A
B
C
D
17
A
B
C
D
18
A
B
C
D
19
A
B
C
D
20
A
B
C
D
21
A
B
C
D
22
A
B
C
D
23
A
B
C
D
24
A
B
C
D
25
A
B
C
D
Zadanie 34. (0-5)
W trójkącie ABC wierzchołek A ma współrzędne (1, 6), wierzchołek B leży na osi Oy, a
ACB
B
90c
Prosta o równaniu y
x
2
1
2
1
jest równoległa do boku BC i przecina każdy z boków AB i AC
w połowie. Wyznacz współrzędne wierzchołków B i C tego trójkąta.
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Użycie i tworzenie
strategii.
do prostej danej w postaci kierunkowej i przechodzi przez dany
punkt;
Przykładowe rozwiązanie
Punkty M i N są odpowiednio środkami odcinków AB oraz AC. Z warunku prostopadłości wyznaczamy
równanie prostej AN:
x
b
2 +
y =-
. Podstawiając współrzędne punktu A = (1, 6) otrzymujemy
równanie
b
2 1
$
6 =-
b = 8
Zatem równanie prostej AN ma postać:
x
2
8
y =-
Następnie obliczamy współrzędne punktu N. Jest to punkt wspólny prostych AN i MN, rozwiązujemy
zatem układ równań:
x
2
8
y
x
y
2
1
2
1
Stosując metodę podstawiania, otrzymujemy równanie:
x
2
8
x
2
1
2
1
x
2
5
2
15
x = 3
Wstawiamy wyznaczoną wartość x np. do pierwszego równania układu:
y
2
1 3
2
1
2
$
Rozwiązaniem układu jest para liczb x
y
3
2
(
, stąd punkt N = (3, 2).
x
y
0
2
1
-1
-2
3
4
5
6
1
-1
-2
-3
-4
-5
2
3
4
5
6
A=(1, 6)
C
B
M
N
18 z 19
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom podstawowy
Korzystając ze wzoru na środek odcinka, wyznaczamy współrzędne wierzchołka
,
C
c c
1
2
h.
c
c
2
1
3
2
6
2
1
2
Z
[
]]]]
]]]]
2
c
c
5
1
2
(
Zatem
,
C
5
2
h.
Wierzchołek B trójkąta jest punktem przecięcia prostej BC z osią Oy, wystarczy zatem wyznaczyć jej
równanie.
Proste MN i BC są równoległe, stąd równanie prostej BC: y
x
b
2
1
punktu
,
C
5
2
h otrzymujemy równanie:
b
2
2
5
b
2
9
Zatem równanie prostej BC ma postać y
x
2
1
2
9
. Wynika stąd, że
,
B
0
4 2
1
j.
Odpowiedź:
,
B
0
4 2
1
j,
,
C
5
2
h.
Schemat oceniania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania
1 pkt
Zdający wyznaczy równanie prostej AN:
x
2
8
y =-
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp
2 pkt
Zdający obliczy współrzędne punktu
,
N
3 2
h i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania
3 pkt
Zdający wyznaczy współrzędne punktu
,
C
5
2
h i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają
poprawności rozwiązania
4 pkt
Zdający zapisze równanie prostej BC: y
x
2
1
2
9
i poprzestanie na tym lub rozwiąże zadanie do
końca z błędami rachunkowymi (nawet na wcześniejszych etapach rozwiązania).
Rozwiązanie pełne
5 pkt
Zdający obliczy współrzędne obu punktów:
4
,
B
0
2
1
j,
,
C
5
2
h.
19 z 19
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom podstawowy
$B = \\left(0, -4\\dfrac{1}{2}\\right)$, $C = (5, -2)$
"}]}